訊號與系統/週期訊號的傅立葉轉換

Audio：大陆：音频；臺灣：音訊； 當前語言下顯示→音訊
Channel：大陆：信道；臺灣：通道； 當前語言下顯示→通道
Communication：大陆：通信；臺灣：通訊； 當前語言下顯示→通訊
Convolution：大陆：卷积；臺灣：摺積； 當前語言下顯示→摺積
Digital：臺灣：數位；大陆：数字；香港：數碼； 當前語言下顯示→數位
Fourier：大陆：傅里叶；臺灣：傅立葉； 當前語言下顯示→傅立葉
information：大陆：信息；臺灣：資訊； 當前語言下顯示→資訊
integrated circuit：大陆：集成电路；臺灣：積體電路；香港：集成電路； 當前語言下顯示→積體電路
logic gate：大陆：逻辑门；香港：邏輯門；臺灣：邏輯閘； 當前語言下顯示→邏輯閘
Noise：臺灣：雜訊；大陆：噪声； 當前語言下顯示→雜訊
P-N junction：大陆：P-N结；香港：P-N結；臺灣：P-N接面； 當前語言下顯示→P-N接面
P-n junction：大陆：P-n结；香港：P-n結；臺灣：P-n接面； 當前語言下顯示→P-n接面
p-n junction：大陆：p-n结；香港：p-n結；臺灣：p-n接面； 當前語言下顯示→p-n接面
PN junction：大陆：PN结；香港：PN結；臺灣：PN接面； 當前語言下顯示→PN接面
Pn junction：大陆：Pn结；香港：Pn結；臺灣：Pn接面； 當前語言下顯示→Pn接面
pn junction：大陆：pn结；香港：pn結；臺灣：pn接面； 當前語言下顯示→pn接面
Signal：臺灣：訊號；大陆：信号； 當前語言下顯示→訊號
Signal-to-noise ratio, SNR：臺灣：訊雜比；大陆：信噪比；香港：訊噪比； 當前語言下顯示→訊雜比
Signaling System Number 7：大陆：七号信令系统；臺灣：第七號發信系統；香港：七號信令系統； 當前語言下顯示→第七號發信系統
Time-invariant system：大陆：时不变系统；臺灣：非時變系統； 當前語言下顯示→非時變系統
Video：大陆：视频；臺灣：視訊；香港：影片； 當前語言下顯示→視訊
modulation：大陆：调制；香港：調制；臺灣：調變； 當前語言下顯示→調變
vestigial sideband：大陆：残余边带；臺灣：殘邊帶； 當前語言下顯示→殘邊帶
amplitude：大陆：幅度；臺灣：振幅； 當前語言下顯示→振幅
PSK：臺灣：相位移鍵；大陆：移相键控； 當前語言下顯示→相位移鍵
Mobile communication：臺灣：行動通訊；大陆：移动通信；香港：流動通訊； 當前語言下顯示→行動通訊
Time division：香港：時分；大陆：时分；臺灣：分時； 當前語言下顯示→分時
Frequency division：香港：頻分；大陆：频分；臺灣：分頻； 當前語言下顯示→分頻
Code division：香港：碼分；大陆：码分；臺灣：分碼； 當前語言下顯示→分碼
TDMA：香港：時分多址；大陆：时分多址；臺灣：分時多重進接； 當前語言下顯示→分時多重進接
FDMA：香港：頻分多址；大陆：频分多址；臺灣：分頻多重進接； 當前語言下顯示→分頻多重進接
CDMA：香港：碼分多址；大陆：码分多址；臺灣：分碼多重進接； 當前語言下顯示→分碼多重進接
SDMA：香港：空分多址；大陆：空分多址；臺灣：分空間多重進接； 當前語言下顯示→分空間多重進接
TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 當前語言下顯示→分時多工
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 當前語言下顯示→分頻多工
SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 當前語言下顯示→空間多工
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 當前語言下顯示→波長分波多工
iDEN：臺灣：整合數位強化網路；大陆：集成数字增强网络； 當前語言下顯示→整合數位強化網路
GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 當前語言下顯示→通用封包無線服務
spread-spectrum：大陆：扩频；臺灣：展頻； 當前語言下顯示→展頻
spread-spectrum：大陆：扩谱；臺灣：展譜； 當前語言下顯示→展譜
Packet：臺灣：封包；大陆：分组； 當前語言下顯示→封包
Cellular data：臺灣：蜂巢式資料；大陆：蜂窝数据；香港：蜂巢式數據； 當前語言下顯示→蜂巢式資料
Cellular network：臺灣：蜂巢式網路；大陆：蜂窝网络；香港：蜂巢式網絡； 當前語言下顯示→蜂巢式網路
Bit：臺灣：位元；大陆：比特； 當前語言下顯示→位元
Slot：臺灣：時槽；大陆：时隙； 當前語言下顯示→時槽
error correcting code：大陆：纠错码；臺灣：錯誤更正碼；香港：除錯碼； 當前語言下顯示→錯誤更正碼
Information theory：繁體：消息理論；简体：信息论； 當前語言下顯示→消息理論
Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 當前語言下顯示→資訊理論
Sampling Theorem：臺灣：取樣定理；大陆：采样定理； 當前語言下顯示→取樣定理
Shannon：大陆：香农；臺灣：夏農；香港：山農； 當前語言下顯示→夏農
Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 當前語言下顯示→類比廣播
Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 當前語言下顯示→類比電視
Definition：大陆：清晰度；臺灣：解析度；香港：清晰度； 當前語言下顯示→解析度
Digital Broadcasting：大陆：数字广播；香港：數碼廣播；臺灣：數位廣播;zh-mo:數字廣播； 當前語言下顯示→數位廣播;zh-mo:數字廣播
Digital Television：大陆：数字电视；臺灣：數位電視；香港：數碼電視;zh-mo:數字電視； 當前語言下顯示→數位電視
DVB-H：大陆：手持地面无线；臺灣：手持式數位視訊廣播；香港：手持式數碼視訊廣播； 當前語言下顯示→手持式數位視訊廣播
External：大陆：外置；香港：外置；臺灣：外接； 當前語言下顯示→外接
Set-top box：简体：机顶盒；繁體：數碼電視解碼器；香港：機頂盒；臺灣：數位電視機上盒；大陆：机顶盒;zh-mo:機頂盒； 當前語言下顯示→數位電視機上盒
USB Digital TV tuner：大陆：USB数字电视棒；香港：高清USB手指；臺灣：USB數位電視棒； 當前語言下顯示→USB數位電視棒
USB TV Tuner：大陆：USB电视棒；香港：USB電視手指；臺灣：USB電視棒； 當前語言下顯示→USB電視棒
diversity：大陆：分集；臺灣：多樣； 當前語言下顯示→多樣
Call forwarding：大陆：呼叫转移；臺灣：來電轉駁； 當前語言下顯示→來電轉駁
Information Technology：大陆：信息技术；臺灣：資訊科技； 當前語言下顯示→資訊科技
Landline：大陆：固定电话；臺灣：固網電信；香港：固網電訊； 當前語言下顯示→固網電信
China Telecom：简体：中国电信；繁體：中國電信； 當前語言下顯示→中國電信
Frame：大陆：帧；臺灣：訊框； 當前語言下顯示→訊框

臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 當前用字模式下顯示為→方向導數
臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 當前用字模式下顯示為→積分形式
臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 當前用字模式下顯示為→微分形式
臺灣：約束；大陆：约束； 當前用字模式下顯示為→約束
原始語言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 當前用字模式下顯示為→鮑萊耳
原始語言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 當前用字模式下顯示為→克里斯多福
原始語言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 當前用字模式下顯示為→克里福
原始語言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 當前用字模式下顯示為→埃拉托斯特尼
原始語言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 當前用字模式下顯示為→傅立葉
原始語言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 當前用字模式下顯示為→弗比尼斯
原始語言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 當前用字模式下顯示為→郝斯多夫
原始語言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 當前用字模式下顯示為→勒維奇維塔
原始語言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 當前用字模式下顯示為→羅必達
原始語言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 當前用字模式下顯示為→馬可夫
原始語言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 當前用字模式下顯示為→卜瓦松
原始語言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 當前用字模式下顯示為→勒壤得
原始語言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 當前用字模式下顯示為→施瓦次
原始語言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 當前用字模式下顯示為→艾禮富
原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
原始語言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 當前用字模式下顯示為→代數獨立
原始語言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 當前用字模式下顯示為→代數閉體
原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
原始語言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 當前用字模式下顯示為→閉圖定理
原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元素
原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→均值定理
原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

週期訊號的傅立葉轉換－方法一

已知 x(t) 為ㄧ週期訊號，基本週期為 $T_{0}$ ，故 x(t) 的傅立葉級數為： $x(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}t}$ ， $f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

x(t)的傅立葉轉換： $x(f)$ = $\Im$ { $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}t}$ } = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}\Im$ { $e^{j2\pi nf_{0}t}$ } = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}\delta (f-f_{0})$

回憶第四章所提週期訊號 x(t) 的頻譜是由傅立葉級數的係數所構成，為線頻譜。上述週期訊號 x(t) 的傅立葉轉換(Note：傅立葉轉換也是代表訊號的頻譜) $\Im$ { $X(t)$ } = $X(f)$ $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}\delta (f-f_{0})$

也是由傅立葉級數的係數Xn所構成。

結論：無論傅立葉級數或傅立葉轉換均可用來求得週期訊號的頻譜。兩者均由傅立葉級數的係數Xn所構成。不同之處為：注意:由傅立葉級數求得之振幅頻譜為 $|Xn|$ ，只是一個數值；由傅立葉轉換求得之振幅頻譜為一根ㄧ根的脈衝函數。(此因傅立葉轉換所得為振幅密度頻譜)

試分別用傅立葉級數及傅立葉轉換求下列週期訊號 x(t) 的頻譜。

【解】 (1)求 x(t) 的傅立葉級數

$x(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}t}$ 其中 $f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$ = 200MHz

(2)

$Xn$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{t_{0}-{\frac {2}{T_{0}}}}^{t_{0}+{\frac {2}{T_{0}}}}X(t)e^{j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{t_{0}-{\frac {2}{T_{0}}}}^{t_{0}+{\frac {2}{T_{0}}}}Ae^{j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {A\tau }{T_{0}}}\sin c(nf_{0}\tau )e^{-j2\pi nf_{0}t_{0}}$ = $1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f_{0}*10^{-}6}$

$\Rightarrow$ $|Xn|$ = $|1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)|$

$\angle Xn$ = $[\angle \sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)]+(0.004\pi f_{0}*10^{-}6)$

(3)因為

$x(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}t}$

取傅立葉轉換得

$X(f)$ = $\Im$ { $X(t)$ } = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }[1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6nf_{0})e^{-j0.004\pi f_{0}*10^{-}6}]$ $\delta (f-f_{0})$

故

$|X(f)|$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }>|1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)|\delta (f-nf_{0})$

$\angle X(f)={\begin{cases}[\angle \sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)]-(0.004\pi f_{0}*10^{-}6),&f=nf_{0}n=0,\pm 1,\pm 2,...\\0,&other\end{cases}}$

範例5.26

試求脈衝序列(impulse train)

$\delta _{T0}(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $\delta (t-nT_{0})$

的傅立葉轉換。

【解】

                (1)脈衝序列 $\delta _{T}0(t)$ 為一週期訊號，基本週期為T_0
         
              (2)用傅立葉級數表示

$\delta _{T}0(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $\delta (t-nT_{0})$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Delta _{n}e^{j2\pi nf_{0}}$ , $f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

其中 $\Delta _{n}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{t_{1}}^{t_{1}+{T_{0}}}\delta _{T_{0}}(t)e^{-j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {2}{-T_{0}}}^{\frac {2}{T_{0}}}\delta _{T_{0}}(t)e^{-j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {2}{-T_{0}}}^{\frac {2}{T_{0}}}\delta (t)e^{-j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$ = $f_{0}$

故 $\delta _{T_{0}}(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $\delta (t-nT_{0})$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{0}e^{j2\pi nf_{0}t}$

(3) $\delta _{T_{0}}(t)$ 的傅立葉轉換

$\Im$ { $\delta _{T_{0}}(t)$ } = $\Delta _{T_{0}}(f)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $f_{0}\delta (f-nf_{0})$

週期訊號的傅立葉轉換—方法二

x(t) 為ㄧ週期訊號，基本週期為T_0

定義：

$X_{p}(t)={\begin{cases}X(t),&t1<t<t1+T_{0}\\0,&other\end{cases}}$

故

X_p(t)* \delta_{T0}(t) = X_p(t)* [ $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $f_{0}\delta (t-nT_{0})$ ] = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $[X_{p}(t)*\delta (t-nT_{0})]$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $X_{p}(t-nT_{0})$ = X(t)

所以

X(f) = $\Im$ { $X(t)$ } = $\Im$ { $X_{p}(t)*\delta _{T0}(t)$ } $X_{p}(f)\delta _{T0}(f)$ = X_p(f) $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $f_{0}\delta (f-nf_{0})$ = f_0 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $X_{p}(nf_{0})\delta (f-nf_{0})$

範例5.27

同先前範例5.25，試改用第二種方法求下圖 x(t) 之傅立葉轉換。

【解】︰

                (1)上圖週期訊號 x(t) 可表示成

$X(t)=X_{P}(t)*\delta _{T0}(t)$ $(T_{0}=0.005us)$

其中

$X_{P}(t)=4rect({\frac {t-0.002*10^{-}6}{0.002*10^{-}6}})$

(2)已知

$X_{p}(f)$ = $\Im$ { $X_{p}(t)$ } = $(0.008*10^{-}6)\sin c(0.002f*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f*10^{-}6}$

$\delta _{T0}(f)$ = $\Im$ { $\delta _{T0}(t)$ } = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $f_{0}\delta (f-nf_{0})$ , $f_{0}=200MHz$

(3)故

$X(f)=X_{P}(f)\delta _{T0}(f)$ = $[(0.008*10^{-}6)\sin c(0.002f*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f*10^{-}6}[\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{0}\delta (f-nf_{0})]$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }[1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f*10^{-}6}]\delta (f-nf_{0})$