信号与系统/周期信号的傅里叶转换

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原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
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原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

周期信号的傅里叶转换－方法一

已知 x(t) 为ㄧ周期信号，基本周期为 $T_{0}$ ，故 x(t) 的傅里叶级数为： $x(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}t}$ ， $f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

x(t)的傅里叶转换： $x(f)$ = $\Im$ { $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}t}$ } = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}\Im$ { $e^{j2\pi nf_{0}t}$ } = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}\delta (f-f_{0})$

回忆第四章所提周期信号 x(t) 的频谱是由傅里叶级数的系数所构成，为线频谱。上述周期信号 x(t) 的傅里叶转换(Note：傅里叶转换也是代表信号的频谱) $\Im$ { $X(t)$ } = $X(f)$ $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}\delta (f-f_{0})$

也是由傅里叶级数的系数Xn所构成。

结论：无论傅里叶级数或傅里叶转换均可用来求得周期信号的频谱。两者均由傅里叶级数的系数Xn所构成。不同之处为：注意:由傅里叶级数求得之幅度频谱为 $|Xn|$ ，只是一个数值；由傅里叶转换求得之幅度频谱为一根ㄧ根的脉冲函数。(此因傅里叶转换所得为幅度密度频谱)

试分别用傅里叶级数及傅里叶转换求下列周期信号 x(t) 的频谱。

【解】 (1)求 x(t) 的傅里叶级数

$x(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}t}$ 其中 $f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$ = 200MHz

(2)

$Xn$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{t_{0}-{\frac {2}{T_{0}}}}^{t_{0}+{\frac {2}{T_{0}}}}X(t)e^{j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{t_{0}-{\frac {2}{T_{0}}}}^{t_{0}+{\frac {2}{T_{0}}}}Ae^{j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {A\tau }{T_{0}}}\sin c(nf_{0}\tau )e^{-j2\pi nf_{0}t_{0}}$ = $1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f_{0}*10^{-}6}$

$\Rightarrow$ $|Xn|$ = $|1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)|$

$\angle Xn$ = $[\angle \sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)]+(0.004\pi f_{0}*10^{-}6)$

(3)因为

$x(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}t}$

取傅里叶转换得

$X(f)$ = $\Im$ { $X(t)$ } = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }[1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6nf_{0})e^{-j0.004\pi f_{0}*10^{-}6}]$ $\delta (f-f_{0})$

故

$|X(f)|$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }>|1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)|\delta (f-nf_{0})$

$\angle X(f)={\begin{cases}[\angle \sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)]-(0.004\pi f_{0}*10^{-}6),&f=nf_{0}n=0,\pm 1,\pm 2,...\\0,&other\end{cases}}$

范例5.26

试求脉冲序列(impulse train)

$\delta _{T0}(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $\delta (t-nT_{0})$

的傅里叶转换。

【解】

                (1)脈衝序列 $\delta _{T}0(t)$ 為一週期訊號，基本週期為T_0
         
              (2)用傅立葉級數表示

$\delta _{T}0(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $\delta (t-nT_{0})$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Delta _{n}e^{j2\pi nf_{0}}$ , $f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

其中 $\Delta _{n}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{t_{1}}^{t_{1}+{T_{0}}}\delta _{T_{0}}(t)e^{-j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {2}{-T_{0}}}^{\frac {2}{T_{0}}}\delta _{T_{0}}(t)e^{-j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {2}{-T_{0}}}^{\frac {2}{T_{0}}}\delta (t)e^{-j2\pi nf_{0}t}\,dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$ = $f_{0}$

故 $\delta _{T_{0}}(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $\delta (t-nT_{0})$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{0}e^{j2\pi nf_{0}t}$

(3) $\delta _{T_{0}}(t)$ 的傅里叶转换

$\Im$ { $\delta _{T_{0}}(t)$ } = $\Delta _{T_{0}}(f)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $f_{0}\delta (f-nf_{0})$

周期信号的傅里叶转换—方法二

x(t) 为ㄧ周期信号，基本周期为T_0

定义：

$X_{p}(t)={\begin{cases}X(t),&t1<t<t1+T_{0}\\0,&other\end{cases}}$

故

X_p(t)* \delta_{T0}(t) = X_p(t)* [ $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $f_{0}\delta (t-nT_{0})$ ] = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $[X_{p}(t)*\delta (t-nT_{0})]$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $X_{p}(t-nT_{0})$ = X(t)

所以

X(f) = $\Im$ { $X(t)$ } = $\Im$ { $X_{p}(t)*\delta _{T0}(t)$ } $X_{p}(f)\delta _{T0}(f)$ = X_p(f) $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $f_{0}\delta (f-nf_{0})$ = f_0 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $X_{p}(nf_{0})\delta (f-nf_{0})$

范例5.27

同先前范例5.25，试改用第二种方法求下图 x(t) 之傅里叶转换。

【解】︰

                (1)上圖週期訊號 x(t) 可表示成

$X(t)=X_{P}(t)*\delta _{T0}(t)$ $(T_{0}=0.005us)$

其中

$X_{P}(t)=4rect({\frac {t-0.002*10^{-}6}{0.002*10^{-}6}})$

(2)已知

$X_{p}(f)$ = $\Im$ { $X_{p}(t)$ } = $(0.008*10^{-}6)\sin c(0.002f*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f*10^{-}6}$

$\delta _{T0}(f)$ = $\Im$ { $\delta _{T0}(t)$ } = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$ $f_{0}\delta (f-nf_{0})$ , $f_{0}=200MHz$

(3)故

$X(f)=X_{P}(f)\delta _{T0}(f)$ = $[(0.008*10^{-}6)\sin c(0.002f*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f*10^{-}6}[\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{0}\delta (f-nf_{0})]$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }[1.6\sin c(0.002nf_{0}*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f*10^{-}6}]\delta (f-nf_{0})$