線性代數/一次聯立方程式與增廣矩陣

高斯消去法

n 元一次聯立方程式

在中學數學的課程中，已充份討論了二元一次聯立方程式

$\left\{{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\end{aligned}}\right.$

並且有探討唯一解、無解、無限多組解的情況。

例如

$\left\{{\begin{aligned}2x_{1}+x_{2}=1\\3x_{1}-x_{2}=4\end{aligned}}\right.$

有唯一解 $x_{1}=1,x_{2}=-1$。

很直覺的，會想將它推廣至 n 元一次聯立方程式

$\left\{{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}&=b_{n}\end{aligned}}\right.$

舉例來說，當 n = 3 時，三元一次聯立方程式的幾何意義是求 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 空間中三個平面的交點，例如方程式

$\left\{{\begin{aligned}3x_{1}+3x_{2}+2x_{3}&=1\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\2x_{1}-x_{2}+2x_{3}&=5\end{aligned}}\right.$

的解是 $(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,-1,2)$。

在此要等特別指出的是，一個 n 元一次聯立方程式的等式數量並非定性的要求恰好 n 個，但是如果看完後續的內容，會知道 n 個等式的情形擁有最多可探討的性質，因此目前我們姑且都只研究該情況。

高斯消去法

想要解一般的 n 元一次聯立方程式，可以模仿中學時教過的二元一次聯立方程式的解法 比較一下代入消去法和加減消去法，會發現加減消去法似乎比較有推廣的潛力。

事實上，實際的做法正是大致如此：首先對不同條的方程式進行加加減減以消去一個變數，重複這個步驟直到止剩一個變數，因此可以輕鬆解出該變數，接著再將解代回原方程式便可以依序把過程中消掉的變數通通解出來。

確切的過程以上一節的一元三次聯立方程式為例演示如下

$\left\{{\begin{aligned}3x_{1}+3x_{2}+2x_{3}&=1\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\2x_{1}-x_{2}+2x_{3}&=5\end{aligned}}\right.{\overset {(1)}{\Longrightarrow }}\left\{{\begin{aligned}15x_{1}-x_{3}&=-2\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\-2x_{1}+3x_{3}&=6\end{aligned}}\right.{\overset {(2)}{\Longrightarrow }}\left\{{\begin{aligned}15x_{1}-x_{3}&=-2\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\43x_{1}&=0\end{aligned}}\right.$

上述操作的思路如下，首先第一步要找一個比較好消的變數來消掉，由於 $x_{1}$ 的係數比較大，消完容易產生分數，於是決定於首步驟 (1) 中消去 $x_{2}$：將第一式加上 3 倍的第二式，且將第三式減去 1 倍的第二式，即得到中間的聯立方程式。此時只看第一式及第三式，會得到一個關於 $x_{1}$, $x_{3}$ 的二元一次聯立方程式，於是再對它們做一次加減消去法，即步驟 (2)：將第三式加上 3 倍的第一式，得到最右邊的聯立方程式。

注意到此時第三式已經給出了一個變數的解 $x_{1}=0$ 接下來要做的是將已知變數的解代回去聯立方程式中解出未知的變數。

$\left\{{\begin{aligned}15x_{1}-x_{3}&=-2\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\43x_{1}&=0\end{aligned}}\right.{\overset {(3)}{\Longrightarrow }}\left\{{\begin{aligned}-x_{3}&=-2\\-x_{2}-x_{3}&=-1\\x_{1}&=0\end{aligned}}\right.{\overset {(4)}{\Longrightarrow }}\left\{{\begin{aligned}x_{3}&=2\\-x_{2}&=1\\x_{1}&=0\end{aligned}}\right.$

步驟 (3) 的操作是將第三式的 $x_{1}=0$ 代入第一式及第二式中，從而發現第一式已經給出了 $x_{3}=2$，再經由步驟 (4) 代入第二式，而解出最後一個變數 $x_{2}=-1$。

對於一般的 n 元一次聯立方程式，都可以用如上述的方法將變數一個接著一個消掉，再一個一個解出來，操作手法便不再贅述。

特殊情況

如同二元一次聯立方程式，一般的 n 元一次聯立方程式除了有唯一一組解的情形，還有另外兩種情況：

• 無解。例如

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}-x_{2}+x_{3}&=1\\2x_{1}-2x_{2}+2x_{3}&=3\\2x_{1}-x_{2}+2x_{3}&=5\end{aligned}}\right.$

因為第二式減去 2 倍的第一式會得到 0=1。

• 無限多組解。例如

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}-x_{2}+x_{3}&=1\\2x_{1}-2x_{2}+2x_{3}&=2\\3x_{1}-3x_{2}+3x_{3}&=3\end{aligned}}\right.$

因為三條式子都是差一個常數倍，其實講的是同一件事。

關於什麼時候會出現上述兩種特殊情況，我們留待後面的章節引入更多工具之後再做討論。

方程組的矩陣表示

前述的算法有個小缺點，當未知數的個數很多的時候，在計算過程中要不斷書寫符號 $x_{1}$、$x_{2}$…非常繁瑣。為了解決這個問題，我們要引入一個新的記號：增廣矩陣。

增廣矩陣

觀察一下，一個一般的 n 元一次聯立方程式會長成以下的形式

$\left\{{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}&=b_{n}\end{aligned}}\right.$

在這裡可以看到係數項 $a_{11}$、…、$a_{nn}$ 及常數項 $b_{1}$、…、$b_{n}$ 已經對齊得非常漂亮，因此我們就將這些必要的資訊抽出，寫成增廣矩陣

$\left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}&b_{n}\end{array}}\right]$

特別要注意的是，如果第 i 個式子中沒有 $x_{j}$ 項，也就是 $a_{ij}=0$，在增廣矩陣中仍然要把 0 填在 $a_{ij}$ 的欄位，以免造成誤會。

以上一節解三元一次聯立方程式為例，整個運算過程會寫成

${\begin{aligned}&\left[{\begin{array}{ccc|c}3&3&2&1\\4&-1&-1&-1\\2&-1&2&5\end{array}}\right]{\overset {(1)}{\Longrightarrow }}\left[{\begin{array}{ccc|c}15&0&-1&-2\\4&-1&-1&-1\\-2&0&3&6\end{array}}\right]{\overset {(2)}{\Longrightarrow }}\left[{\begin{array}{ccc|c}15&0&-1&-2\\4&-1&-1&-1\\43&0&0&0\end{array}}\right]\\{\overset {(3)}{\Longrightarrow }}&\left[{\begin{array}{ccc|c}0&0&-1&-2\\0&-1&-1&-1\\1&0&0&0\end{array}}\right]{\overset {(4)}{\Longrightarrow }}\left[{\begin{array}{ccc|c}0&0&1&2\\0&-1&0&1\\1&0&0&0\end{array}}\right]\end{aligned}}$

在這裡可以發現，如果原本方程式是第一式加上 3 倍第二式，在增廣矩陣表示法中，變成第一列加上 3 倍的第二列。也就是說，原本方程式各式中的運算，全部變成增廣矩陣中橫列的運算。

有了這種表示法之後，將可以在下一節中仔細的探討一個一般的 n 元一次聯立方程式的所有解，當然也包括無解。