微積分學/常微分方程

常微分方程是未知函數只含有一個自變量的微分方程。

其實,在之前的學習過程中,你已經研究過一些非常簡單的微分方程的解。比如說

其中為函數,你實際上是在解微分方程

符號和術語

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使用恰當的符號可以讓我們解微分方程更容易。

本文將主要使用以下四個符號來表示 的導數:

  •  
  •  
  •  
  •  (用於可分離變量方程)

術語

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考慮如下微分方程

 

方程中導數最高為2階,因此我們說該方程為二階微分方程

一些簡單的微分方程

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求解微分方程的一個關鍵思想是積分。

我們來考慮下面這個二階微分方程

 

我們怎麼解決這個問題呢?方程告訴我們,求兩次導以後,得到常數2,所以,如果我們積分兩次,應該就能算出答案。

積分一次:

 
 

我們已經把困難的二階微分方程轉化成了一個簡單點的方程,即

 

這個等式告訴我們,把函數求一次導,可以得到 。我們再積分一次,就能算出答案了。

 
 

這就是微分方程的。對任意  ,都有 

  初始條件的值有關。如果待解方程給定了初始條件,我們可以在積分之後替換進去。

例題

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求解  ,初始條件為  

解答過程會比上面多這麼幾步:

 
 
 
 
 
 
 

如果沒有初始條件,我們算出的答案就叫通解;如果有初始條件,就叫特解

基本一階微分方程

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在本節中,我們將研究四種微分方程:

  • 可分離變量方程
  • 齊次方程
  • 線性方程
  • 全微分方程

此外,還有許多其他形式的微分方程,將在下一節中討論。

可分離變量方程

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可分離變量方程基本形式為(這裡使用 更方便)

 

之前我們只處理過 的微分方程。上面那個可分離變量方程怎麼解決呢?

我們把變量    放到一起

 

兩邊分別對  積分

 

便能得到解答。

例題

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求解

 

分離變量

 

兩邊積分

 
 
 

 ,其中 為常數,得到

 

這便是上述方程的通解。

驗算

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這一步不是必要的,但是可以用來驗證答案的正確性。

我們算出來的答案是

 

題目是

 

把答案對 微分,得

 

由於 ,所以

 

我們得到了題給的微分方程,因此我們的答案是正確的。

齊次方程

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齊次方程形式為

 

這看起來很困難,但我們可以令 ,得到

 

現在只需處理 而非 了。

再用 來表示 ,即 

 

於是

 
 
 

就變成了可分離變量方程。

例題

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求解

 

我們把式子寫成這樣

 
 

 ,得到

 

再用 來表示 

 

兩邊消去 ,化簡

 

分離變量

 

兩邊積分

 
 
 
 

這便是上述方程的通解。

線性方程

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一階線性微分方程形式為

 

注意到方程兩邊同時乘或除 的任意非零函數,都不會對解產生影響。

乍一看,等式左邊不能直接積分。但是,有一個特殊情況。如果  的導數,我們就可以這麼辦

 

現在,積分就很簡單了。

我們把原方程兩邊同時乘以任意一個函數 ,得到

 

我們假設如下條件:

 

如果這個條件滿足,就可以用上面說的那種辦法了。

這個條件其實等價於

 

積分,得

 
 

把常數 設為1,不會對結果產生影響。

代入原方程,得

 

化簡,得

 

兩邊積分並除以 

 

我們稱 積分因子。類似的方法也可用於其他一些微積分問題。

例題

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求解

 ,初始條件為 

首先算出積分因子 

 

方程兩邊同時乘 ,得

 

 

積分,得

 

全微分方程

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全微分方程形式為

 

且有性質

 (即  的導數等於  的導數)

(如果微分方程沒有這個性質,那麼我們就不能再繼續解下去了。)

因此,如果我們有一個全微分方程,那麼就存在一個函數 使得

 ,且 

於是解的形式為

 

便可通過積分找到 

基本二階和高階常微分方程

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 階常微分方程的通解會含有 個積分常量。要把它們都計算出來,我們還需要 個方程。大多數情況下,題目會給定

邊緣條件,即 取兩個不同的值時 及其導數的值

或者

初始條件,即 取某一值時 及其前 階導數的值。

可降階常微分方程

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一、如果自變量 不出現在微分方程中,那麼我們便可以把二階微分方程降為一階微分方程。

考慮方程

 

 

 

將這兩個表達式代入原方程,我們得到

 =0

這便是一個一階微分方程。

例題

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求解

 

其中當 時, 

首先,我們進行代換,得到

 

這是一個一階常微分方程。整理並分離變量,得

 

兩邊積分,得

 

我們知道了當   的值,所以我們可以求出 

 

接下來

 

然後開平方根

 

要找到根號外面是取正號還是取負號,我們可以再用一遍初始條件,便可以把符號排除,得到

 

其解為

 

因為當  ,所以 ,於是

 

二、如果因變量 不出現在微分方程中,那麼我們也可以把二階微分方程降為一階微分方程。

考慮方程

 

 

 

將這兩個表達式代入原方程,我們得到

 =0

這便是一個一階微分方程。

線性常微分方程

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稱形如

 

的常微分方程為線性。這類方程比典型的非線性常微分方程更容易解決。初等函數只能解決少數特殊情況,但一般的線性常微分方程的解法超出本書討論範圍。

若對任意  ,則稱該常微分方程齊次

一般的線性方程有這麼兩個有用的性質:

  1. 一個齊次線性方程的解的任意線性組合都是該方程的解;
  2. 如果已知一個非齊次線性方程的解,我們給它加上對應的齊次線性方程的任意一個解,就會得到該非齊次線性方程的另一個解。

常數變易法

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假設我們有一個線性常微分方程

 

並且我們知道它的一個解為 

由性質可知 總是原方程的一個解,因此方程便變為  階線性方程。

我們知道 為常數是方程的一個解,因此 的這個常微分方程一定不含有 項,所以它實際上是一個 階線性常微分方程,這樣便使方程降了一階。

例題
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求解

 

方程的一個解為 ,因此我們把 代入方程,得到

 

化簡,得

 

這是一個 的一階方程,解得

  

由於方程是線性的,兩個解的線性組合便是通解,即

 

常係數線性齊次常微分方程

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假設我們有一個常微分方程

 

我們猜測有一個解為

 

這個函數 ,因此方程變為

 

 顯然是一個解,不考慮。我們只需研究

 

這是原方程的特徵方程

這個方程可以有多達 個解 ,每一個 都對應著原方程的一個解。

由於方程是線性的, 個解的線性組合便是通解,即

 
二階
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如果常微分方程是二階

 

那麼特徵方程就是二次方程

 

其根為

 

 的符號不同,我們有以下三種情況:

一、 

此時方程有兩個不同實根,我們可直接寫出解

 

二、 

此時方程有兩個虛根。我們可以像上面那樣直接把它們寫到表達式中,但其實還有另一種更好的形式。

 ,則解為

 

這個表達式如果是實數,兩個 必定共軛,即

 

代入,得

 

三、 

此時方程有兩個相等的實根 。我們得使用另一種方法來找到另一個不同的解。

為此,我們使用常數變易法。用 表示  ,待解方程變為

 

從這個特徵方程我們可以知道方程的一個解是 ,因此我們令 ,得到

 

所以 ,於是

  

所以這第二個解就是第一個解乘 

高階方程的處理方法也是這樣的。比如說,如果特徵方程是這樣的:

 

那麼對應的常微分方程的通解就是

 

過程中最困難的部分就是找到特徵方程的解。