微積分學/常微分方程

常微分方程是未知函數只含有一個自變量的微分方程。

其實，在之前的學習過程中，你已經研究過一些非常簡單的微分方程的解。比如說

$\int f(x)\mathrm {d} x=g(x)$

其中$g(x)$為函數，你實際上是在解微分方程

$g'(x)=f(x)\,$

符號和術語

使用恰當的符號可以讓我們解微分方程更容易。

本文將主要使用以下四個符號來表示$f$的導數：

• $\mathrm {D} y$
• $f'$
• $\mathrm {d} f$
• ${\mathrm {d} f \over \mathrm {d} x}$（用於可分離變量方程）

術語

考慮如下微分方程

$3f^{\prime \prime }(x)+5xf(x)=11$

方程中導數最高為2階，因此我們說該方程為二階微分方程。

一些簡單的微分方程

求解微分方程的一個關鍵思想是積分。

我們來考慮下面這個二階微分方程

$f''(x)=2\,$

我們怎麼解決這個問題呢？方程告訴我們，求兩次導以後，得到常數2，所以，如果我們積分兩次，應該就能算出答案。

積分一次：

$\int f''(x)\,dx=\int 2\,dx$

$f'(x)=2x+C_{1}\,$

我們已經把困難的二階微分方程轉化成了一個簡單點的方程，即

$f'(x)=2x+C_{1}\,$

這個等式告訴我們，把函數求一次導，可以得到$2x+C_{1}$。我們再積分一次，就能算出答案了。

$\int f'(x)\,dx=\int 2x+C_{1}\,dx$

$f(x)=x^{2}+C_{1}x+C_{2}\,$

這就是微分方程的解。對任意$C_{1}$和 $C_{2}$，都有$f''=2\,$。

$C_{1}$和$C_{2}$與初始條件的值有關。如果待解方程給定了初始條件，我們可以在積分之後替換進去。

例題

求解 $f''(x)=2\,$，初始條件為$f'(0)=3\,$，$f(0)=2\,$。

解答過程會比上面多這麼幾步：

$f'(0)=2(0)+C_{1}\,$

$3=C_{1}\,$

$\int f'(x)\,dx=\int 2x+3\,dx$

$f(x)=x^{2}+3x+C_{2}\,$

$f(0)=0^{2}+3(0)+C_{2}\,$

$2=C_{2}\,$

$f(x)=x^{2}+3x+2\,$

如果沒有初始條件，我們算出的答案就叫通解；如果有初始條件，就叫特解。

基本一階微分方程

在本節中，我們將研究四種微分方程：

• 可分離變量方程
• 齊次方程
• 線性方程
• 全微分方程

此外，還有許多其他形式的微分方程，將在下一節中討論。

可分離變量方程

可分離變量方程基本形式為（這裡使用${dy \over dx}$更方便）

${dy \over dx}={f(x) \over g(y)}$

之前我們只處理過$g(y)=1$的微分方程。上面那個可分離變量方程怎麼解決呢？

我們把變量$x$和$dx$、$y$和$dy$放到一起

$g(y)\ dy=f(x)\ dx$

兩邊分別對$y$和$x$積分

$\int g(y)\,dy=\int f(x)\,dx+C$

便能得到解答。

例題

求解

${dy \over dx}=3x^{2}y$

分離變量

${dy \over y}=(3x^{2})\,dx$

兩邊積分

$\int {dy \over y}=\int 3x^{2}\,dx$

$\ln {y}=x^{3}+C\,\!$

$y=e^{x^{3}+C}$

令$k=e^{C}$，其中$k$為常數，得到

$y=ke^{x^{3}}$

這便是上述方程的通解。

驗算

這一步不是必要的，但是可以用來驗證答案的正確性。

我們算出來的答案是

$y=ke^{x^{3}}$

題目是

${dy \over dx}=3x^{2}y$

把答案對$x$微分，得

${dy \over dx}=3kx^{2}e^{x^{3}}$

由於$y=ke^{x^{3}}$，所以

${dy \over dx}=3x^{2}y$

我們得到了題給的微分方程，因此我們的答案是正確的。

齊次方程

齊次方程形式為

${dy \over dx}=f({y \over x})$

這看起來很困難，但我們可以令$v={y \over x}$，得到

${dy \over dx}=f(v)$

現在只需處理$f(v)$而非$f({y \over x})$了。

再用$v$來表示$y$，即$y=vx$，

${dy \over dx}={dvx \over dx}=v+x{dv \over dx}$

於是

$v+x{dv \over dx}=f(v)$

$x{dv \over dx}=f(v)-v$

${dv \over dx}={f(v)-v \over x}$

就變成了可分離變量方程。

例題

求解

${dy \over dx}={y^{2}+x^{2} \over yx}$

我們把式子寫成這樣

${dy \over dx}={y^{2} \over yx}+{x^{2} \over yx}$

${dy \over dx}={x \over y}+{y \over x}$

令$v={y \over x}$，得到

${dy \over dx}={1 \over v}+v$

再用$v$來表示$y$

$v+x{dv \over dx}={1 \over v}+v$

兩邊消去$v$，化簡

$x{dv \over dx}={1 \over v}$

分離變量

$v\,dv={dx \over x}$

兩邊積分

${1 \over 2}v^{2}+C=\ln(x)\,$

${1 \over 2}\left({y \over x}\right)^{2}=\ln(x)-C$

$y^{2}=2x^{2}\ln(x)-2Cx^{2}\,$

$y=x{\sqrt {2\ln(x)-2C}}$

這便是上述方程的通解。

線性方程

一階線性微分方程形式為

$a(x){dy \over dx}+b(x)y=c(x)$

注意到方程兩邊同時乘或除$x$的任意非零函數，都不會對解產生影響。

乍一看，等式左邊不能直接積分。但是，有一個特殊情況。如果$b$是$a$的導數，我們就可以這麼辦

$a(x){dy \over dx}+b(x)y=a(x){dy \over dx}+y{da \over dx}={d \over dx}a(x)y$

現在，積分就很簡單了。

我們把原方程兩邊同時乘以任意一個函數$I(x)$，得到

$aI{dy \over dx}+bIy=cI$

我們假設如下條件：

${\frac {d}{dx}}aI=bI$

如果這個條件滿足，就可以用上面說的那種辦法了。

這個條件其實等價於

${\frac {1}{I}}{\frac {dI}{dx}}={\frac {b-{\frac {da}{dx}}}{a}}$

積分，得

$\ln I(x)=\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz-\ln a(x)+c\quad$

$I(x)={\frac {k}{a(x)}}e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}$

把常數$k$設為1，不會對結果產生影響。

代入原方程，得

$e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{dy \over dx}+e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {b(x)}{a(x)}}y=e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}$

化簡，得

${d \over dx}(ye^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz})=e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}$

兩邊積分並除以$e^{I}$ 得

$y=e^{-\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}\left(\int e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}dx+C\right)$

我們稱$I$為積分因子。類似的方法也可用於其他一些微積分問題。

例題

求解

${\frac {dy}{dx}}+y\tan x=1$，初始條件為$y(0)=0$

首先算出積分因子$I$

$I=e^{\int \tan xdx}=e^{\ln \sec x}=\sec x$

方程兩邊同時乘$I$，得

$\sec x{\frac {dy}{dx}}+y\sec x\tan x=\sec x$

或

${\frac {d}{dx}}y\sec x=\sec x$

積分，得

$y=\cos x\int _{0}^{x}\sec z\,dz=\cos x\ln(\sec x+\tan x)$

全微分方程

全微分方程形式為

$f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$

且有性質

$D_{x}f=D_{y}g$（即$f$對$x$的導數等於$g$對$y$的導數）

（如果微分方程沒有這個性質，那麼我們就不能再繼續解下去了。）

因此，如果我們有一個全微分方程，那麼就存在一個函數$h(x,y)$使得

$D_{y}h=f$，且$D_{x}h=g$

於是解的形式為

$h(x,y)=c$

便可通過積分找到$h(x,y)$。

基本二階和高階常微分方程

$n$階常微分方程的通解會含有$n$個積分常量。要把它們都計算出來，我們還需要$n$個方程。大多數情況下，題目會給定

邊緣條件，即$x$取兩個不同的值時$y$及其導數的值

或者

初始條件，即$x$取某一值時$y$及其前$n-1$階導數的值。

可降階常微分方程

一、如果自變量$x$不出現在微分方程中，那麼我們便可以把二階微分方程降為一階微分方程。

考慮方程

$F\left(y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0$

令

$u={\frac {dy}{dx}}$

則

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {du}{dx}}={\frac {du}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dy}}\cdot u$

將這兩個表達式代入原方程，我們得到

$F\left(y,u,{\frac {du}{dy}}\cdot u\right)$=0

這便是一個一階微分方程。

例題

求解

$1+2y^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

其中當$x=0$時，$y=y'=1$。

首先，我們進行代換，得到

$1+2y^{2}u{\frac {du}{dy}}=0$

這是一個一階常微分方程。整理並分離變量，得

$udu=-{\frac {dy}{2y^{2}}}$

兩邊積分，得

${\frac {u^{2}}{2}}=c+{\frac {y}{2}}$

我們知道了當$x=0$時$y$和$u$的值，所以我們可以求出$c$

$c={\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {y}{2}}={\frac {1^{2}}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 1}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}=0$

接下來

${\frac {dy}{dx}}^{2}=u^{2}={\frac {1}{y}}$

然後開平方根

${\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {y}}}$

要找到根號外面是取正號還是取負號，我們可以再用一遍初始條件，便可以把符號排除，得到

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {y}}}$

其解為

${\frac {2}{3}}y^{\frac {3}{2}}=x+d$

因為當$x=0$時$y=1$，所以$d={\frac {2}{3}}$，於是

$y=\left(1+{\frac {3x}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}$

二、如果因變量$y$不出現在微分方程中，那麼我們也可以把二階微分方程降為一階微分方程。

考慮方程

$F\left(x,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0$

令

$u={\frac {dy}{dx}}$

則

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {du}{dx}}$

將這兩個表達式代入原方程，我們得到

$F\left(x,u,{\frac {du}{dx}}\right)$=0

這便是一個一階微分方程。

線性常微分方程

稱形如

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{n}y=F(x)$

的常微分方程為線性。這類方程比典型的非線性常微分方程更容易解決。初等函數只能解決少數特殊情況，但一般的線性常微分方程的解法超出本書討論範圍。

若對任意$x$，$F(x)=0$，則稱該常微分方程齊次。

一般的線性方程有這麼兩個有用的性質：

1. 一個齊次線性方程的解的任意線性組合都是該方程的解；
2. 如果已知一個非齊次線性方程的解，我們給它加上對應的齊次線性方程的任意一個解，就會得到該非齊次線性方程的另一個解。

常數變易法

假設我們有一個線性常微分方程

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{n}(x)y=0$

並且我們知道它的一個解為$y=w(x)$。

由性質可知$y=wz$總是原方程的一個解，因此方程便變為$z$的$n$階線性方程。

我們知道$z$為常數是方程的一個解，因此$z$的這個常微分方程一定不含有$z$項，所以它實際上是一個$n-1$階線性常微分方程，這樣便使方程降了一階。

例題

求解

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {6}{x^{2}}}y=0$

方程的一個解為$y=x^{2}$，因此我們把$y=zx^{2}$代入方程，得到

$\left(x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+4x{\frac {dz}{dx}}+2z\right)+{\frac {2}{x}}\left(x^{2}{\frac {dz}{dx}}+2xz\right)-{\frac {6}{x^{2}}}x^{2}z=0$

化簡，得

$x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+6x{\frac {dz}{dx}}=0$

這是一個${\frac {dz}{dx}}$的一階方程，解得

$z=Cx^{-5}$，$y=Cx^{-3}$

由於方程是線性的，兩個解的線性組合便是通解，即

$y=C_{1}x^{-3}+C_{2}x^{2}$

常係數線性齊次常微分方程

假設我們有一個常微分方程

$(D^{n}+a_{1}D^{n-1}+...+a_{n-1}D+a_{0})y=0$

我們猜測有一個解為

$y=e^{px}$

這個函數$D^{n}y=p^{n}y$，因此方程變為

$(p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_{0})y=0$

$y=0$顯然是一個解，不考慮。我們只需研究

$p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_{0}=0$

這是原方程的特徵方程。

這個方程可以有多達$n$個解$p_{1},p_{2},...,p_{n}$，每一個$p$都對應着原方程的一個解。

由於方程是線性的，$n$個解的線性組合便是通解，即

$y=C_{1}e^{p_{1}x}+C_{2}e^{p_{2}x}+...+C_{n}e^{p_{n}x}$

二階

如果常微分方程是二階

$D^{2}y+bDy+cy=0$

那麼特徵方程就是二次方程

$p^{2}+bp+c=0$

其根為

$p_{\pm }={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}$

依$b^{2}-4c$的符號不同，我們有以下三種情況：

一、$b^{2}-4c>0$

此時方程有兩個不同實根，我們可直接寫出解

$y=C_{1}e^{p_{+}}+C_{2}e^{p_{-}}$

二、$b^{2}-4c<0$

此時方程有兩個虛根。我們可以像上面那樣直接把它們寫到表達式中，但其實還有另一種更好的形式。

令$k^{2}=4c-b^{2}$，則解為

$y=C_{+}e^{ikx-{\frac {bx}{2}}}+C_{-}e^{-ikx-{\frac {bx}{2}}}$

這個表達式如果是實數，兩個$C$必定共軛，即

$C_{\pm }=Ce^{\pm ia}$

代入，得

$y=Ce^{\frac {-bx}{2}}\cos(kx+c)$

三、$b^{2}-4c=0$

此時方程有兩個相等的實根$p=-{\frac {b}{2}}$。我們得使用另一種方法來找到另一個不同的解。

為此，我們使用常數變易法。用$p$表示$b$和$c$，待解方程變為

$D^{2}y-2pDy+p^{2}y=0$

從這個特徵方程我們可以知道方程的一個解是$y=e^{px}$，因此我們令$y=ze^{px}$，得到

$(e^{px}D^{2}z+2pe^{px}Dz+p^{2}e^{px}z)-2p(e^{px}Dz+pe^{px}z)+p^{2}e^{px}z=0$

所以$D^{2}z=0$，於是

$z=C_{1}x+C_{2}$，$y=(C_{1}x+C_{2})e^{px}$

所以這第二個解就是第一個解乘$x$。

高階方程的處理方法也是這樣的。比如說，如果特徵方程是這樣的：

$(p-1)^{4}(p-3)(p^{2}+1)^{2}=0$

那麼對應的常微分方程的通解就是

$y=(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}x^{3})e^{x}+C_{5}e^{3x}+C_{6}\cos(x+c_{1})+C_{7}x\cos(x+c_{2})$

過程中最困難的部分就是找到特徵方程的解。