微積分學/常微分方程

常微分方程是未知函數只含有一個自變量的微分方程。

其實,在之前的學習過程中,你已經研究過一些非常簡單的微分方程的解。比如說

其中為函數,你實際上是在解微分方程

符號和術語

編輯

使用恰當的符號可以讓我們解微分方程更容易。

本文將主要使用以下四個符號來表示 的導數:

  •  
  •  
  •  
  •  (用於可分離變量方程)

術語

編輯

考慮如下微分方程

 

方程中導數最高為2階,因此我們說該方程為二階微分方程

一些簡單的微分方程

編輯

求解微分方程的一個關鍵思想是積分。

我們來考慮下面這個二階微分方程

 

我們怎麼解決這個問題呢?方程告訴我們,求兩次導以後,得到常數2,所以,如果我們積分兩次,應該就能算出答案。

積分一次:

 
 

我們已經把困難的二階微分方程轉化成了一個簡單點的方程,即

 

這個等式告訴我們,把函數求一次導,可以得到 。我們再積分一次,就能算出答案了。

 
 

這就是微分方程的。對任意  ,都有 

  初始條件的值有關。如果待解方程給定了初始條件,我們可以在積分之後替換進去。

例題

編輯

求解  ,初始條件為  

解答過程會比上面多這麼幾步:

 
 
 
 
 
 
 

如果沒有初始條件,我們算出的答案就叫通解;如果有初始條件,就叫特解

基本一階微分方程

編輯

在本節中,我們將研究四種微分方程:

  • 可分離變量方程
  • 齊次方程
  • 線性方程
  • 全微分方程

此外,還有許多其他形式的微分方程,將在下一節中討論。

可分離變量方程

編輯

可分離變量方程基本形式為(這裡使用 更方便)

 

之前我們只處理過 的微分方程。上面那個可分離變量方程怎麼解決呢?

我們把變量    放到一起

 

兩邊分別對  積分

 

便能得到解答。

例題

編輯

求解

 

分離變量

 

兩邊積分

 
 
 

 ,其中 為常數,得到

 

這便是上述方程的通解。

驗算

編輯

這一步不是必要的,但是可以用來驗證答案的正確性。

我們算出來的答案是

 

題目是

 

把答案對 微分,得

 

由於 ,所以

 

我們得到了題給的微分方程,因此我們的答案是正確的。

齊次方程

編輯

齊次方程形式為

 

這看起來很困難,但我們可以令 ,得到

 

現在只需處理 而非 了。

再用 來表示 ,即 

 

於是

 
 
 

就變成了可分離變量方程。

例題

編輯

求解

 

我們把式子寫成這樣

 
 

 ,得到

 

再用 來表示 

 

兩邊消去 ,化簡

 

分離變量

 

兩邊積分

 
 
 
 

這便是上述方程的通解。

線性方程

編輯

一階線性微分方程形式為

 

注意到方程兩邊同時乘或除 的任意非零函數,都不會對解產生影響。

乍一看,等式左邊不能直接積分。但是,有一個特殊情況。如果  的導數,我們就可以這麼辦

 

現在,積分就很簡單了。

我們把原方程兩邊同時乘以任意一個函數 ,得到

 

我們假設如下條件:

 

如果這個條件滿足,就可以用上面說的那種辦法了。

這個條件其實等價於

 

積分,得

 
 

把常數 設為1,不會對結果產生影響。

代入原方程,得

 

化簡,得

 

兩邊積分並除以 

 

我們稱 積分因子。類似的方法也可用於其他一些微積分問題。

例題

編輯

求解

 ,初始條件為 

首先算出積分因子 

 

方程兩邊同時乘 ,得

 

 

積分,得

 

全微分方程

編輯

全微分方程形式為

 

且有性質

 (即  的導數等於  的導數)

(如果微分方程沒有這個性質,那麼我們就不能再繼續解下去了。)

因此,如果我們有一個全微分方程,那麼就存在一個函數 使得

 ,且 

於是解的形式為

 

便可通過積分找到 

基本二階和高階常微分方程

編輯

 階常微分方程的通解會含有 個積分常量。要把它們都計算出來,我們還需要 個方程。大多數情況下,題目會給定

邊緣條件,即 取兩個不同的值時 及其導數的值

或者

初始條件,即 取某一值時 及其前 階導數的值。

可降階常微分方程

編輯

一、如果自變量 不出現在微分方程中,那麼我們便可以把二階微分方程降為一階微分方程。

考慮方程

 

 

 

將這兩個表達式代入原方程,我們得到

 =0

這便是一個一階微分方程。

例題

編輯

求解

 

其中當 時, 

首先,我們進行代換,得到

 

這是一個一階常微分方程。整理並分離變量,得

 

兩邊積分,得

 

我們知道了當   的值,所以我們可以求出 

 

接下來

 

然後開平方根

 

要找到根號外面是取正號還是取負號,我們可以再用一遍初始條件,便可以把符號排除,得到

 

其解為

 

因為當  ,所以 ,於是

 

二、如果因變量 不出現在微分方程中,那麼我們也可以把二階微分方程降為一階微分方程。

考慮方程

 

 

 

將這兩個表達式代入原方程,我們得到

 =0

這便是一個一階微分方程。

線性常微分方程

編輯

稱形如

 

的常微分方程為線性。這類方程比典型的非線性常微分方程更容易解決。初等函數只能解決少數特殊情況,但一般的線性常微分方程的解法超出本書討論範圍。

若對任意  ,則稱該常微分方程齊次

一般的線性方程有這麼兩個有用的性質:

  1. 一個齊次線性方程的解的任意線性組合都是該方程的解;
  2. 如果已知一個非齊次線性方程的解,我們給它加上對應的齊次線性方程的任意一個解,就會得到該非齊次線性方程的另一個解。

常數變易法

編輯

假設我們有一個線性常微分方程

 

並且我們知道它的一個解為 

由性質可知 總是原方程的一個解,因此方程便變為  階線性方程。

我們知道 為常數是方程的一個解,因此 的這個常微分方程一定不含有 項,所以它實際上是一個 階線性常微分方程,這樣便使方程降了一階。

例題
編輯

求解

 

方程的一個解為 ,因此我們把 代入方程,得到

 

化簡,得

 

這是一個 的一階方程,解得

  

由於方程是線性的,兩個解的線性組合便是通解,即

 

常係數線性齊次常微分方程

編輯

假設我們有一個常微分方程

 

我們猜測有一個解為

 

這個函數 ,因此方程變為

 

 顯然是一個解,不考慮。我們只需研究

 

這是原方程的特徵方程

這個方程可以有多達 個解 ,每一個 都對應着原方程的一個解。

由於方程是線性的, 個解的線性組合便是通解,即

 
二階
編輯

如果常微分方程是二階

 

那麼特徵方程就是二次方程

 

其根為

 

 的符號不同,我們有以下三種情況:

一、 

此時方程有兩個不同實根,我們可直接寫出解

 

二、 

此時方程有兩個虛根。我們可以像上面那樣直接把它們寫到表達式中,但其實還有另一種更好的形式。

 ,則解為

 

這個表達式如果是實數,兩個 必定共軛,即

 

代入,得

 

三、 

此時方程有兩個相等的實根 。我們得使用另一種方法來找到另一個不同的解。

為此,我們使用常數變易法。用 表示  ,待解方程變為

 

從這個特徵方程我們可以知道方程的一個解是 ,因此我們令 ,得到

 

所以 ,於是

  

所以這第二個解就是第一個解乘 

高階方程的處理方法也是這樣的。比如說,如果特徵方程是這樣的:

 

那麼對應的常微分方程的通解就是

 

過程中最困難的部分就是找到特徵方程的解。