代數/本書課文/數例

數列

數列的概念

例如：$a$, 36, $b$, 58, 69, 80　依此數列看，其公差等於$80-69=11$，故$b=36+11=47$, $a=36-11=25$

76, $A$, 66, ... , 51, 46, $B$, 36, $C$ 　依此數列看，其公差等於$51-46=5$，故$A=66+5=71$, $B=36+5=41$, $C=36-5=31$

238, $x$, $y$, $z$, －58

如果無相鄰兩數可求公差，令公差=$d$

238－d－d－d－d=－58, 238－4d=－58, 4d=296, d=74

x = 238－74=164, y = 238－74－74=90

z = 238－74－74－74=16

238－74－74－74－74=－58, 所以答案正確。

等差數列

等差數列的概念

每一項都與前一項相差一個常數，$a_{k}-a_{k-1}=d$，則$\{a_{k}\}$為等差數列。

等差數列的通項公式

第一項是 $a_{1}$ ，公差是 $d$ 的等差數列的通項公式是

${\boldsymbol {a_{n}=a_{1}+(n-1)d}}$

等差數列求和

裂項法、錯位相減法、組合數求和都能求出等差數列的和。

$\sum _{k=1}^{n}[a_{1}+(k-1)d]=a_{1}C_{n}^{1}+dC_{n}^{2}=a_{1}n+d{\frac {n(n-1)}{2}}$

等比數列

等比數列的概念

每一項與前一項的比為一個常數，${\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}=q$，則$\{a_{k}\}$為等比數列。

等比數列的通項公式

第一項是 $a_{1}$ ，公比是 $q$ 的等比數列的通項公式是

${\boldsymbol {a_{n}=a_{1}q^{n-1}}}$

這裡 $a_{1}\neq 0,q\neq 0,n$ 為自然數。

等比數列求和

裂項法、錯位相減法都能求出等比數列的和。

$\sum _{k=1}^{n}a_{1}q^{n-1}=a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

差比數列

一個等差數列乘上一個等比數列是差比數列，$a_{n}=[a+d(n-1)]r^{n-1}$

差比數列求和

裂項法、錯位相減法、逐項求導法、阿貝爾變換、差分算子求逆法都能求出差比數列的和。

$\sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=[{\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]r^{n}-[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]$

等差中項與等比中項

現在我們來研究下面兩個問題：

• 已知三數 $a,A,b$ 成等差數列，這三個數之間有什麼樣的關係？
• 已知三數 $a,G,b$ 成等比數列，這三個數之間有什麼樣的關係？

在解決這兩個問題時，要用到等差中項和等比中項的概念。

等差中項

根據等差數列的定義，我們知道如果 $a,A,b$ 這三個數成等差數列，那麼一定有

$A-a=b-A,$

由此可得

$2A=a+b,$

所以

$A={\frac {a+b}{2}}.$

反過來，如果 $A={\frac {a+b}{2}}$ ，那麼從

$A-a={\frac {a+b}{2}}-a={\frac {b-a}{2}},$

$b-A=b-{\frac {a+b}{2}}={\frac {b-a}{2}},$

也就可以知道 $a,A,b$ 這三個數成等差數列。

我們把

$A={\frac {a+b}{2}}$

叫做 $a$ 和 $b$ 的等差中項。

等比中項

根據等比數列的定義，我們知道如果 $a,G,b$ 這三個數成等比數列，那麼一定有

${\frac {G}{a}}={\frac {b}{G}},$

由此可得

$G^{2}=ab,$

當 $ab>0$ 的時候，就有

$G=\pm {\sqrt {ab}}.$

反過來，如果 $G=\pm {\sqrt {ab}}$ ，那麼從

${\frac {G}{a}}={\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{a}}=\pm {\sqrt {\frac {b}{a}}}$

和

${\frac {b}{G}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {ab}}}}=\pm {\sqrt {\frac {b}{a}}},$

也就可以知道 $a,G,b$ 這三個數成等比數列。

我們把

$G=\pm {\sqrt {ab}}$

叫做 $a$ 和 $b$ 的等比中項。

數列的極限

數列極限的一些定理

在研究數列極限的時候，常常要用到下面這些定理，現在我們不加證明的採用。

• 定理１　如果一個數列有極限，那麼它只能有一個極限。
• 定理２　如果一個數列是遞增有限數列，或者是遞減有限數列，那麼它一定有極限。
• 定理３　如果兩個數列都有極限，就是

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=A,\qquad \lim _{n\to \infty }b_{n}=B$

那麼，由這兩個數列各對應項的和、差、積、商所組成的數列，也有極限，並且

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n}=A+B,$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}-\lim _{n\to \infty }b_{n}=A-B,$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }b_{n}=A\cdot B,$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}={\frac {A}{B}}(B\neq 0).$

例如，數列

$0,\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {3}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n}},\,\cdots$

的極限是 $1$ 。

數列

${\frac {2}{1}},\,{\frac {3}{2}},\,{\frac {4}{3}},\,{\frac {5}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n+1}{n}},\,\cdots$

的極限也是 $1$ 。

以這兩個數列各對應項的和作數列：

$0+{\frac {2}{1}},\,{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}},\,{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{3}},\,{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n}}+{\frac {n+1}{n}},\,\cdots ,$

就是

$2,\,2,\,2,\,2,\,\cdots ,\,2,\,\cdots .$

很明顯，它的極限是 $2$ ，也就是原來這兩個數列極限之和。

以這兩個數列各對應項的差作數列：

$0-{\frac {2}{1}},\,{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}},\,{\frac {2}{3}}-{\frac {4}{3}},\,{\frac {3}{4}}-{\frac {5}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n}}-{\frac {n+1}{n}},\,\cdots ,$

就是

$-2,\,-1,\,-{\frac {2}{3}},\,-{\frac {2}{4}},\,\cdots ,\,-{\frac {2}{n}},\,\cdots .$

當 $n\to \infty$ 的時候，

$\left|-{\frac {2}{n}}-0\right|={\frac {2}{n}}\to 0.$

所以它的極限是 $0$ ，也就是原來這兩個數列的極限的差。

以這兩個數列各對應項的積作數列：

$0\cdot {\frac {2}{1}},\,{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}},\,{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}},\,{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n+1}{n}},\,\cdots ,$

就是

$0,\,{\frac {2^{2}-1}{2^{2}}},\,{\frac {3^{2}-1}{3^{2}}},\,{\frac {4^{2}-1}{4^{2}}},\,\cdots ,\,{\frac {n^{2}-1}{n^{2}}},\,\cdots .$

當 $n\to \infty$ 的時候，

$\left|{\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}-1\right|={\frac {1}{n^{2}}}\to 0.$

所以它的極限是 $1$ ，也就是原來這兩個數列的極限的積。

以這兩個數列各對應項的商作數列：

${\frac {0}{\dfrac {2}{1}}},\,{\frac {\dfrac {1}{2}}{\dfrac {3}{2}}},\,{\frac {\dfrac {2}{3}}{\dfrac {4}{3}}},\,{\frac {\dfrac {3}{4}}{\dfrac {5}{4}}},\,\cdots ,\,{\frac {\dfrac {n-1}{n}}{\dfrac {n+1}{n}}},\,\cdots ,$

就是

$0,\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n+1}},\,\cdots .$

當 $n\to \infty$ 的時候，

$\left|{\frac {n-1}{n+1}}-1\right|={\frac {2}{n+1}}\to 0.$

所以它的極限是 $1$ ，也就是原來這兩個數列的極限的商。