高中数学/不等式与数列/等差数列

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

基础知识

知识引入

卡尔·高斯（Johann Karl Friedrich Gauß，1777年－1855年）是十八世纪末、十九世纪初最重要的数学家。他在哥廷根大学任职期间，创立了“哥廷根学派”，使哥廷根大学成为当时的世界数学研究中心。他的学生波恩哈德·黎曼也是对现代数学的发展影响深远的名家。

200多年前，高斯的小学数学老师在课堂上提出了下面的问题：$1+2+3+\cdots +100=?$

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，小高斯却通过巧妙的配对求和方法，算出了正确答案： $(1+100)+(2+99)+\cdots +(50+51)=101\times 50=5050$

定义与基本概念

等差数列又称算术数列（arithmetic sequence），是相邻两项之差始终为常数的数列。等差数列相邻项的常数差值叫做公差。

如果已知等差数列$\langle a_{n}\rangle$的首项$a_{1}$和公差$d$，通过依次倒推的方法，可以得到等差数列的通项公式： $a_{n}=a_{n-1}+d=(a_{n-2}+d)+d=((a_{n-3}+d)+d)+d=...=a_{1}+(n-1)d$

以$a_{1}$为首项、$d$为公差的等差数列的通项公式为： $a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$

待定系数法求等差数列的通项公式与未知量

当已知数列是等差数列，但只知道一部分量或关系式时，可以使用待定系数法设出等差数列通项的一般形式表达式，然后带入已知条件中，通过化简和比较系统确定通项公式中的未知系数。

相关例题1：若等差数列$\{a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=2(n+1)+3$，求这个数列的公差。

相关例题2：在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2,2a_{n+1}=2a_{n}+1$，求$a_{101}$的值。

相关例题3：在等差数列$\{a_{n}\}$中，设d为公差，求解下列问题：
(1) 已知$a_{1}=2,d=3,n=10$，求$a_{n}$。
(2) 已知$a_{1}=3,a_{n}=21,d=2$，求n。
(3) 已知$a_{1}=12,a_{6}=27$，求d。
(4) 已知$d=-{\frac {1}{3}},a_{7}=8$，求$a_{1}$。

如果已知条件中会出现特定数列的多个相邻项，此时为了简化计算，可以采取一些小技巧。例如当给出等差数列$\{a_{n}\}$中的奇数个相邻项时，可以设夹在最中间的那一项为a，再以d为公差分别向2边分别设项，即将已知的几项设为$...,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,...$的形式；类似地，当给出等差数列$\{a_{n}\}$中的偶数个相邻项时，可以设夹在最中间的两项为$a-d,a+d$，再以2d为公差向两边分别设项，即将已知的几项设为$...,a-3d,a-d,a+d,a+3d,...$的形式。

相关例题4：已知成等差数列的4个数之和为26，第2个数与第3个数之积为40，求这4个数。

相关例题5：已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数。

相关例题6：《九章算术》上有一道题，说已知甲、乙、丙、丁、戊这5个人分5钱（“钱”是一种古代货币计量单位），甲、乙所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，求这5个人各得了多少钱？

相关例题7：在三角形ABC中，角A、B、C的对边长度分别为a、b、c。如果a、b、c成等差数列，$B=30^{\circ }$，三角形ABC的面积为${\frac {3}{2}}$，求边b的值。

倒序相加法与等差数列前n项和公式

设$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$，
再逆序写出各项：$S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_{1}$，
将以上2式逐项相加得：$S_{n}+S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+...+(a_{n}+a_{1})$。
又因为$(a_{1}+a_{n})=(a_{2}+a_{n-1})=(a_{3}+a_{n-2})=...=(a_{n}+a_{1})$，
所以可得（一共n组求和）：$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+...+(a_{1}+a_{n})=\sum _{i=1}^{n}(a_{1}+a_{n})={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n})$。

以$a_{1}$为首项、$d$为公差的等差数列的前n项和公式为： $S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}),\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$

即等差数列的前n项和等于首末项的和与项数乘积的一半。此公式常以汉语口诀记为“首相加末项，乘以项数，再除以二”。

上述的求和方法叫做倒序相加法，因高斯求和的故事而闻名。

常用结论与常见模型

等差数列的常用性质

将一个等差数列的每一项都乘以同1个常数后，得到的仍然是一个等差数列。

推论：设$f(x)$是一次函数，$\{a_{n}\}$是等差数列，则$\{f(a_{n})\}$也是一个等差数列。即等差数列经过一次函数变换后的象仍然是等差数列。

相关例题1：设数列$\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}$都是等差数列，若$a_{1}+b_{1}=7,a_{3}+b_{3}=21$，求$a_{5}+b_{5}$的值。

相关例题2：在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{4}+a_{7}=45,a_{2}+a_{5}+a_{8}=29$，求$a_{3}+a_{6}+a_{9}$的值。

相关例题3：已知等差数列$\{a_{n}\}$前9项的和为27，$a_{10}=8$，则$a_{100}=$ (    )。
A.100；B.99；C.98；D.97
（出自2016年中国大陆新课标高考全国卷I第3题。）

相关例题4：已知等差数列$\{a_{n}\}$满足$a_{5}a_{6}=4$，求$\log _{2}(2^{a_{1}}\times 2^{a_{2}}\times ...\times 2^{a_{10}})$的值。

相关例题5：已知数列$\{a_{n}\}$是等差数列，且$a_{1}+a_{4}+a_{7}=2\pi$，求$\cos(a_{3}+a_{5})$的值。

相关例题6：在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=3$，且对于任意大于1的正整数n，点$({\sqrt {a_{n}}},{\sqrt {a_{n-1}}})$都在直线$x-y-{\sqrt {3}}=0$上，求$a_{n}$的表达式。

相关例题7：已知数列$\{{\frac {a_{n}}{n}}\}$是等差数列，且$a_{3}=2,a_{15}=30$，求$a_{9}$的值。

相关例题8：首项为$a_{1}$，公差d为正整数的等差数列$\{a_{n}\}$满足$a_{3}+a_{5}+a_{7}=93$，满足$a_{n}>100$的n的最小值是15。试求公差d和首项$a_{1}$的值。

相关例题9：已知$\{a_{n}\}$是首项为a，公差为1的等差数列。数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n}={\frac {1+a_{n}}{a_{n}}}$。若对于任意的$n\in \mathbb {N} ^{+}$，都有$b_{n}\geq b_{8}$成立，求实数a的取值范围。

相关例题10：已知函数f(x)是定义在$\mathbb {R}$上的单调递增函数且为奇函数，数列$\{a_{n}\}$是等差数列，$a_{11}>0$，则$f(a_{9})+f(a_{11})+f(a_{13})$的值(    )。
A.恒为正数
B.恒为负值
C.0
D.可正可负

相关例题11：设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为d，若数列$\{2a_{1}a_{n}\}$为递减数列，则(    )。
A.$d<0$
B.$d>0$
C.$a_{1}d<0$
D.$a_{1}d>0$

相关例题12：设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为d。若等差数列$\{2^{a_{1}a_{n}}\}$为递减数列，则(    )。
A.$d<0$
B.$d>0$
C.$a_{1}d<0$
D.$a_{1}d>0$
（出自2014年中国大陆高考辽宁卷第8题。）

相关例题13：设$\{a_{n}\}$是等差数列，下列结论中正确的是(    )。
A.若$a_{1}+a_{2}>0$，则$a_{2}+a_{3}>0$
B.若$a_{1}+a_{3}<0$，则$a_{1}+a_{2}<0$
C.若$0<a_{1}<a_{2}$，则$a_{2}>{\sqrt {a_{1}a_{2}}}$
D.若$a_{1}<0$，则$(a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})>0$
（出自2015年中国大陆高考北京卷第6题。）

等差中项

如果3个数a、b、c按顺序构成等差数列，那么b叫做a与c的等差中项，且满足$b={\frac {a+c}{2}}$。反过来，如果有$b={\frac {a+c}{2}}$，也能判断a、b、c一定构成等差数列。

相关例题1：在1和100之间插入k个数，使这k+2个数构成等差数列，求它们的公差。

相关例题2：在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=8$，$a_{5}=2$。若在此数列中每2个相邻项之间都新插入一个数，使之成为新的等差数列，求此新数列的公差。

相关例题3：在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{9}=10$，求$a_{5}$的值。

相关例题4：在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=20$，求$a_{3}$的值。

相关例题5：在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{4}+a_{7}=39$，$a_{2}+a_{5}+a_{8}=33$，求$a_{6}$的值。

相关例题6：若$\lg 2$、$\lg(2^{x}-1)$和$\lg(2^{x}+3)$成等差数列，求x的值。

相关例题7：已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，求m和n的等差中项。

等差数列常用判定方法

相关例题8：已知${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差数列，求证：${\frac {b+c}{a}},{\frac {c+a}{b}},{\frac {a+b}{c}}$也成等差数列。

参考解答1：由${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差数列可知${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}=2{\frac {1}{b}}$，解得$b={\frac {2ac}{a+c}}$。
要证明$b+{\frac {c}{a}},c+{\frac {a}{b}},a{\frac {b}{c}}$也成等差数列，只需要证明$b+{\frac {c}{a}}+a{\frac {b}{c}}=2(c+{\frac {a}{b}})$，即：
${\begin{array}{l}{\frac {bc+c^{2}+a^{2}+ab}{ac}}={\frac {2}{b}}(c+a)\\\Leftrightarrow {\frac {a^{2}+b(a+c)+c^{2}}{ac}}={\frac {2}{b}}(c+a)\\\Leftrightarrow {\frac {a^{2}+({\frac {2ac}{a+c}})(a+c)+c^{2}}{ac}}={\frac {2}{({\frac {2ac}{a+c}})}}(c+a)\\\Leftrightarrow {\frac {a^{2}+2ac+c^{2}}{ac}}={\frac {(a+c)^{2}}{ac}}\\\Leftrightarrow a^{2}+2ac+c^{2}=(a+c)^{2}\end{array}}$
上式显然成立。证明完毕。

参考解答2：已知${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差数列，
即${\frac {a+b+c}{a}},{\frac {a+b+c}{b}},{\frac {a+b+c}{c}}$成等差数列（它们同时扩大$a+b+c$倍后也成等差数列（公差也变为原来的$a+b+c$倍），
即$1+{\frac {b+c}{a}},1+{\frac {a+c}{b}},1+{\frac {a+b}{c}}$成等差数列，
即${\frac {b+c}{a}},{\frac {a+c}{b}},{\frac {a+b}{c}}$成等差数列。证明完毕。

点评：参考解答2是根据已知式和待求证式的形式特点巧妙变形，并利用了等差数列的2条不同性质，才得到了更便捷的解法。

相关例题2：已知${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差数列，并且$a+c,a-c,a+c-2b$均为正数，求证$\lg(a+c),\lg(a-c),\lg(a+c-2b)$也成等差数列。

证明：已知${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差数列，所以${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}={\frac {2}{b}}$。
对等式两边都乘以abc，得$bc+ab=2ac$。
$(a-c)^{2}-(a+c)(a+c-2b)=a^{2}-2ac+c^{2}-a^{2}-2ac+2bc+2ab-c^{2}=-2(2ac-ab-bc)=0$
这说明$(a-c)^{2}=(a+c)(a+c-2b)$。
又因为$a+c,a-c,a+c-2b$均为正数，所以$\lg(a+c)+\lg(a+c-2b)=2\lg(a-c)$。
所以$\lg(a+c),\lg(a-c),\lg(a+c-2b)$成等差数列。

相关例题3：已知等差数列$\{a_{n}\}$的公差大于0，求满足$a_{3}a_{4}=117,a_{2}+a_{5}=22$。
(1) 求数列$\{a_{n}\}$的通项公式。
(2) 若数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n}={\frac {2n^{2}-n}{n+c}}$。判断是否存在非零实数c，使得数列$\{b_{n}\}$为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由。

需要简单转化和整体代换的递推关系

相关例题1： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+4$，且$a_{1}=1,a_{n}>0$，求$a_{n}$的表达式。

相关例题2： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}={\frac {1}{3}},a_{n+1}={\frac {a_{n}}{2a_{n}+1}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{*})$，求${\frac {a_{3}+a_{1005}}{a_{3}a_{1005}}}$的值。

相关例题3： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n}-a_{n+1}={\frac {a_{n+1}-2}{n}}$，求$a_{10}$的值。

相关例题4： 已知正项数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=3,{\sqrt[{n+1}]{a_{n+1}}}{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=2$，求$a_{10}$的值。

相关例题5：在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1,3a_{n}a_{n-1}+a_{n}-a_{n-1}=0\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} ^{*})$。
(1) 证明数列$\{{\frac {1}{a_{n}}}\}$是等差数列。
(2) 求数列$\{a_{n}\}$的通项公式。
(3) 若$\lambda a_{n}+{\frac {1}{a}}_{n}\geq \lambda$对任意的$n\geq 2$恒成立，求实数$\lambda$的取值范围。

简单的同余性质

相关例题1：已知数列$\{a_{n}\}$是首项为3，公差为$d\quad (d\in \mathbb {R} ^{*})$的等差数列。若2019是该数列的一项，则公差不可能是(    )。
A.2；B.3；C.4；D.5

相关例题2：已知在无穷等差数列$\{a_{n}\}$中，首项$a_{1}=3$，公差$d=-5$。依次取出其中序号能被4除余3的项，组成数列$\{b_{n}\}$。
(1) 求$b_{1}$和$b_{2}$的值。
(2) 求$\{b_{n}\}$的通项公式。
(3) $\{b_{n}\}$中的第503项是$\{a_{n}\}$中的第几项？

补充习题

• 若数列$\{a_{n}^{2}\}$是等差数列，则称数列$\{a_{n}\}$是“等方差数列”。下列判断中正确的有(    )。
  

A.常数列是等方差数列
B.若数列$\{a_{n}\}$是等方差数列，则数列$\{a_{n}^{2}\}$是等差数列
C.若数列$\{a_{n}\}$是等方差数列，则数列$\{a_{n}^{2}\}$是等方差数列
D.若数列$\{a_{n}\}$是等方差数列，则数列$\{a_{2n}\}$是等方差数列

• 设等差数列$\{a_{n}\}$满足$a_{3}+a_{7}=36,a_{4}+a_{6}=275$，且$a_{n}a_{n+1}$有最小值，求这个最小值。

• 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n+1}={\sqrt {a_{n}^{2}+1}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，求$a_{10}$的值。

• 已知正项数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1,(a_{n}+a_{n+1})(a_{n}-a_{n+1})=-1$，求$a_{10}$的值。

• 已知正项数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1,{\frac {1}{a_{n+1}^{2}+1}}={\frac {a_{n}^{2}+2}{a_{n}^{2}+1}}$，求$a_{10}$的值。

• 观察给出的规律，求下列数列的第100项的值：

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...

参见

• 多阶等差数列

外部链接

维基百科中的相关条目：

等差数列