韦格纳分布的时频分析


韦格纳分布Wigner Distribution Function(缩写为WDF),是时频分析中的一种分析方式,以下为其方程式的转换:

经整理后得到

连续讯号要得到其数位实现,必须经过采样(sampling), 使得

重新回顾上述式子可以得到,

不是 time-limited signal,会很难实现。


于是,通常我们会假设 ,也就是 为一个有限长度的讯号:

如图所示:

此时

继续讨论 的范围 ( 于为一固定值时 ):

  1. 对于
  2. 对于,也就是

于是便得知 的范围为:

用图片来理解:

注意:当 时,找不到适当的 来满足不等式。

整理前述说明后,WDF的数位实现的数学式可整理为:

( )

以下提供3种实现方式:

  1. 暴力法 (Direct Implementation)
  2. 离散傅立叶转换(Using Discrete time Fourier Transform)
  3. Chirp-Z转换


暴力法(Direct Implementation)

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根据 , ( )

共有点,共有点,此算法其复杂度为


离散傅立叶转换(Using Discrete time Fourier Transform)

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,

, 令

其中:

此实现方式的复杂度为


Chirp-Z转换

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Step1.

Step2.

Step3.


此实现方式复杂度一样为 但相较使用离散傅立叶转换方式而言( 数字3来自于convolution运算 IFT(FT * FT) ),速度来的更快。


资料来源

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  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2019.