韋格納分佈的時頻分析


韋格納分布Wigner Distribution Function(縮寫為WDF),是時頻分析中的一種分析方式,以下為其方程式的轉換:

經整理後得到

連續訊號要得到其數位實現,必須經過採樣(sampling), 使得

重新回顧上述式子可以得到,

不是 time-limited signal,會很難實現。


於是,通常我們會假設 ,也就是 為一個有限長度的訊號:

如圖所示:

此時

繼續討論 的範圍 ( 於為一固定值時 ):

  1. 對於
  2. 對於,也就是

於是便得知 的範圍為:

用圖片來理解:

注意:當 時,找不到適當的 來滿足不等式。

整理前述說明後,WDF的數位實現的數學式可整理為:

( )

以下提供3種實現方式:

  1. 暴力法 (Direct Implementation)
  2. 離散傅立葉轉換(Using Discrete time Fourier Transform)
  3. Chirp-Z轉換


暴力法(Direct Implementation)

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根據 , ( )

共有點,共有點,此算法其複雜度為


離散傅立葉轉換(Using Discrete time Fourier Transform)

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,

, 令

其中:

此實現方式的複雜度為


Chirp-Z轉換

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Step1.

Step2.

Step3.


此實現方式複雜度一樣為 但相較使用離散傅立葉轉換方式而言( 數字3來自於convolution運算 IFT(FT * FT) ),速度來的更快。


資料來源

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  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2019.