信号与系统/信号的特性

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信号的特性

$\bullet$ 连续时间(continuous-time)信号 V.S 离散时间(discrete-time)信号

$\bullet$ 类比(analog)信号 V.S 数字(digital)信号

$\bullet$ 周期(periodic)信号 V.S 非周期(aperiodic)信号

$\bullet$ 因果(causal)信号 V.S 非因果(non causal)信号

$\bullet$ 能量(energy)信号 V.S 功率(power)信号

$\bullet$ 定型(deterministic)信号 V.S 随机(random)信号

$\bullet$ 奇(odd)信号 V.S 偶(even)信号

连续时间(continuous-time)信号 V.S 离散时间(discrete-time)信号

$\bullet$ 连续时间信号：所有时间均有指定信号的大小。

                   (a) 0.05秒的聲音信號

$\bullet$ 离散时间信号：只在特定的离散时间点有定义信号的大小。

                   (b) 2002年台年的每月平均溫度

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

类比(analog)信号 V.S 数字(digital)信号

$\bullet$ 类比信号：信号的大小落在一个或几个连续的范围内。

$\bullet$ 数字信号：信号的大小只有特定的 ${\boldsymbol {m}}$ 个可能值。

        $\Rightarrow$   ${\boldsymbol {m}}$  元( m-ary )訊號
             
          (右圖為三元 binary 訊號)

                              圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

范例1.3

$\bullet$ 连续时间(continuous-time)信号 vs 离散时间(discrete-time)信号是依据信号的时间轴特性来作分类；

   類比(analog)訊號 vs 數位(digital)訊號則由訊號大小的可能值作區別 。

                                (a) 連續時間類比訊號      (b) 連續時間數位訊號
                                (c) 離散時間類比訊號      (d) 離散時間數位訊號

                                   圖出處 © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

周期(periodic)信号 V.S 非周期(aperiodic)信号

$\bullet$ 周期信号 : 存在常数 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ ，使得所有时间 ${\boldsymbol {t}}$ 均满足 :

             ${\boldsymbol {x(t+T_{0})=x(t)}}$

$\bullet$ 所有可能的 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 值中最小且大于零者，称为 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的基本周期(period) 。

$\bullet$ 周期信号由 ${\boldsymbol {t}}$ = ${-\infty }$ 开始并持续至永久( ${\boldsymbol {t}}$ = ${+\infty }$ ) 。

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

范例1.4

说明信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${e^{j2\pi f_{0}t}}$ 为周期信号，并求其周期。

【解】若 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 是周期信号， ${\boldsymbol {x(t)}}$ 须满足

          ${\boldsymbol {x(t+T_{0})}}$  =  $e^{j2\pi f_{0}(t+T_{0})}$  =  $e^{j2\pi f_{0}t}$  $e^{j2\pi f_{0}T_{0}}$  =  $e^{j2\pi f_{0}t}$  =  ${\boldsymbol {x(t)}}$     
   
    
    上式要成立，必須  ${e^{j2\pi f_{0}T_{0}}}$  =  ${\boldsymbol {1}}$  。

特例 :

    (i)   ${\boldsymbol {f_{0}=0}}$  時，任意  ${\boldsymbol {T_{0}}}$  值皆符合，但此情況無法定義最小正  ${\boldsymbol {T_{0}}}$  值，即無法找到週期或週期為  ${\infty }\Rightarrow$  直流訊號 。
     
    (ii) 若  ${\boldsymbol {f_{0}\neq 0}}$  ，當  ${\boldsymbol {2\pi f_{0}T_{0}=2m\pi }}$  時(  ${\boldsymbol {m}}$  為任意整數)  $e^{j2\pi f_{0}T_{0}}$  =  ${\boldsymbol {1}}$  ，故  $T_{0}={\frac {m}{f_{0}}}$  。
          當 ${\boldsymbol {m=1}}$  時，有最小正  ${\boldsymbol {T_{0}}}$  值，故週期為  ${\boldsymbol {\frac {1}{f_{0}}}}$  。  
           ${\boldsymbol {T_{0}={\frac {1}{f_{0}}}}}$  ，滿足週期訊號的條件，週期為  ${\boldsymbol {e^{j2m\pi }}}$  =  ${\boldsymbol {1}}$   。

因果(causal)信号 V.S 非因果(non causal)信号

$\bullet$ 因果信号 :

              ${\boldsymbol {x(t)=0}}$                  ,      ${\boldsymbol {t<0}}$

$\bullet$ 非因果信号 :

              ${\boldsymbol {x(t)\neq 0}}$                 ,       ${\boldsymbol {t<0}}$

$\bullet$ 反因果(anticausal)信号 :

              ${\boldsymbol {x(t)=0}}$                  ,      ${\boldsymbol {t\geq 0}}$

能量(energy)信号 V.S 功率(power)信号

$\bullet$ 信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的总能量 ${\boldsymbol {E_{x}}}$ 有定义而且为有限值，亦即 ${\boldsymbol {0<E_{x}<\infty }}$ ，此信号称为能量信号。

$\bullet$ 如果信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率 ${\boldsymbol {P_{x}}}$ 有定义而且为有限值，亦即 ${\boldsymbol {0<P_{x}<\infty }}$ ，此信号则称为功率信号。

$\bullet$ 一般而言，周期信号为功率信号。

$\bullet$ 假如一信号不符合上述能量及功率特性，则此信号既非能量信号也非功率信号。

范例1.5

考虑周期为 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 的周期信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${\boldsymbol {Acos(\omega _{0}t+\theta )}}$ ，其中角频率 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ = ${\frac {2\pi }{T_{0}}}$ ; ${\boldsymbol {\theta }}$ 是一常数，分析此信号为能量或功率信号？

【解】因为是周期信号， ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率

     $P_{x}={\frac {1}{T_{0}}}$  $\int _{0}^{T_{0}}\left|{x(t)}\right|^{2}dt$  =  ${\frac {1}{T_{0}}}$  $\int _{0}^{T_{0}}{A^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\theta )}dt$ 
         
       =  ${\frac {1}{T_{0}}}$  $\int _{0}^{T_{0}}{A^{2}{\frac {1+cos(2\omega _{0}t+2\theta )}{2}}}dt$ 
       
       =  ${\frac {1}{2T_{0}}}$  $\int _{0}^{T_{0}}{A^{2}}dt$  +  ${\frac {A^{2}}{2T_{0}}}$  $\int _{0}^{T_{0}}{cos(2\omega _{0}t+2\theta )}dt$  =  ${\frac {A^{2}}{2}}$   $<\infty$ 
    
    
    
    
    上式第二項之弦波訊號積分整數個週期結果為  ${\boldsymbol {0}}$  。
     
     因為  ${\boldsymbol {x(t)}}$  的平均功率值有限，此訊號為功率訊號  。

范例1.6

信号 $x(t)={\begin{cases}e^{-at},&{\mbox{t}}\geq {\mbox{0 }}\\{0},&{\mbox{else}}\end{cases}}$ ，其中 ${\boldsymbol {a>0}}$ ; 说明此信号为能量信号。

【解】计算 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的总能量

      $E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}(t)\,dt$  =  $\int _{0}^{\infty }e^{-2at}\,dt$  =  ${\frac {-1}{2a}}e^{-2at}$   $|_{0}^{\infty }$  =  ${\frac {1}{2a}}<{\infty }$ 
    
    因為  ${\boldsymbol {x(t)}}$  的總能量有限，此訊號為能量訊號  。

范例1.7

信号 $x(t)={\begin{cases}{t},&{\mbox{t}}\geq {\mbox{0 }}\\{0},&{\mbox{else}}\end{cases}}$ ; 说明此信号既非能量信号也非功率信号。

【解】计算 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的总能量

        $E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{x}^{2}(t)\,dt$  =  $\int _{0}^{\infty }{t}^{2}\,dt$  =  ${\frac {t^{3}}{3}}$   $|_{0}^{\infty }$   $\rightarrow$   ${\infty }$

    計算  ${\boldsymbol {x(t)}}$  的平均功率
       
      
        $P_{x}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}$  $\int _{0}^{\frac {T}{2}}{t}^{2}\,dt$  =  $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}$  ${\frac {({\frac {T}{2}})^{3}}{3}}$  =  $\lim _{T\to \infty }$  ${\frac {T^{2}}{24}}$   $\rightarrow$   ${\infty }$ 
 
 

由以上計算得知： ${\boldsymbol {x(t)}}$  的總能量與平均功率皆為  $\infty$  ，因此這個訊號既非能量訊號也非功率訊號 。

定型(deterministic)信号 V.S 随机(random)信号

$\bullet$ 定型信号(deterministic signal) : 在任何给定时间 ${\boldsymbol {t}}$ 其信号大小皆为固定可知的，也就是说定型信号可用已知的函数或图形加以描述或表示。

$\bullet$ 随机信号(random signal) : 有些信号在任何时间的信号大小是随机而不可预知，此类信号仅能用几率及统计特性描述。

范例1.8

信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${\boldsymbol {\cos }}$ ${\boldsymbol {(\omega _{0}t+\theta )}}$ ，举例说明 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ 与 ${\boldsymbol {\theta }}$ 之特性以分析此信号为定型信号或随机信号。

【解】

     若  ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$  與  ${\boldsymbol {\theta }}$  是常數，則  ${\boldsymbol {x(t)}}$  是定型訊號(任意時間  ${\boldsymbol {t}}$  其函數值  ${\boldsymbol {x(t)}}$  均已是固定的值)。
     反之，若  ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$  是常數，而 ${\boldsymbol {\theta }}$  =  ${\frac {\pi }{3}}$  或  $-{\frac {\pi }{3}}$  的機率各半，此情況下的 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 則為隨機訊號
    (任意時間  ${\boldsymbol {t}}$  的函數值  ${\boldsymbol {x(t)}}$ 無法預知，因為  ${\boldsymbol {\theta }}$  可能是  ${\frac {\pi }{3}}$  或  $-{\frac {\pi }{3}}$ ) 。

奇(odd)信号 V.S 偶(even)信号

$\bullet$ 偶信号(even signal) :

  ${\boldsymbol {x(-t)}}$  =  ${\boldsymbol {x(t)}}$

$\bullet$ 奇信号(odd signal) :

  ${\boldsymbol {x(-t)}}$  =  ${\boldsymbol {-x(t)}}$

                              圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

奇偶信号的特性

$\bullet$ 偶信号 $\times$ 奇信号 = 奇信号

$\bullet$ 奇信号 $\times$ 奇信号 = 偶信号

$\bullet$ 偶信号 $\times$ 偶信号 = 偶信号

$\bullet$ $\int _{-a}^{a}x_{e}(t)\,dt$ = $2\int _{0}^{a}x_{e}(t)\,dt$ , ( ${\boldsymbol {x_{e}(t)}}$ 是偶信号)

$\bullet$ $\int _{-a}^{a}x_{0}(t)\,dt$ = $\mathbf {0}$ , ( ${\boldsymbol {x_{0}(t)}}$ 是奇信号)

信号表示成奇信号与偶信号之和

$\bullet$ 任意信号可以表示成一个奇信号与偶信号之和。

        ${\boldsymbol {x(t)}}$  =  ${\boldsymbol {x_{e}(t)}}$  +  ${\boldsymbol {x_{0}(t)}}$

  其中                                                                                                                            
       
        $x_{e}(t)={\frac {1}{2}}$   $\left[x(t)+x(-t)\right]$ 
      
        $x_{0}(t)={\frac {1}{2}}$   $\left[x(t)-x(-t)\right]$

范例1.9

将信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = $e^{-at}u(t)$ ，表示成奇信号与偶信号之和 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${\boldsymbol {x_{e}(t)}}$ + ${\boldsymbol {x_{0}(t)}}$

      其中   $x_{e}(t)={\frac {1}{2}}$   $\left[e^{-at}u(t)+e^{-at}u(-t)\right]$      ,    $a>0$                                     $(even)$ 
           
            $x_{0}(t)={\frac {1}{2}}$   $\left[e^{-at}u(t)-e^{-at}u(-t)\right]$                                                  $(odd)$

范例1.10

信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${\boldsymbol {\cos }}$ ${\boldsymbol {(\omega _{0}t+{\frac {\pi }{6}})}}$ ，求其偶信号部分与奇信号部分。

【解】利用三角函数公式直接改写原信号 :

      ${\boldsymbol {x(t)}}$ =  ${\boldsymbol {\cos }}$   ${\boldsymbol {(\omega _{0}t+{\frac {\pi }{6}})}}$  =  ${\boldsymbol {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$   ${\boldsymbol {\cos(\omega _{0}t)}}$  -  ${\boldsymbol {\frac {1}{2}}}$   ${\boldsymbol {\sin(\omega _{0}t)}}$ 
     
    
     
     其中弦波訊號  ${\boldsymbol {\cos(\omega _{0}t)}}$  與  ${\boldsymbol {\sin(\omega _{0}t)}}$  分別是偶訊號和奇訊號 。

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。