离散数学/集合论

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集合论

定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。 一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。

“对象”可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

“特性”必须明确定义，比如

×××是汉字

下面这种就是没有明确定义，因此不能用来描述集合：

×××这个汉字很难写

构成集合的事物或对象称作元素或是成员。

集合表示法

• 要列出集合的元素，我们将它们用大括号括起来，用逗号分隔。例如：

$\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$

• 集合的元素也可以用自然语言描述：

{介乎-3和3之间的整数}

• 集合建构式符号可用于描述元素过多无法悉数列出的集合，其中元素用字母$x$代替：

{$x$|$x$为整数且$|x|<4$}

• 等价于

$\{x|x\in \mathbb {Z} ,|x|<4\}$

• 符号∈和∉分别表示属于和不属于：

狗∈{动物}，北京∉{欧洲城市}

• 集合可以包含无限数量的元素，例如质数集，它的元素有无穷多个。省略号用于表示“以此类推”：

$\{2,3,5,7,11,\dots \}$

• 大写字母$A$、$B$……通常表示集合
• 小写字母$x$、$y$……通常表示元素

特殊集合

全集

全集包含了所有的研究对象和集合，数学符号为 $U$。

空集

空集是不含任何元素的集合，数学符号为{}或∅。

特殊数集

有几个集合经常被使用，有专门的符号来表示。

自然数集

数学中，自然数指用于计数和定序的数字。自然数集用$\mathbb {N}$表示，$\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$

整数集

整数，是序列中所有的数的统称，包括负整数、零与正整数。整数集用$\mathbb {Z}$表示，$\mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

有理数集

数学上，可以表达为两个整数比的数(${\frac {a}{b}}$，$b\neq 0$)被定义为有理数，例如${\frac {3}{8}}$、0.75。整数和分数统称为有理数。有理数集用$\mathbb {Q}$表示。

无理数集

与有理数对应的是无理数，如${\sqrt {2}}$无法用整数比表示。

实数集

在数学中，实数是有理数和无理数的总称。实数集用$\mathbb {R}$表示。