国中数学/国中数学七年级/8-1 垂直与线对称

 7-3 一元一次不等式的应用问题 国中数学七年级
8-1 垂直与线对称
8-2 三视图 

本单元为国中阶段第一次的几何课程,我们将从最简单的几何图形开始介绍。

几何图形 编辑

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点(point)是最基本的几何图形,一个点只代表位置,它不具有大小长度

点的命名 编辑

通常我们会使用大写英文字母     等标示点,并称呼为“什么点”或“点什么”。
Example:用大写字母 标示的点我们称为 点或点 。(如下图所示)

线 编辑

任意两点就可以决定唯一的一条直线。(这是欧几里得几何公理之一,有兴趣的同学可以点入连结参看。)

  1. 直线
    • 两端可以无限延长的线我们称作直线。
    • 直线没有长度和宽度,也没有方向性。
    • 直线的命名:除非要特别说明这条直线过两点  我们记录成 之外,其余大部分都是在直线旁边标示大写英文字母   等符号,若需要表示更多直线就会在大写英文字母 左下方写上小小的数字(称为下标),形如   ……等等。
    •  在直线 上代表直线 会通过 
    •   为任意两点,则  这两个直线的表达方式代表相同的直线
  2. 线段
    • 两端都不可以延伸的线我们称作线段。
    • 线段具有长度,但没有宽度与方向性。
    • 线段的命名:通过两点  的线段我们可以记录成  ,其中 读作“线段 ”或“ 线段”。
    • 因为线段具有长度,故有时 会表示线段的长度。如 的长度为 公分,我们可以写作 公分。
    • 线段可以比大小:
      1.   长,代表将 点与 点重合之后, 点会介于  两点之间,此时我们可以写作 
      2.   短,代表将 点与 点重合之后, 点会落在 之外,此时我们可以写作 
      3.   等长,代表将 点与 点重合之后, 点会与 点重合,此时我们可以写作 
    •   上代表 会通过 
  3. 射线
    • 只有一端可以无限延长的线我们称作射线。
    • 射线具有方向性,但没有长度与宽度。
    • 线段的命名:若 点不可无限延伸,但 点可以,我们将此射线记录成 ,读作“射线 ”或“ 射线”。
      • 注意:不可以纪录为 ,因为这代表 点可以无限延伸,但 点不可。
      • 由此可知 并不等于 
    •   上代表 会通过 

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参见:国中数学/国中数学八年级/8-1 角
两射线如果使用相同的起点,则会形成一个,此起点我们称为角的顶点

角的种类
定义
锐角 介于0度到90度的角
直角 等于90度的角
钝角 介于90度到180度的角
平角 等于180度的角
优角 介于180度到360度的角
周角 等于360度的角

角的命名 编辑

 
  1. 可以直接在角上面标示    、……,并称呼为“ (读作角 )”、“ ”、“ ”、“ ”等等。
  2. 在不会造成混淆的情况下,可以标示出顶点,并利用顶点命名。例如有一个角的顶点为 ,我们称此角为 
  3. 若有可能造成混淆,可以在两射线上各取一点,并以顺时针或逆时针的方式报读角的名字。如右图为 (顺时针)或 (逆时针)[注 1],但不可以称  (即顶点必须在中间)。
  • 下图为一个可能会造成混淆的例子:
 
  • 如果只是说 ,不知道是要表达  还是 
  • 如果要表示最大的那个角,应该要用 来说明比较好。

三角形 编辑

由三个点用线段互相连起来的图形,我们称为三角形。三角形具有 条边、 个角与 个顶点。是中学时期学习最多的形状。

  • 依内角的大小可以将三角形区分成三类:
三角形种类
说明
锐角三角形 三个内角都是锐角
直角三角形 三个内角当中有一个直角
钝角三角形 三个内角当中有一个钝角
  • 其中,依边的长短可以分出特别的两类三角形:
三角形种类
说明
等腰三角形 其中两条边等长
正三角形 三条边都等长

三角形的命名 编辑

三角形的命名如同角的命名,可以顺时针报读或逆时针报读,但它跟角报读方式的不同之处在于三角形可以从任何点开始。如下图,你可以称下面这个三角形为      
但在大部分的情形[注 2]我们会习惯将英文字母按照顺序排列,记作 ,读作“三角形 ”,很少人称作“ 三角形”。

 

多边形 编辑

 个点以上(含),相邻的两点以线段连成一圈的图形,我们称为多边形。

  • 一个 边形有 个顶点、 条边与 个角。
  • 三角形也是一种多边形。
  • 国中阶段会比较著墨在三角形、四边形与正多边形上。
  • 多边形的称呼:从某一个顶点出发,依序以顺时针或逆时针的顺序报读各顶点。一样的,习惯上我们会按照英文字母的顺序报读。
 
此四边形可以称呼它为四边形 或四边形 等等,但不能称呼为四边形 
  • 多边形的对角线:不相邻的两点连成的线,我们称为对角线
     
    图中画出五边形所有的对角线。
    • 补充: 边形的对角线有 个顶点。
  • 若对角线全部都在图形之内,我们称此图形为凸多边形,若有一条对角线的部分会在图形之外,则我们称此图形为凹多边形
    • 在国中数学内,没有特别强调时,谈论的图形都是凸多边形。
 
凸六边形的例子。所有对角线(红色线段)都在图形内。
 
凹五边形的例子。绿色的对角线有部分超出图形之外。

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参见:国中数学/国中数学九年级/2-1 点、线、圆
在平面上,与一固定点 距离相同的所有点形成的图形,我们称为,其中“相同的距离”我们称为半径

垂直 编辑

当两直线(或线段)的夹角刚好是直角时,我们称两直线(或线段)垂直,并使用“ ”表示。如下图直线 与直线 垂直,我们可以写作“ ”。

 

垂线 编辑

垂线:一直线与直线 的夹角为直角(两直线互相垂直),则我们称此直线为垂线
1.一条直线 的垂线有无限多条

  • 如下图当中,   都是 的垂线。
  • 当然,只要在画一条直线,其夹角与直线  度的时候,这条直线也会是直线 的垂线。
 

2.过 线上一点作 的垂线只有一条

  • 如上图当中,过 点且与 垂直的直线只有 一条。

3.过 线外一点作 的垂线只有一条

垂足 编辑

两垂直的直线(或线段)所相交的点,我们称为垂足。如上图当中的   三点,分别是直线    的垂足。

平分 编辑

设一线段 ,若点  上且满足 ,则我们称 平分  点也称作  两点的中点

 
垂直平分线

垂直平分线(中垂线) 编辑

 点平分 ,则过 点且与 垂直的直线我们称为 垂直平分线,又称作中垂线

  1. 只有线段才有垂直平分线,直线与射线没有。
  2. 一条线段的垂直平分线只有一条。

线对称图形 编辑

  1. 线对称图形的意义:将一个平面图形沿着某一条直线对折,如果可以使直线两侧的图形完全重叠,则此图形为线对称图形
     
    一些线对称图形,红色直线为对称轴。

  2. 对称轴:在线对称图形中,若沿着直线 对折,直线 两侧的图形完全重叠,则直线 称为线对称图形的对称轴
    • 对应点:沿着对称轴对折,会刚好叠合的点。
    • 对应边:沿着对称轴对折,会刚好叠合的边。
    • 对应角:沿着对称轴对折,会刚好叠合的角。
    • 一个图形的对称轴可能不只一条。
       
      虚线为对称轴。可以注意左上方的正方形有4条对称轴。
      所以要表达对应点、对应边或对应角时,应该要说明“以哪条直线为对称轴,什么的对应什么是什么”。
      • 例如:如下图,以直线 为对称轴,点 的对应点为点  的对应边为  的对应角为 
 
以直线L为对称轴的箭头
  • 注解:
    1. 在线对称图形中,对称轴为两侧对称点连线的垂直平分线
      • 如上图当中,直线  的垂直平分线。
    2. 在线对称图形中,对称线段等长,对称角等大。
      • 如上图当中 的对应边为 ,所以  的对应角为 ,所以 

常见的线对称图形 编辑

  1. 等腰三角形
    • 等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形。
    • 一般的等腰三角形只有一条对称轴,此对称轴既是底边的垂直平分线,也会将顶角平分成两个角度相等的角(我们称作角平分线)。
    • 等腰三角形的两个底角相等。
  2. 正三角形
    • 正三角形必定有 条对称轴。
    • 正三角形必然是等腰三角形,但等腰三角形不一定是正三角形。
  3. 长方形
    • 长方形的定义:有四个直角的四边形。
    • 一般的长方形有 条对称轴。
  4. 菱形
    • 菱形的定义:有四边等长的四边形。
    • 一般的菱形有 条对称轴。
  5. 正方形
    • 正方形的定义:四边等长四个角都是直角的四边形。
    • 正方形必定有 条对称轴。
    • 正方形必然是长方形,但长方形不一定是正方形。
    • 正方形必然是菱形,但菱形不一定是正方形。
  6. 筝形
    • 筝形的定义:有两对邻边相等的四边形。
    • 筝形又称作鸢形。
    • 一般的筝形只有一条对称轴。
    • 正方形、菱形必然是筝形,但筝形不一定是正方形或菱形。
  7. 等腰梯形
    • 等腰梯形的意义:一个梯形的两腰等长
    • 等腰梯形只有一条对称轴。
  8. 正多边形
    • 正多边形的对称轴和它的边数一样多。如正七边形有七条对称轴。
  9. 圆形
    • 圆形有无限多条对称轴,任何一条直径都是其对称轴。

常考的"非"线对称图形 编辑

  1. 内角分别是 度的三角形。
  2. 一般的平行四边形。
  3. 一般的梯形。

剪纸与线对称图形 编辑

将一张纸对折,并在折线画图案,剪下来的图形必定以折线作为其对称轴。

方格纸与线对称图形 编辑

其秘诀为:对称点与对称轴的距离相等,利用方格纸上的格子可以测量距离,找出对称点然后再相连即可。

注解 编辑

  1. 数学上常常使用逆时针的命名方式,知名数学软件Geogrbra就是使用逆时针的方式画出角度。
  2. 在全等三角形的地方有时为了对应点的对应关系,所以我们没有按照英文字母顺序排列。