国中数学/国中数学七年级/8-1 垂直与线对称

7-3 一元一次不等式的应用问题

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国中数学七年级 8-1 垂直与线对称

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8-2 三视图

本单元为国中阶段第一次的几何课程，我们将从最简单的几何图形开始介绍。

几何图形

点

点(point)是最基本的几何图形，一个点只代表位置，它不具有大小与长度。

点的命名

通常我们会使用大写英文字母$A$、$B$、$C$、$P$、$Q$等标示点，并称呼为“什么点”或“点什么”。
Example：用大写字母$A$标示的点我们称为$A$点或点$A$。(如下图所示)

线

任意两点就可以决定唯一的一条直线。(这是欧几里得几何公理之一，有兴趣的同学可以点入连结参看。)

1. 直线
   • 两端可以无限延长的线我们称作直线。
   • 直线没有长度和宽度，也没有方向性。
   • 直线的命名：除非要特别说明这条直线过两点$A$与$B$我们记录成${\overleftrightarrow {AB}}$之外，其余大部分都是在直线旁边标示大写英文字母$L$、$M$、$N$等符号，若需要表示更多直线就会在大写英文字母$L$左下方写上小小的数字（称为下标），形如$L_{1}$、$L_{2}$、$L_{3}$……等等。
   • 点$P$在直线$L$上代表直线${\color {red}L}$会通过${\color {red}P}$点。
   • 若$A$与$B$为任意两点，则${\overleftrightarrow {AB}}$与${\overleftrightarrow {BA}}$这两个直线的表达方式代表相同的直线。
2. 线段
   • 两端都不可以延伸的线我们称作线段。
   • 线段具有长度，但没有宽度与方向性。
   • 线段的命名：通过两点$A$与$B$的线段我们可以记录成${\overline {AB}}$或${\overline {BA}}$，其中${\overline {AB}}$读作“线段$AB$”或“$AB$线段”。
   • 因为线段具有长度，故有时${\overline {AB}}$会表示线段的长度。如${\overline {AB}}$的长度为$5$厘米，我们可以写作${\overline {AB}}=5$厘米。
   • 线段可以比大小：
     1. 若${\overline {AB}}$比${\overline {CD}}$长，代表将$A$点与$C$点重合之后，$D$点会介于$A$、$B$两点之间，此时我们可以写作${\overline {AB}}>{\overline {CD}}$。
     2. 若${\overline {AB}}$比${\overline {CD}}$短，代表将$A$点与$C$点重合之后，$D$点会落在${\overline {AB}}$之外，此时我们可以写作${\overline {AB}}<{\overline {CD}}$。
     3. 若${\overline {AB}}$比${\overline {CD}}$等长，代表将$A$点与$C$点重合之后，$D$点会与$B$点重合，此时我们可以写作${\overline {AB}}={\overline {CD}}$。
   • 点$P$在${\overline {AB}}$上代表${\color {red}{\overline {AB}}}$会通过${\color {red}P}$点。
3. 射线
   • 只有一端可以无限延长的线我们称作射线。
   • 射线具有方向性，但没有长度与宽度。
   • 线段的命名：若$A$点不可无限延伸，但$B$点可以，我们将此射线记录成${\overrightarrow {AB}}$，读作“射线$AB$”或“$AB$射线”。
     • 注意：不可以纪录为${\overrightarrow {BA}}$，因为这代表$A$点可以无限延伸，但$B$点不可。
     • 由此可知${\overrightarrow {AB}}$并不等于${\overrightarrow {BA}}$。
   • 点$P$在${\overrightarrow {AB}}$上代表${\color {red}{\overrightarrow {AB}}}$会通过${\color {red}P}$点。

角

参见：国中数学/国中数学八年级/8-1 角
两射线如果使用相同的起点，则会形成一个角，此起点我们称为角的顶点。

角的种类	定义
锐角	介于0度到90度的角
直角	等于90度的角
钝角	介于90度到180度的角
平角	等于180度的角
优角	介于180度到360度的角
周角	等于360度的角

角的命名

1. 可以直接在角上面标示$1$、$2$、$3$、$4$、……，并称呼为“$\angle 1$(读作角$1$)”、“$\angle 2$”、“$\angle 3$”、“$\angle 4$”等等。
2. 在不会造成混淆的情况下，可以标示出顶点，并利用顶点命名。例如有一个角的顶点为$A$，我们称此角为$\angle A$。
3. 若有可能造成混淆，可以在两射线上各取一点，并以顺时针或逆时针的方式报读角的名字。如右图为$\angle BAC$(顺时针)或$\angle CAB$(逆时针)，但不可以称$\angle ACB$或$\angle ABC$(即顶点必须在中间)。

• 下图为一个可能会造成混淆的例子：

• 如果只是说$\angle A$，不知道是要表达$\angle BAC$、$\angle BAD$还是$\angle CAD$。
• 如果要表示最大的那个角，应该要用$\angle BAC$来说明比较好。

三角形

由三个点用线段互相连起来的图形，我们称为三角形。三角形具有$3$条边、$3$个角与$3$个顶点。是中学时期学习最多的形状。

• 依内角的大小可以将三角形区分成三类：

三角形种类	说明
锐角三角形	三个内角都是锐角
直角三角形	三个内角当中有一个直角
钝角三角形	三个内角当中有一个钝角

• 其中，依边的长短可以分出特别的两类三角形：

三角形种类	说明
等腰三角形	其中两条边等长
正三角形	三条边都等长

三角形的命名

三角形的命名如同角的命名，可以顺时针报读或逆时针报读，但它跟角报读方式的不同之处在于三角形可以从任何点开始。如下图，你可以称下面这个三角形为$\triangle ABC$、$\triangle ACB$、$\triangle BAC$、$\triangle BCA$、$\triangle CAB$、$\triangle CBA$。
但在大部分的情形我们会习惯将英文字母按照顺序排列，记作$\triangle ABC$，读作“三角形$ABC$”，很少人称作“$ABC$三角形”。

多边形

由$3$个点以上(含)，相邻的两点以线段连成一圈的图形，我们称为多边形。

• 一个$n$边形有$n$个顶点、$n$条边与$n$个角。
• 三角形也是一种多边形。
• 国中阶段会比较著墨在三角形、四边形与正多边形上。
• 多边形的称呼：从某一个顶点出发，依序以顺时针或逆时针的顺序报读各顶点。一样的，习惯上我们会按照英文字母的顺序报读。

此四边形可以称呼它为四边形$ABCD$或四边形$BADC$等等，但不能称呼为四边形$ACBD$。

• 多边形的对角线：不相邻的两点连成的线，我们称为对角线。

  

  图中画出五边形所有的对角线。

  • 补充：$n$边形的对角线有${\frac {n\times (n-3)}{2}}$个顶点。
• 若对角线全部都在图形之内，我们称此图形为凸多边形，若有一条对角线的部分会在图形之外，则我们称此图形为凹多边形。
  • 在国中数学内，没有特别强调时，谈论的图形都是凸多边形。

凸六边形的例子。所有对角线(红色线段)都在图形内。

凹五边形的例子。绿色的对角线有部分超出图形之外。

圆

参见：国中数学/国中数学九年级/2-1 点、线、圆
在平面上，与一固定点$A$距离相同的所有点形成的图形，我们称为圆，其中“相同的距离”我们称为半径。

垂直

当两直线(或线段)的夹角刚好是直角时，我们称两直线(或线段)垂直，并使用“$\bot$”表示。如下图直线$l$与直线$g$垂直，我们可以写作“$l\bot g$”。

垂线

垂线：一直线与直线$L$的夹角为直角(两直线互相垂直)，则我们称此直线为垂线。
1.一条直线$L$的垂线有无限多条。

• 如下图当中，$L_{1}$、$L_{2}$与$L_{3}$都是$L$的垂线。
• 当然，只要在画一条直线，其夹角与直线$L$成$90$度的时候，这条直线也会是直线$L$的垂线。

2.过$L$线上一点作$L$的垂线只有一条。

• 如上图当中，过$A$点且与$L$垂直的直线只有$L_{1}$一条。

3.过$L$线外一点作$L$的垂线只有一条。

垂足

两垂直的直线(或线段)所相交的点，我们称为垂足。如上图当中的$A$、$B$、$C$三点，分别是直线$L$与$L_{1}$、$L_{2}$、$L_{3}$的垂足。

平分

设一线段${\overline {AB}}$，若点$P$在${\overline {AB}}$上且满足${\overline {PA}}={\overline {PB}}$，则我们称$P$点平分${\overline {AB}}$，$P$点也称作$A$、$B$两点的中点。

垂直平分线

垂直平分线(中垂线)

若$P$点平分${\overline {AB}}$，则过$P$点且与${\overline {AB}}$垂直的直线我们称为${\overline {AB}}$的垂直平分线，又称作中垂线。

1. 只有线段才有垂直平分线，直线与射线没有。
2. 一条线段的垂直平分线只有一条。

线对称图形

1. 线对称图形的意义：将一个平面图形沿着某一条直线对折，如果可以使直线两侧的图形完全重叠，则此图形为线对称图形。

   

   一些线对称图形，红色直线为对称轴。

   
   
2. 对称轴：在线对称图形中，若沿着直线$L$对折，直线$L$两侧的图形完全重叠，则直线$L$称为线对称图形的对称轴。
   • 对应点：沿着对称轴对折，会刚好叠合的点。
   • 对应边：沿着对称轴对折，会刚好叠合的边。
   • 对应角：沿着对称轴对折，会刚好叠合的角。
   • 一个图形的对称轴可能不只一条。

     

     虚线为对称轴。可以注意左上方的正方形有4条对称轴。

     所以要表达对应点、对应边或对应角时，应该要说明“以哪条直线为对称轴，什么的对应什么是什么”。
     • 例如：如下图，以直线$L$为对称轴，点$B$的对应点为点$G$，${\overline {FG}}$的对应边为${\overline {BC}}$，$\angle CDE$的对应角为$\angle FED$。

以直线L为对称轴的箭头

• 注解：
  1. 在线对称图形中，对称轴为两侧对称点连线的垂直平分线。
     • 如上图当中，直线$L$为${\overline {DE}}$的垂直平分线。
  2. 在线对称图形中，对称线段等长，对称角等大。
     • 如上图当中${\overline {FG}}$的对应边为${\overline {BC}}$，所以${\overline {FG}}={\overline {BC}}$、$\angle ABC$的对应角为$\angle AGF$，所以$\angle ABC=\angle AGF$。

常见的线对称图形

1. 等腰三角形
   • 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形。
   • 一般的等腰三角形只有一条对称轴，此对称轴既是底边的垂直平分线，也会将顶角平分成两个角度相等的角(我们称作角平分线)。
   • 等腰三角形的两个底角相等。
2. 正三角形
   • 正三角形必定有$3$条对称轴。
   • 正三角形必然是等腰三角形，但等腰三角形不一定是正三角形。
3. 长方形
   • 长方形的定义：有四个直角的四边形。
   • 一般的长方形有$2$条对称轴。
4. 菱形
   • 菱形的定义：有四边等长的四边形。
   • 一般的菱形有$2$条对称轴。
5. 正方形
   • 正方形的定义：四边等长、四个角都是直角的四边形。
   • 正方形必定有$4$条对称轴。
   • 正方形必然是长方形，但长方形不一定是正方形。
   • 正方形必然是菱形，但菱形不一定是正方形。
6. 筝形
   • 筝形的定义：有两对邻边相等的四边形。
   • 筝形又称作鸢形。
   • 一般的筝形只有一条对称轴。
   • 正方形、菱形必然是筝形，但筝形不一定是正方形或菱形。
7. 等腰梯形
   • 等腰梯形的意义：一个梯形的两腰等长。
   • 等腰梯形只有一条对称轴。
8. 正多边形
   • 正多边形的对称轴和它的边数一样多。如正七边形有七条对称轴。
9. 圆形
   • 圆形有无限多条对称轴，任何一条直径都是其对称轴。

常考的"非"线对称图形

1. 内角分别是$30-60-90$度的三角形。
2. 一般的平行四边形。
3. 一般的梯形。

剪纸与线对称图形

将一张纸对折，并在折线画图案，剪下来的图形必定以折线作为其对称轴。

方格纸与线对称图形

其秘诀为：对称点与对称轴的距离相等，利用方格纸上的格子可以测量距离，找出对称点然后再相连即可。