三角形的五心

定义

三角形五心的定义

三角形的内心、外心、重心及垂心称为三角形的四心，定义如下：

名称	定义	图示	备注
内心	三个内角的角平分线的交点		该点为三角形内切圆的圆心。
外心	三条边的垂直平分线的交点		该点为三角形外接圆的圆心。
重心	三条中线的交点		被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长)。
垂心	三条高线的交点

垂心(蓝)、重心(黄)和外心(绿)能连成一线，且成比例2:1，称为尤拉线。

连同以下的旁心，合称为三角形的五心：

名称	定义	图示	备注
旁心	外角的角平分线的交点		有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

正弦(sine)、余弦(Cosine)定义

∠A之度数为α：
sinα=对边长/斜边长
cosα=邻边长/斜边长

直角三角形中∠A之度数为α，定义：

sinα=对边长/斜边长

cosα=邻边长/斜边长

基本性质：

1. sinα=cos(90°-α)

   令∠B度数为β，β=90°-α，则sinα=a/c=cosβ=cos(90°-α)

2. cosα=sin(90°-α)

   令∠B度数为β，β=90°-α，则cosα=b/c=sinβ=sin(90°-α)

3. sin²α+cos²α=1

三角函数的平方写在角度前，不写在角度后，以和“α²取sin”区分。

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha ={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1$

两大公式

(一)圆周角等于对同弧圆心角的一半

正弦定理

若$R$为外接圆半径，则 ${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$。

(二)余弦定理

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

三角形面积公式

(一)已知两边及其夹角

三角形面积为二分之一两边乘以夹角正弦。

△=${\frac {1}{2}}\times ab\times \sin \gamma$

△=${\frac {1}{2}}\times b\times h={\frac {1}{2}}\times b\times h\times {\frac {a}{a}}={\frac {1}{2}}\times a\times b\times {\frac {h}{a}}={\frac {1}{2}}\times ab\times \sin \gamma$

(二)海伦-秦九韶公式

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

△=${\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

(三)内切圆半径

$s={\frac {a+b+c}{2}}$，r为内切圆半径

△面积 $=sr$

(四)外接圆半径

R为外接圆半径

△=${\frac {abc}{4R}}$

证明

(六)三高

△= ½×a×h_a= ½×b×h_b= ½×c×h_c

(七)以三点座标求面积

△=$\pm {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}$

如 (x₁,y₁) 为 (0,0) 即原点，则

△=$\pm {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}$

再旋转使 (x₃,y₃) 位于 X 轴，为 (x₃,0)。此时 x₃ 为底， y₂ 为高：

△=${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&0\end{vmatrix}}=-{\frac {1}{2}}x_{3}y_{2}$

从一角出发，其两边的向量为 $\mathbf {a}$ 及 $\mathbf {b}$

△=${\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |$