三角形的五心

定义

三角形五心的定义

三角形的内心、外心、重心及垂心称为三角形的四心，定义如下：

名称	定义	备注
内心	三个内角的角平分线的交点	该点为三角形内切圆的圆心。
外心	三条边的垂直平分线的交点	该点为三角形外接圆的圆心。
重心	三条中线的交点	被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长)。
垂心	三条高线的交点

垂心(蓝)、重心(黄)和外心(绿)能连成一线，且成比例2:1，称为尤拉线。

连同以下的旁心，合称为三角形的五心：

名称	定义	图示	备注
旁心	其中一内角和另外两外角的角平分线的交点		有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

正弦(sine)、馀弦(Cosine)定义

∠A之度数为α：
sinα=对边长/斜边长
cosα=邻边长/斜边长

直角三角形中∠A之度数为α，定义：

sinα=对边长/斜边长

cosα=邻边长/斜边长

基本性质：

sinα=cos(90°-α)
令∠B度数为β，β=90°-α，则sinα=a/c=cosβ=cos(90°-α)
cosα=sin(90°-α)
令∠B度数为β，β=90°-α，则cosα=b/c=sinβ=sin(90°-α)
sin²α+cos²α=1

三角函数的平方写在角度前，不写在角度后，以和“α²取sin”区分。

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha ={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1

两大公式

(一)圆周角等于对同弧圆心角的一半

正弦定理

若 $R$ 为外接圆半径，则 ${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$ 。

(二)馀弦定理

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

三角形面积公式

(一)已知两边及其夹角

三角形面积为二分之一两边乘以夹角正弦。

△= ${\frac {1}{2}}\times ab\times \sin \gamma$

△= ${\frac {1}{2}}\times b\times h={\frac {1}{2}}\times b\times h\times {\frac {a}{a}}={\frac {1}{2}}\times a\times b\times {\frac {h}{a}}={\frac {1}{2}}\times ab\times \sin \gamma$