高中數學/必修四/第三章：三角恆等變換

本章概述

本章是高中數學三角函數的最重要內容，是每年高考的必考內容。題目一般是一到兩道選擇題以及一道解答題的某個分支，分值大多在8到13分之間，難度一般為中低等級。隨着新課程標準的實施，對這部分內容的要求有一定的降低傾向，突出「和、差、倍角公式」的作用，突出對正餘弦函數的圖像與性質的考察。由於新課程標準中向量的引入，將它和平面向量結合起來考察也是高考的一個重要方面。

學習本章，需要熟練背誦本章的所有公式，並且需要熟練地正用、逆用、變形用其中的公式。為了要達到這個目標，需要大量做題，熟練運用公式，熟能生巧，方可學好此章。

3.1 兩角和與差的正弦、餘弦和正切公式

3.1.1 兩角差的餘弦公式

兩角差的餘弦公式

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

3.1.2 兩角和與差的正餘弦、正切公式

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

3.1.3 二倍角的正餘弦、正切公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$

$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

3.2 簡單的三角恆等變換

3.2.1 半角公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$

$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

3.2.2 萬能公式

$\sin 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\cos 2\alpha ={\frac {1-\tan ^{2}\alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

3.2.4 降冪公式

$\sin 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\cos 2\alpha ={\frac {1-\tan ^{2}\alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

3.2.5 積化和差公式

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$

$\cos \alpha \sin \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}{2}}$

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}$

$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$

3.2.6 和差化積公式

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

3.2.7 輔助角公式

$a\sin \alpha +b\cos \alpha ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin \left(\alpha +\arctan {\frac {b}{a}}\right)$