訊號與系統/連續時間LTI系統的頻率響應

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Communication：大陆：通信；臺灣：通訊； 當前語言下顯示→通訊
Convolution：大陆：卷积；臺灣：摺積； 當前語言下顯示→摺積
Digital：臺灣：數位；大陆：数字；香港：數碼； 當前語言下顯示→數碼
Fourier：大陆：傅里叶；臺灣：傅立葉； 當前語言下顯示→傅立葉
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P-N junction：大陆：P-N结；香港：P-N結；臺灣：P-N接面； 當前語言下顯示→P-N結
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Signal：臺灣：訊號；大陆：信号； 當前語言下顯示→訊號
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Signaling System Number 7：大陆：七号信令系统；臺灣：第七號發信系統；香港：七號信令系統； 當前語言下顯示→七號信令系統
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Time division：香港：時分；大陆：时分；臺灣：分時； 當前語言下顯示→時分
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TDMA：香港：時分多址；大陆：时分多址；臺灣：分時多重進接； 當前語言下顯示→時分多址
FDMA：香港：頻分多址；大陆：频分多址；臺灣：分頻多重進接； 當前語言下顯示→頻分多址
CDMA：香港：碼分多址；大陆：码分多址；臺灣：分碼多重進接； 當前語言下顯示→碼分多址
SDMA：香港：空分多址；大陆：空分多址；臺灣：分空間多重進接； 當前語言下顯示→空分多址
TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 當前語言下顯示→時分複用
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 當前語言下顯示→頻分複用
SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 當前語言下顯示→空分複用
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 當前語言下顯示→波分複用
iDEN：臺灣：整合數位強化網路；大陆：集成数字增强网络； 當前語言下顯示→整合數位強化網路
GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 當前語言下顯示→通用封包無線服務
spread-spectrum：大陆：扩频；臺灣：展頻； 當前語言下顯示→展頻
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Packet：臺灣：封包；大陆：分组； 當前語言下顯示→封包
Cellular data：臺灣：蜂巢式資料；大陆：蜂窝数据；香港：蜂巢式數據； 當前語言下顯示→蜂巢式數據
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Bit：臺灣：位元；大陆：比特； 當前語言下顯示→位元
Slot：臺灣：時槽；大陆：时隙； 當前語言下顯示→時槽
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Information theory：繁體：消息理論；简体：信息论； 當前語言下顯示→消息理論
Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 當前語言下顯示→資訊理論
Sampling Theorem：臺灣：取樣定理；大陆：采样定理； 當前語言下顯示→取樣定理
Shannon：大陆：香农；臺灣：夏農；香港：山農； 當前語言下顯示→山農
Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 當前語言下顯示→模擬廣播
Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 當前語言下顯示→模擬電視
Definition：大陆：清晰度；臺灣：解析度；香港：清晰度； 當前語言下顯示→清晰度
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Digital Television：大陆：数字电视；臺灣：數位電視；香港：數碼電視;zh-mo:數字電視； 當前語言下顯示→數碼電視;zh-mo:數字電視
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USB TV Tuner：大陆：USB电视棒；香港：USB電視手指；臺灣：USB電視棒； 當前語言下顯示→USB電視手指
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Call forwarding：大陆：呼叫转移；臺灣：來電轉駁； 當前語言下顯示→來電轉駁
Information Technology：大陆：信息技术；臺灣：資訊科技； 當前語言下顯示→資訊科技
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Frame：大陆：帧；臺灣：訊框； 當前語言下顯示→訊框

臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 當前用字模式下顯示為→方向導數
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臺灣：約束；大陆：约束； 當前用字模式下顯示為→約束
原始語言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 當前用字模式下顯示為→鮑萊耳
原始語言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 當前用字模式下顯示為→克里斯多福
原始語言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 當前用字模式下顯示為→克里福
原始語言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 當前用字模式下顯示為→愛拉托散尼
原始語言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 當前用字模式下顯示為→傅立葉
原始語言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 當前用字模式下顯示為→弗比尼斯
原始語言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 當前用字模式下顯示為→郝斯多夫
原始語言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 當前用字模式下顯示為→勒維奇維塔
原始語言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 當前用字模式下顯示為→洛必達
原始語言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 當前用字模式下顯示為→馬可夫
原始語言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 當前用字模式下顯示為→卜瓦松
原始語言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 當前用字模式下顯示為→勒壤得
原始語言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 當前用字模式下顯示為→施瓦次
原始語言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 當前用字模式下顯示為→艾禮富
原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
原始語言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 當前用字模式下顯示為→代數獨立
原始語言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 當前用字模式下顯示為→代數閉體
原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
原始語言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 當前用字模式下顯示為→閉圖定理
原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元
原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→中值定理
原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

連續時間LTI系統的頻率響應

一連續時間LTI系統的零狀態響應，可表示為輸入訊號與系統的單位脈衝響應的旋積，即

                             ${\boldsymbol {y}}(t)=x(t)*h(t)$

利用傅立葉轉換的旋積定理，我們可將上式系統輸出響應之時域表示轉換成頻域的表示式：

                             ${\boldsymbol {Y}}(f)=X(f)H(f)$ 
 故   $H(f)={Y(f) \over X(f)}$

其中函數H(f)稱為此系統的頻率響應(frequency response)或轉換函數(transfer function)。.....公式加圖 ©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

接下來我們依序以各種不同輸入訊號的情況來說明如何利用頻率響應計算此系統的輸出訊號：

(1)輸入訊號 $x(t)=\delta (t)$

(2)輸入訊號 $x(t)=$ ${\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$

(3)輸入週期訊號

(4)輸入非週期訊號

輸入訊號 $x(t)=\delta (t)$

當系統的輸入訊號是 $x(t)=\delta (t)$ 時，其傅立葉轉換為 $X(f)=1$ ，故 $Y(f)=H(f)$ 。 .........圖 ©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

輸入訊號 $x(t)=$ ${\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$

當系統的輸入是複指數訊號 $x(t)=$ ${\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$ 時，其傅立葉轉換為 $X(f)=$ $\delta (f-f_{0})$

               $Y(f)=H(f)\delta (f-f_{0})=H(f_{0})\delta (f-f_{0})$

計算 $Y(f)$ 的傅立葉逆轉換可得到

                 $y(t)=H(f_{0}){\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$

複指數信號 ${\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$ 是這個LTI系統的特徵函數(eigenfunction)，其對應的特徵值(eigenvalue)是 $H(f_{0})$ 。

輸入週期訊號

當系統的輸入是週期訊號時，將週期訊號表示成傅立葉級數

       $x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}{\boldsymbol {e}}^{j2\pi nf_{0}t}$

利用線性特性，我們可得到輸出信號

       $y(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}H(nf_{0}){\boldsymbol {e}}^{j2\pi nf_{0}t}$

輸入非週期訊號

當系統的輸入是非週期訊號 $x(t)$ 時，其傅立葉轉換為 $X(f)$ 系統的輸出信號

      $y(t)=\Im ^{-1}$  { $X(f)H(f)$ }= $\int _{-\infty }^{\infty }X(f)H(f)e^{j2\pi ft}df$

系統的頻率響應可表示成

      $H(f)=\mid H(f)\mid e^{j\angle H(f)}$ 
          
          其中 $\mid H(f)\mid$ 稱為此系統的強度響應(magnitude response)，
           而 $\angle H(f)$ 稱為此系統的相位響應(phase response)。

分別將系統在頻域的輸入與輸出表示成

      $H(f)=\mid H(f)\mid e^{j\angle H(f)}$ 和 $Y(f)=\mid Y(f)\mid e^{j\angle Y(f)}$ 
          其中： $\mid Y(f)\mid e^{j\angle Y(f)}$ = $\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid e^{j[\angle X(f)+\angle H(f)]}$ 
               $\mid Y(f)\mid =\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid$ 
               $\angle Y(f)=\angle X(f)+\angle H(f)$

系統輸出的振幅頻譜 $\mid Y(f)\mid$ 等於系統輸入的振幅頻譜 $\mid X(f)\mid$ 乘上系統的強度響應 $\mid H(f)\mid$ 。有時候，強度響應 $\mid H(f)\mid$ 也稱為系統的增益(gain)。

輸入相位頻譜 $\angle X(f)$ 加上系統的相位響應 $\angle H(f)$ 可得系統輸出的相位頻譜 $\angle Y(f)$ 。

範例6.1

假定一LTI系統的脈衝響應與輸入訊號為

      $x(t)=h(t)={\begin{cases}1,&0\leq t\leq 1\\0,&else\end{cases}}$

以頻域分析方式求其輸出訊號。

【解】

   (1)顯然 $x(t)$ 和 $h(t)$ 可表示成 $rect(t-1/2)$ 
    $x(t)=h(t)$ 之傅立葉轉換為 $X(f)=H(f)=sinc(f)e^{-j\pi f}$

  (2) 系統在頻域的輸出 $Y(f)=X(f)H(f)=sinc^{2}(f)e^{-j2\pi f}$

  (3) $y(t)=\Im ^{-1}$  { $Y(f)$ }= $\Lambda (t-1)$ = ${\begin{cases}0,&t\leq 0\\t,&1>t>0\\-t+2,&2>t\geq 1\\0,&t\geq 2\end{cases}}$

範例6.2

一LIT系統的頻域響應為

      $H(f)=\Lambda ({f \over 5})$

試求輸入訊號 $x(t)=3cos(4\pi t)+4cos(6\pi t)$ 之輸出 $y(t)$ 及其頻譜 $Y(f)$ 【解】

   (1) $X(f)=\Im [x(t)]$   
            ${\boldsymbol {=}}1.5\delta (f-2)+1.5\delta (f+2)+2\delta (f-3)+2\delta (f+3)$ 
   
   (2) $H(f)=\Lambda ({f \over 5})={\begin{cases}1-\mid f\mid /5&\mid f\mid <5\\0&else\end{cases}}$

   (3) ${\boldsymbol {Y}}(f)=H(f)X(f)$ 
            ${\boldsymbol {=}}1.5H(2)\delta (f-2)+1.5H(-2)\delta (f+2)+2H(3)\delta (f-3)+2H(-3)\delta (f+3)$ 
            ${\boldsymbol {=}}0.9\delta (f-2)+0.9\delta (f+2)+0.8\delta (f-3)+0.8\delta (f+3)$

   (4) $y(t)=\Im ^{-1}[Y(f)]=0.9\Im ^{-1}[\delta (f-2)]+0.9\Im ^{-1}[\delta (f+2)]+0.8\Im ^{-1}[\delta (f-3)]+0.8\Im ^{-1}[\delta (f+3)]$ 
            ${\boldsymbol {=}}0.9[e^{-j4\pi }+e^{j4\pi }]+0.8[e^{-j6\pi }+e^{j6\pi }]$ 
            ${\boldsymbol {=}}1.8cos(4\pi t)+1.6cos(6\pi t)$