讯号与系统/连续时间LTI系统的频率响应

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原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
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原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

连续时间LTI系统的频率响应

一连续时间LTI系统的零状态响应，可表示为输入讯号与系统的单位脉冲响应的旋积，即

                             ${\boldsymbol {y}}(t)=x(t)*h(t)$

利用傅立叶转换的旋积定理，我们可将上式系统输出响应之时域表示转换成频域的表示式：

                             ${\boldsymbol {Y}}(f)=X(f)H(f)$ 
 故   $H(f)={Y(f) \over X(f)}$

其中函数H(f)称为此系统的频率响应(frequency response)或转换函数(transfer function)。.....公式加图 ©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

接下来我们依序以各种不同输入讯号的情况来说明如何利用频率响应计算此系统的输出讯号：

(1)输入讯号 $x(t)=\delta (t)$

(2)输入讯号 $x(t)=$ ${\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$

(3)输入周期讯号

(4)输入非周期讯号

输入讯号 $x(t)=\delta (t)$

当系统的输入讯号是 $x(t)=\delta (t)$ 时，其傅立叶转换为 $X(f)=1$ ，故 $Y(f)=H(f)$ 。 .........图 ©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

输入讯号 $x(t)=$ ${\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$

当系统的输入是复指数讯号 $x(t)=$ ${\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$ 时，其傅立叶转换为 $X(f)=$ $\delta (f-f_{0})$

               $Y(f)=H(f)\delta (f-f_{0})=H(f_{0})\delta (f-f_{0})$

计算 $Y(f)$ 的傅立叶逆转换可得到

                 $y(t)=H(f_{0}){\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$

复指数信号 ${\boldsymbol {e}}^{j2\pi f_{o}t}$ 是这个LTI系统的特征函数(eigenfunction)，其对应的特征值(eigenvalue)是 $H(f_{0})$ 。

输入周期讯号

当系统的输入是周期讯号时，将周期讯号表示成傅立叶级数

       $x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}{\boldsymbol {e}}^{j2\pi nf_{0}t}$

利用线性特性，我们可得到输出信号

       $y(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}H(nf_{0}){\boldsymbol {e}}^{j2\pi nf_{0}t}$

输入非周期讯号

当系统的输入是非周期讯号 $x(t)$ 时，其傅立叶转换为 $X(f)$ 系统的输出信号

      $y(t)=\Im ^{-1}$  { $X(f)H(f)$ }= $\int _{-\infty }^{\infty }X(f)H(f)e^{j2\pi ft}df$

系统的频率响应可表示成

      $H(f)=\mid H(f)\mid e^{j\angle H(f)}$ 
          
          其中 $\mid H(f)\mid$ 稱為此系統的強度響應(magnitude response)，
           而 $\angle H(f)$ 稱為此系統的相位響應(phase response)。

分别将系统在频域的输入与输出表示成

      $H(f)=\mid H(f)\mid e^{j\angle H(f)}$ 和 $Y(f)=\mid Y(f)\mid e^{j\angle Y(f)}$ 
          其中： $\mid Y(f)\mid e^{j\angle Y(f)}$ = $\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid e^{j[\angle X(f)+\angle H(f)]}$ 
               $\mid Y(f)\mid =\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid$ 
               $\angle Y(f)=\angle X(f)+\angle H(f)$

系统输出的振幅频谱 $\mid Y(f)\mid$ 等于系统输入的振幅频谱 $\mid X(f)\mid$ 乘上系统的强度响应 $\mid H(f)\mid$ 。有时候，强度响应 $\mid H(f)\mid$ 也称为系统的增益(gain)。

输入相位频谱 $\angle X(f)$ 加上系统的相位响应 $\angle H(f)$ 可得系统输出的相位频谱 $\angle Y(f)$ 。

范例6.1

假定一LTI系统的脉冲响应与输入讯号为

      $x(t)=h(t)={\begin{cases}1,&0\leq t\leq 1\\0,&else\end{cases}}$

以频域分析方式求其输出讯号。

【解】

   (1)顯然 $x(t)$ 和 $h(t)$ 可表示成 $rect(t-1/2)$ 
    $x(t)=h(t)$ 之傅立葉轉換為 $X(f)=H(f)=sinc(f)e^{-j\pi f}$

  (2) 系統在頻域的輸出 $Y(f)=X(f)H(f)=sinc^{2}(f)e^{-j2\pi f}$

  (3) $y(t)=\Im ^{-1}$  { $Y(f)$ }= $\Lambda (t-1)$ = ${\begin{cases}0,&t\leq 0\\t,&1>t>0\\-t+2,&2>t\geq 1\\0,&t\geq 2\end{cases}}$

范例6.2

一LIT系统的频域响应为

      $H(f)=\Lambda ({f \over 5})$

试求输入讯号 $x(t)=3cos(4\pi t)+4cos(6\pi t)$ 之输出 $y(t)$ 及其频谱 $Y(f)$ 【解】

   (1) $X(f)=\Im [x(t)]$   
            ${\boldsymbol {=}}1.5\delta (f-2)+1.5\delta (f+2)+2\delta (f-3)+2\delta (f+3)$ 
   
   (2) $H(f)=\Lambda ({f \over 5})={\begin{cases}1-\mid f\mid /5&\mid f\mid <5\\0&else\end{cases}}$

   (3) ${\boldsymbol {Y}}(f)=H(f)X(f)$ 
            ${\boldsymbol {=}}1.5H(2)\delta (f-2)+1.5H(-2)\delta (f+2)+2H(3)\delta (f-3)+2H(-3)\delta (f+3)$ 
            ${\boldsymbol {=}}0.9\delta (f-2)+0.9\delta (f+2)+0.8\delta (f-3)+0.8\delta (f+3)$

   (4) $y(t)=\Im ^{-1}[Y(f)]=0.9\Im ^{-1}[\delta (f-2)]+0.9\Im ^{-1}[\delta (f+2)]+0.8\Im ^{-1}[\delta (f-3)]+0.8\Im ^{-1}[\delta (f+3)]$ 
            ${\boldsymbol {=}}0.9[e^{-j4\pi }+e^{j4\pi }]+0.8[e^{-j6\pi }+e^{j6\pi }]$ 
            ${\boldsymbol {=}}1.8cos(4\pi t)+1.6cos(6\pi t)$