初等數論/連分數

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若要求諸如${\sqrt {2}}$之類的進似值時，我們會怎麼做？用「十分逼近法」，不過以下用另一種的方法來對其值進行逼近，即：

• $1<{\sqrt {2}}<2$
• $1<{\sqrt {2}}<1+{\frac {1}{2}}$
• $1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2}}}}<{\sqrt {2}}<1+{\frac {1}{2}}$
• $1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2}}}}<{\sqrt {2}}<1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2}}}}}}$

......

如此循環下去，即可得到一連串的分數，而這些分數的值越來越逼近${\sqrt {2}}$，而這些值即為${\sqrt {2}}$的漸近分數

對於一數n，其第$m$漸近分數的連分數表達式定義為：$a_{m}=b_{1}+{\frac {1}{b_{2}+{\frac {1}{b_{3}+......{\frac {1}{b_{m-1}+{\frac {1}{b_{m}}}}}}}}}$，或表為$<b_{1},b_{2},......,b_{m}>$

習題