二次剩餘的定義:若有一同餘方程 ,其中p是一個奇質數,且p不能整除d,若此同餘方程成立,則稱d為模p的二次剩餘,若此同餘方程不成立,則稱d為模p的二次非剩餘
二次剩餘有個判別法,名叫歐拉準則:
此處的d與p及其他符號皆依照上面對於二次剩餘的定義
d為模p的二次剩餘的充要條件為:
d為模p的二次非剩餘的充要條件為:
證明:
只需證明定理的前一半。
設 ,且 不能被 整除。
則由費馬小定理可知
。
依照上面對於二次剩餘的定義,對於奇質數 p 以及整數 d,如果 p 不能整除 d,我們可以定義勒讓德符號 如下:
=1,若d為模p的二次剩餘;
=-1,若d為模p的二次非剩餘
由二次剩餘和勒讓德符號的定義可推出:
- ;
-
-
-
上面的歐拉判別法亦可用勒讓德符號表示,即:
對於奇質數p,q,有以下定理:
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