初等数论/二次剩馀与二次互反律

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二次剩馀

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二次剩馀的定义:若有一同馀方程 ,其中p是一个奇质数,且p不能整除d,若此同馀方程成立,则称d为模p的二次剩馀,若此同馀方程不成立,则称d为模p的二次非剩馀

欧拉准则

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二次剩馀有个判别法,名叫欧拉准则: 此处的d与p及其他符号皆依照上面对于二次剩馀的定义

d为模p的二次剩馀的充要条件为: 

d为模p的二次非剩馀的充要条件为: 

证明:

只需证明定理的前一半。

  • 必要性:

 ,且 不能被 整除。

则由费马小定理可知  

  • 充分性:

勒让德符号

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依照上面对于二次剩馀的定义,对于奇质数 p 以及整数 d,如果 p 不能整除 d,我们可以定义勒让德符号 如下:

 

=1,若d为模p的二次剩馀

=-1,若d为模p的二次非剩馀

由二次剩馀和勒让德符号的定义可推出:

  •  

 

  •  
  •  
  •  

上面的欧拉判别法亦可用勒让德符号表示,即: 

二次互反律

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对于奇质数p,q,有以下定理:

 

二次互反律的证明

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高斯引理

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高斯引理的证明

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雅可比符号

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习题

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第一部份─基础题

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第二部份─进阶题

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