高中數學（版聊式）/第3節：導數的計算

最初導數的計算都是來源於導數的定義。用定義法求導數是最基本的方法。

初等函數的導數的推導並不需要掌握，能看懂即可。並且導數的定義計算可能要涉及一些極限的計算，會略有糾結。有關極限的內容，請參照補充內容：極限的基本運算。

我們首先看簡單一點的函數$y=c$(常數)。

根據定義，$f'(x)=c-c=0$。

即常數函數的變化率始終為0，這也是符合我們的認知的。

對於稍微複雜一些的函數 $y=x^{2}$ 有

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\cdot \Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x$

也就是說當x逐漸增大時，y的變化率（增長速度）一直在增大。這也是符合我們的認知的。

初等函數中更為複雜一些的函數如$y=\sin x$, 有

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}}\\&=\sin x\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos \Delta x-1}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}}=\cos x\end{aligned}}$

為了方便，今後我們可以直接使用下面的導數公式表

• 若$f(x)=c$，則$f'(x)=0$
• 若$f(x)=x^{a}$，則$f'(x)=ax^{a-1}$
• 若$f(x)=\sin(x)$，則$f'(x)=\cos(x)$
• 若$f(x)=\cos(x)$，則$f'(x)=-\sin(x)$
• 若$f(x)=a^{x}$，則$f'(x)=a^{x}\ln(a)$
• 若$f(x)=\mathrm {e} ^{x}$，則$f'(x)=\mathrm {e} ^{x}$
• 若$f(x)=\log _{a}(x)$，則$f'(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}$
• 若$f(x)=\ln(x)$，則$f'(x)={\frac {1}{x}}$

同時，對於函數的導數，還有如下公式：

• $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)+g'(x)$

• $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

• $\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^{2}}}$ (g(x)≠0)

對於複合函數，有鏈式法則：

$f[g(x)]'=f'[g(x)]\cdot g'(x)$

下面將舉幾個例子。

例：求下列函數的導數。

(1). $f(x)=x^{3}-2x+3$；

(2). $f(x)=3x^{2}e^{x}$；

(3). $f(x)=\ln(x+2)$；

(4). $f(x)=\sin(\pi x+\varphi )$。

解：(1). 根據複合函數求導法則，$f'(x)=(x^{3})'-(2x)'+(3)'=3x^{2}-2$。

(2). 令$f(x)=3x^{2}$，$g(x)=e^{x}$， 則$f'(x)=6x\cdot e^{x}+3x^{2}\cdot e^{x}=3xe^{x}(x+2)$。

(3). 顯然這是複合函數。令$u=x+2$，則$f'(x)=[ln(u)]|_{u=x+2}\cdot (x+2)'={\frac {1}{x+2}}$。

(4). 令$u=\pi x+\varphi$，則$f'(x)=\cos(\pi x+\varphi )\cdot \pi$。