《莊子》曰:「一尺之捶,日取其半,萬世不竭。」假設有一尺長的線段,每天划去一半,那麼它的長度會變得如何呢?如果我們查看特定的某一天,比如說第7天,那麼線段的長度還剩 尺。但我們想知道的是,線段的長度「最終」會怎麼樣?用數學的語言來說,就是以下的數列:
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在 「非常大」的時候會有什麼性質?為此我們可以建立以下的表格看看 「非常大」的時候, 會是什麼樣子:
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可以看出, 越大, 就越接近0;當 很大,比如說 的時候, 與0的差別只有 了。這時候,我們就稱:數列 的極限是0,並記作:
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它表示「只要 足夠大, 就會足夠接近0」這樣一個性質。《莊子》道出「日取其半」是一個無限的過程,而我們則給出了「日取其半」的最終趨勢。需要注意的是,0並不是「日取其半」的結果,也不是「日取其半」到某一天時會出現的情況:數列的極限值和數列本身不一定有相等的關係。
再來看另一個例子。設函數 為 ,我們來關注它在2附近的取值情況。下表顯示出當自變量 靠近 的時候, 的值有何特性:
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1.7
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1.8
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1.9
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1.95
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1.99
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1.999
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2.89
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3.24
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3.61
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3.8025
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3.9601
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3.996001
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表中取的 值都是小於 的。也可以取大於 的 值,見下表:
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2.3
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2.2
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2.1
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2.05
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2.01
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2.001
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5.29
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4.84
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4.41
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4.2025
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4.0401
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4.004001
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從以上兩個表格中,可以看出,當 越來越靠近 的時候,不論是比 大還是比 小, 的值都會越來越靠近 。我們把這個性質稱為:函數 當 趨於2的時候的極限是 ,並記作:
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可以注意到,如果把 代入函數中,得到的函數值 ,恰好是 趨於2的時候函數 極限的值。但要小心的是,這個相等關係並不適用於所有函數!
極限可以用來描述某個變化的趨勢,但不是所有的趨勢都可以用極限描述。以下是一個例子。設函數 為 ,當自變量 靠近 的時候, 的值變化如下表:
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1.7
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1.8
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1.9
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1.95
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1.99
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1.999
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---|
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0.191
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0.959
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0.544
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-0.913
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0.506
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-0.827
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大於 的 的值靠近 時, 的值變化如下表:
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2.3
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2.2
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2.1
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2.05
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2.01
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2.001
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-0.191
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-0.959
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-0.544
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0.913
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-0.506
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0.827
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的值靠近 時, 的值並不接近任何一個特定的數值。這時候,我們稱函數在 在 趨於 時沒有極限。
以上的例子中,我們引入了極限的概念,但使用的是模糊的語言。我們通過觀察一系列的數值,來得到「越來越接近」的結論,使用的是樸素的(不完全)歸納法,而不是嚴格的證明;同時我們也沒有嚴格定義何為「接近」:在比較兩個實數是否接近時這是很直觀的,但更多的時候我們需要判斷更為複雜的對象是否「接近」。