基礎數學/自然數

自然數

導言

你會數數嗎？也許你會不屑地說：「我早就會了！」那麼你最大能數到多少呢？你會做加法、減法、乘法和除法嗎？你知道分配律是什麼嗎？如果還不是特別清楚的話，就來讀一讀這一章的內容吧。

讓我們還是回到數數的問題上來。什麼是數數呢？我們先看一個例子：小明有一籃蘋果，小紅也有一籃蘋果，可是誰的更多一些呢？我們就需要比一比。一個辦法是小明和小紅每次各吃一個蘋果，看誰的先吃完，誰的就少一些，另一個人的就多一些。當然更聰明一點兒的辦法是把蘋果同時從籃子裡取出來，每次各取一個，誰的蘋果先取盡，誰的就少些，這樣就不用把蘋果都吃完了。那麼如果兩個人都在家裡，只能通過電話聯繫呢？那也好辦，他們可以每拿出一個蘋果就在電話里說一句「蘋果」，這樣就能保證兩個人每次同時各拿出一個蘋果了。但如果電話也不通，只能寫信呢？那也好辦，我們可以讓小明每取出一個蘋果，就在信紙上畫一個蘋果，等取完了蘋果，信紙上的蘋果就和小明籃子裡的蘋果一樣多了。當然了，要把一個蘋果畫得像並不是那麼容易的事，不過只要小紅明白他想畫的是蘋果也就可以了，不需要畫得那麼像，甚至小明可以簡單的把每個蘋果畫成一個方塊，像這樣
口口口口
只要小紅知道每個方塊代表一個蘋果就可以了。如果小明不能直接給小紅寫信，他們都只能給小剛寫信呢？那也沒關係，他們可以都把蘋果畫成方塊或者別的什麼，把信寄給小剛，像這樣
小明：口口口口
小紅：口口口口口口
小剛只要比一比他們誰畫的方框更多就行了。這裡有兩件事是重要的，第一，方框和蘋果長得像不像都沒關係，只要每個方框代表一個蘋果就可以；第二，只要比較小明和小紅畫的方框，看誰的多一些，就可以知道誰的蘋果更多一些。所以我們不但可以用方框表示蘋果，還可以用來表示橘子，葡萄，鉛筆，汽車，隨便什麼能數的東西都可以。當然我們也可以不用方框，比如小紅用橫線來表示蘋果，於是小剛收到的信會是下面的樣子
小明：口口口口
小紅：一一一一一一
我們看到口口口口口口和一一一一一一代表的含義其實是一樣的，只是符號不同，如果大家用的符號都不一樣，就不大方便，一個簡單的辦法是大家約定都用相同的符號，比如方框，這樣不管是誰都認得了。可以說這些方框就是我們這一章的主角————自然數。不過如果兩人要比較的不是蘋果，而是瓜子，這樣的畫法就太麻煩了，所以我們還要用更簡單的符號來代替這些方框。

9以下（包括9）的數

導言

我們先不急着去數瓜子吧，先來看看最小的幾個自然數。當然它們無非就是口、口口、口口口……，不過像前面說的，我們要用更簡單一些的符號來代替它們。實際上不同國家有不同的符號，我們下面列出中國、羅馬、印度的符號如下

9以下的數字
中國的數字	羅馬的數字	印度的數字	我們的方塊符號
一	I	1	$\blacksquare$
二	II	2	$\blacksquare \blacksquare$
三	III	3	$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$
四	IV	4	$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare$
五	V	5	$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare$
六	VI	6	$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare$
七	VII	7	$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare$
八	VIII	8	$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare$
九	IX	9	$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare$

這就是最小的幾個自然數，為了書寫方便，我們以後都採用印度使用的符號（每個數字最多用兩筆就能寫完），它們被稱為阿拉伯數字^{[Chapter1- 1]}，這也是國際上通用的做法。當然，書寫的方便是有代價的，那就是我們需要記住這些數字的順序，也就是每個數字的下一個是什麼，如果畫方框就可以避免這個麻煩，所以我們的新符號似乎並不比方框更好，不過請相信我，一旦你熟悉了它們，你將會發現它們比方框好用得多，下面我們就先和這9個數字來交個朋友吧。

認識9以下的數

導言

我們在這一小節里先學習書寫這9個數字。

正文

有一首兒歌可以幫助我們記住它們怎樣書寫：

1像鉛筆細又長，

2像小鴨水上漂，

3像耳朵聽聲音，

4像小旗隨風搖，

5像衣鈎掛衣帽，

6像豆芽咧嘴笑，

7像鐮刀割青草，

8像麻花擰一道，

9像勺子能盛飯，

0像雞蛋做切糕。

數字	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
讀音
手寫體
聯想

TODO	編者待辦：「手寫體」的圖片待補充「聯想」的圖片待補充

關於最後一個數字0，我們前面沒有提到過，將在下一節介紹它。

課外擴展

要學會這些數字需要花一番功夫才行，下面我們再看看數字的其它形式

數字	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
漢字
電子屏幕上的數字
盲文	●○ ○○ ○○	●○ ●○ ○○	●● ○○ ○○	●● ○● ○○	●○ ○● ○○	●● ●○ ○○	●● ●● ○○	●○ ●● ○○	○● ●○ ○○	○● ●● ○○
手語

TODO	編者待辦：「零」可考慮換成簡寫的「手語」的圖片待補充

習題

讀出以下數字。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

9以下的數的加法

導言

我們已經認識了9以下的數字，這樣我們數數的時候不是

口->口口->口口口->口口口口

而是

1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 8 -> 9

當然我們也完全可以用別的符號，比如漢字，只要你記得住它們的順序就可以了，不過為了後面的方便，我們主要使用上面的1、2、3、4、5、6、7、8和9。記住了順序其實就是給出一個數，能夠知道它的下一個是什麼，比如我們數到3，再數下去就是4。所以每數一個數，我們就從這個數出發得到了另一個數，也就是它的下一個。這種從已知的數得到未知的數的過程稱為運算。我們只考慮那些每次得到一個新的數字的運算。

運算：從已知的數得到一個未知的數的過程.

像我們前面說的從一個數數到它的下一個數，就是一種運算，更準確的說，是一種一元運算。

一元運算：從一個已知的數得到一個未知的數的過程.

這一節我們將討論一種二元運算，也就是一種從兩個已知的數得到一個未知的數的過程。

二元運算：從兩個已知的數得到一個未知的數的過程.

如果你覺得自己被這些定義搞糊塗了，那麼別着急，我們可以先往下看，等學完這一節，你就清楚它們在說什麼了。

正文

還是讓我們先來看一個例子吧。假設爸爸買了一籃蘋果，媽媽也買了一籃蘋果。

爸爸
數數	1	2	3
媽媽
數數	1	2
一共
數數	1	2	3	4	5

你數一數爸爸的蘋果，發現有3個；你又數了數媽媽買的蘋果，發現有2個。如果你不關心是爸爸買的還是媽媽買的，那麼你可以重新數一遍，數完爸爸的3個蘋果之後別停下來，接着數媽媽的2個，這樣你就數到了5，一共有5個蘋果。也就是數到3之後再數2個數就數到了5，我們把它寫成

$3+2=5$

這裡" $+$ "叫作加號，讀作「加」；" $=$ "叫作等號，讀作「等於」。

為了說得更明白一些，我們可以回憶一下我們的方塊數字，爸爸有口口口個蘋果，媽媽有口口個蘋果，把口口口和口口放在一起就是口口口口口，我們把它寫成

口口口 $+$ 口口 $=$ 口口口口口

我們為了寫起來容易，把口口口寫成3，把口口寫成2，把口口口口口寫成5，也就是用阿拉伯數字來寫，就是上面的樣子了。我們再來看一個例子吧，小剛有3支鉛筆，小紅有2支鉛筆，他們一共有多少支鉛筆？

小剛
數數	1	2	3
小紅
數數	1	2
一共
數數	1	2	3	4	5

小剛有3支鉛筆，小紅有2支，放在一起數就是數到3時，再數2個數，就是5，所以一共有5個，即 $3+2=5$ 比較這兩個例子我們看到，不論是鉛筆還是蘋果，3個和2個放到一起，都是5個。所以不管數什麼我們都可以寫成 $3+2=5$ ，它的含義是數數數到3之後再數2個數得到5，也就是3個東西和2個東西放在一起一共有5個東西。這裡的東西可是蘋果，可以是鉛筆，可以隨便是什麼。

這種把兩個數放在一起得到一個新的數的過程就叫作加法。

加法：把兩個數放在一起得到它們一共是多少的運算

我們來看一個例子

例題
	題目: $4+3=?$ （4加3等於幾？）
	解答: 4加3就是先數到4，然後再數3個數，即5,6,7，所以 $4+3=7$
	O

課外擴展————數數與加法

這裡我們再討論一點數數與加法的關係。一個數加幾就是再它後面再數幾個數，所以學會了加法，我們可以數數數得更快些，比如我們熟悉了2+2=4，4+2=6，6+2=8，那麼我們在數數的時候就可以「兩個兩個的數」，這樣數起來就是2,4,6,8，假設有8支鉛筆，用4次就可以數完了。當然，你也可以三個三個的數。而數數就是一個一個的數，也就是每次加上1。實際上我們在數數時就學會了"+1"，它是最特殊的加法，然後我們又通過數數，也就是一個數加一，學會了兩個數相加的加法。

習題

計算：

$1+2=$
$3+5=$
$4+2=$
$5+4=$
$3+6=$
$7+2=$
$6+2=$
$7+1=$
$5+3=$

答案：

$3$
$8$
$6$
$9$
$9$
$9$
$8$
$8$
$8$

20以下的數

導言

前面我們已經學習了9以下的數，那麼數數數到9之後接着數下去是多少呢？如果用我們的方框數字，就是在9個方框後面再添一個方框，這樣當我們數很大的數的時候就會寫得很長很長，如果每個數字都用一個符號來代表（就像阿拉伯數字中的1-9），那樣雖然不會便得很長，但是每增加一個數字就要多認識一個，這也不方便。怎樣做才好呢？我們這一節就來學習。

正文

如果能重複使用數字就方便得多，所以9的下一個數我們還用1來表示，為了和真正的1區分，我們在1後面添一個新的符號0，就寫成10，讀作「十」。0表示個位上沒有數。它的下一個數字寫作11，讀作「十一」。11的後面是12,13,14...19。為了明確，我們列一個表

方框數字	口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口
阿拉伯數字	10	11	12	13	14
方框數字	口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口
阿拉伯數字	15	16	17	18	19

這種由兩個數字組成的數叫做兩位數，右面的叫作個位，左面的叫作十位。我們可以這樣理解：十位上的1代表10，個位上的數字是幾就是十位上的10後面再數幾個數，也就是10加幾。例如13就是10+3, 16就是10+6。

數到19，我們個位上的數字已經把上一小節學的9個數字都用完了，如果再數一個數呢，個位上的數字就要變成10，沒法用一位數寫出來了，這時，我們實際上有了2個10，十位上的1代表10，個位上也有一個10，那麼我們就在十位上寫2，代表這兩個10，個位上寫0，就可以了，這就是19後面的數字，也就是19+1，寫作20，讀作「二十」。

方框數字	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口
阿拉伯數字	20

課外擴展

古代的人最初是沒有0的，他們只是把個位空出來，但是這樣10就不容易和1區分（10寫作1 ），所以後來才發明了0，用來占位，雖然寫了一個0，但是這個寫出來的數字卻代表個位上什麼都沒有，這就是0的含義。有的教科書也把0作為一個自然數，你可以在數數前先數一個0，然後再從1開始數，不過多數人還是願意省下這個力氣，所以在這本書裡不把0看作自然數。事實上0是不是自然數並不重要，只要我們數相同的東西得到同樣的結果就可以了。關於0的更多內容，我們將在「整數」那一節作更詳細的介紹。

習題

加法的交換律

導言

前面我們學習了20以內的加法，我們做加法的方法就是數數。加法還有一些很重要的規律，掌握了這些規律可以讓我們算得更快，我們這一節就來介紹一條規律——加法的交換律。下一小節介紹加法的結合律。

正文

我們先來再來看看蘋果的例子。要知道爸爸和媽媽一共買了多少個蘋果，就是把他們的蘋果放到一起，然後數數有多少個，可以先數爸爸的，也可以先數媽媽的。

爸爸
數數	1	2	3
媽媽
數數	1	2
一共（第一種數法）
數數	1	2	3	4	5
一共（第二種數法）
數數	1	2	3	4	5

重要的是

數一些東西的時候，不管用什麼方法、什麼順序去數，得到的結果都相同。

這是數學裡常常用到的規律，我們以後還會遇見它。對於上面數蘋果的例子，就可以得到 $3+2=2+3$ 。這裡等號表示它兩邊的計算結果相同。如果是4+5呢？那就相當於在問把4個方框和5個方框放在一起是幾個，你也可以先數4個方框再數5個方框，也可以先數5個方框再數4個方框，也就是 $4+5=5+4$ 。對於其它的數字相加也一樣，所以我們有下面的規律，叫作加法的交換律

加法的交換律：交換兩個相加的數的位置，和不變。

舉一些例子來寫：

$2+6=6+2$

$3+8=8+3$

$9+4=4+9$

$5+5=5+5$

$7+9=9+7$

……

為了表示所有這些等式，我們用兩個字母A和B來代替等式里的數字，寫作

加法的交換律： $A+B=B+A$

這裡A和B可以是任何數字，左邊的A和右邊的A要相同，左邊的B也要和右邊的B相同，A和B既可以相同也可以不同。這種用字母表示數的方法更簡單直觀，我們今後將儘量使用這種方法說明運算的規律。

例題
	題目: 求 $5+2$
	解答: $5+2=2+5=7$
	O

TODO	編者待辦：具體的計算例子待補充

習題

加法的結合律

導言

前面我們討論了兩個數相加的運算，這一節我們將討論3個數相加的規律——加法的結合律。我們先介紹複合運算的順序和括號，再介紹加法的結合律。

正文

假設小剛有3支鉛筆，小紅有2支鉛筆，小亮有1支鉛筆，他們一共有多少鉛筆呢？我們可以這樣計算，先把小剛和小紅的鉛筆放到一起，比如放在老師手裡，有3+2=5支鉛筆，再考慮老師和小亮一共有多少鉛筆，就是5+1=6支鉛筆，所以小剛、小紅和小亮一共有6支鉛筆。這裡我們計算了兩次：

$3+2=5$

$5+1=6$

為了書寫簡單一點兒，我們把這個計算過程寫在一起，寫成下面的樣子

$(3+2)+1=5+1=6$

其中(和)叫做小括號，括號總是成對出現的，放在括號裡面的部分作為一個整體去參與其它的運算，所以括號里的部分要先計算。例如上面的例子中括號裡面的3+2要先計算出結果5再去和後面的1相加。

TODO	編者待辦：更多的例子待補充

應用我們前面講到的規律，把三份東西放到一起去數總可以先數其中兩個，所得的總數不變。下面我們再用方框數字舉一個例子，來形象的說明這個道理

	(口口口口口口口口口)口口口口口口口
$=$	口口口口口口口口口口口口口口口口
$=$	口口口口口(口口口口口口口口口口口)

用阿拉伯數字寫出來就是(5+4)+7=5+(4+7)，其它數字的加法也是類似的，因此有

加法的結合律： $(A+B)+C=A+(B+C)$

跟加法的交換律一樣，這個用字母表示的式子的意義是：把每個字母都換成一個數字，並且相同的字母換成相同的數字，不同的字母既可以換成相同的數字，也可以換成不同的數字，那麼等式總是成立的。

例如，把A換成5，B換成4，C換成7，就是我們前面所寫的式子。又如把A換成3, B換成4， C換成9，那麼上面的式子就表示 $(3+4)+9=3+(4+9)$ 。

可以驗證一下這個等式：左邊 $=(3+4)+9=7+9=16$ ，右邊 $=3+(4+9)=3+13=16$ ，可見左右兩邊確實是相等的。

有時候應用加法的交換律和結合律可以讓我們的計算更簡便，我們來看一個例子：

例題
	題目: 求 $(7+4)+6$
	解答: $(7+4)+6=7+(4+6)=7+10=17$
	O

習題

20以下的數的減法

導言

已知小剛有A個蘋果，小紅有B個蘋果，我們就可以算出他們一共有A+B個蘋果。反過來，如果小剛有C個蘋果，分給小紅D個蘋果，小剛還剩多少蘋果呢？這時就需要減法。我們這一小節就來學習減法，並討論它和加法的關係。

正文

我們還是來看一個具體的例子吧。假設你有7個蘋果，送給朋友3個，你自己還剩幾個呢？我們至少有兩種辦法可以算出你還剩幾個蘋果。下面我們分別來討論。

第一種方法。回憶我們做加法的辦法，我們可以先練習倒着數數，像這樣10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1。我們從7開始，每拿走一個蘋果就倒着數一個數，這樣，拿走3個蘋果，我們就數6, 5, 4，所以還剩4個蘋果。

第二種方法。我們可以這樣想，如果朋友把那3個蘋果拿回來，你自己就又有7個蘋果了，所以我們把你自己剩下的蘋果和你送給朋友的3個蘋果加起來就是你原來的7個蘋果，因此我們只要知道3+?=7就可以了。於是我們可以從3開始數數，4, 5，6，7，數到7時數了4個數，所以你還剩4個蘋果。

TODO	編者待辦：更多例子有待補充

我們把這種從一個數里拿走一部分，求剩下多數的運算叫做減法。

減法：這種從一個數里拿走一部分，求剩下多數的二元運算

從上面的第二種方法我們還可以知道，減法也是已知一個加數與和，求另一個加數的運算，因此我們說減法是加法的逆運算。

我們來看一道例題

例題
	題目: $14-5=?$
	解答: 從14起倒着數5個數，是13, 12, 11, 10, 9，所以 $14-5=9$ 。
	O

也可以這樣做

例題
	題目: $14-5=?$
	解答: 原題就是問 $5+?=14$ ， $5+1=6$ ， $5+2=7$ ， …… $5+9=14$ , 所以 $14-5=9$ 。
	O

對於20以內的加減法的結果，我們需要熟記，以後要經常用到它們。

習題

數的運算在生活中的應用

導言

正文

習題

100以下的數

導言

前面我們認識了20以下的數，並學習了20以下的數的加減法，這些是以後學習的基礎。那麼比20更大的數呢？這一節我們將認識100以下的數，並討論它們的加減法，下一節我們將介紹一位數的乘法。現在讓我們向比20更大的數進軍吧。

認識100以下的數

導言

這一小節，我們先來認識100以下的數。

正文

前面我們學習了20以下的數。（更準確的說我們介紹了20以下的阿拉伯數字的寫法，其實如果用我們最初的方框數字，這些都很容易，只要在一個數的後面添一個方框就是它的下一個數了。不過我們的阿拉伯數字要簡潔得多，這一點的優勢後面會看得更清楚。）那麼20的下一個是什麼呢，類似於10的下一個數記作11，我們把20的下一個數記作21，讀作「二十一」，接下去是22, 23, 24, 25..., 29, 30, 31, 32, ...讀作「二十二」，「二十三」，「二十四」，「二十五」……「二十九」，「三十」，「三十一」，「三十二」……十位上的數字是幾就讀幾十，個位上的數字是幾就讀幾，0不讀。

看一看這些符號和我們的方框數字的關係可能會有助於理解。

方框數字	口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口
阿拉伯數字	11	12	13	14	15
方框數字	口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口
阿拉伯數字	16	17	18	19	20
方框數字	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口
阿拉伯數字	21	22	23	24	25
方框數字	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口
阿拉伯數字	26	27	28	29	30
方框數字	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口
阿拉伯數字	31	32	33	34	35
方框數字	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口
阿拉伯數字	36	37	38	39	40

阿拉伯數字的十位對應方框數字有多少個整行（每行10個方框），即代表有幾個10，個位代表除去整行還剩下多少，這樣我們就可以一直數下去，直到99，99就是9個10零9個，再加1呢，就是10個10，所以在十位寫10，個位上沒有，寫0，即100，讀作「一百」。

習題

100以下的數的加法

導言

前面我們學習了20以內的數的加減法，又認識了100以內的數，那麼100以內的數的加減法你會做嗎？當然你也可以照樣用我們原來的辦法，通過數數來計算，不過如果計算33+62這樣的加法，數起數來就不大方便了，實際上我們有更好的辦法，這一小節就來學習100以內的加減法。

正文

我們的方框數字做加法是最方便的，因為只要把兩個數的方框放在一起就可以了，我們就先來看一個例子： $20+30=?$ 用我們的方框數字可以這樣計算：

口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	+	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	=	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口

要知道和是多少，就要數一數最右邊有多少個方框。每行有10個，被加數有2行，加數有3行，所以一共是2+3=5行，所以和是5個10即50。類似的我們還可以算出30+40=70, 20+60=80, 等等。

那麼不是整十的數怎樣算呢，我們再來看一個例子： $25+31=?$ 用我們的方框數字可以這樣計算：

口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	+	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口	=	口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口

先數整行，被加數有兩個整行，加數有三個整行，加起來有2+3=5個整行，是50。再數剩下的部分，被加數的個位是5，加數是1，所以剩下的是5+1=6。把兩者放在一起就是最後的結果56。

我們實際上利用了前面學過的加法的交換律和結合律來幫忙。明顯的寫出來就是

例題
	題目: $25+31=?$
	解答: $25+31=(20+5)+(30+1)=(20+30)+(5+1)=50+6=56$
	O

例題
	題目: $13+24=?$
	解答: $13+24=(10+3)+(20+4)=(10+20)+(3+4)=30+7=37$
	O

TODO	編者待辦：更多例子待補充

從上面的例子我們可以總結出兩位數的加法法則

兩位數相加，就是把個位和十位分別相加，個位的和滿10就向十位進1。

為了書寫明確，我們可以在計算時列豎式書寫，例如：

例題

題目: 列豎式計算

25+37=?

解答:

		25
+		37
1
		62

O

TODO	編者待辦：關於豎式的更多說明待補充

習題

$36+11=$ ？

答案： $47$

100以下的數的減法

導言

正文

例題

1

計算

36-11

的值。

解

我們可以分別計算出

3-1=2

，

6-1=5

故可得出 $36-11=25$
或是我們也可以列豎式計算

${\begin{aligned}{36}\\{\underline {-11}}\\{25}\end{aligned}}$

故得到 $36-11=25$

例題

2

計算

36-11-11

的值。

解

同樣的，我們可以分別計算出

3-2=1

，

6-2=4

故可得出 $36-11-11=14$
或是我們也可以列豎式計算

${\begin{aligned}{36}\\{11}\\{\underline {-11}}\\{14}\end{aligned}}$

故得到 $36-11-11=14$

習題

$66-11=$ ？
$80-73=$ ？

答案：

$55$
$7$

乘法與除法

導言

前面我們學習了100以內的數的加法與減法兩種運算，下面我們將學習兩種新的運算——乘法與除法，這一小節我們先學習一位數和一位數的乘法，並以此為例子，介紹乘法的運算規律，最後介紹除法。對於更大數字之間的乘法和除法我們留待認識多位數之後介紹。

什麼是乘法呢？乘法就是求幾個相同加數的和的運算。

乘法：乘法就是求幾個相同加數的和的運算。

這樣說起來可能太抽象了，我們還是從具體的例子說起吧。下面的圖裡一共有多少條魚呢?

你當然可以用數數的辦法，把結果數出來，你會發現有15條魚。如果你觀察一下，還會發現，每一行都有5條魚，所以一共有5+5+5=15條魚，用這種辦法只要數出一行有多少條魚（5條），在數出有多少行（3行），然後把這3個5加起來就行了。如果有8行呢，那就是5+5+5+5+5+5+5+5，實際生活中，我們經常會遇到這樣的情況，為了方便，我們不把加法寫的這樣長，而發明一種新的符號來代表相同的意思，我們把8個5相加寫成 $5\times 8$ ， $\times$ 叫做乘號，上面的式子讀作"五乘以八「。

一位數和一位數的乘法

導言

和加法一樣我們先學習一位數和一位數的乘法。

正文

既然乘法就是求幾個相同加數的和，我們可以像前面的例子那樣，通過加法計算乘法，計算的結果列成一個乘法表，如下所示。

1	$1\times 1=1$
2	$1\times 2=2$	$2\times 2=4$
3	$1\times 3=3$	$2\times 3=6$	$3\times 3=9$
4	$1\times 4=4$	$2\times 4=8$	$3\times 4=12$	$4\times 4=16$
5	$1\times 5=5$	$2\times 5=10$	$3\times 5=15$	$4\times 5=20$	$5\times 5=25$
6	$1\times 6=6$	$2\times 6=12$	$3\times 6=18$	$4\times 6=24$	$5\times 6=30$	$6\times 6=36$
7	$1\times 7=7$	$2\times 7=14$	$3\times 7=21$	$4\times 7=28$	$5\times 7=35$	$6\times 7=42$	$7\times 7=49$
8	$1\times 8=8$	$2\times 8=16$	$3\times 8=24$	$4\times 8=32$	$5\times 8=40$	$6\times 8=48$	$7\times 8=56$	$8\times 8=64$
9	$1\times 9=9$	$2\times 9=18$	$3\times 9=27$	$4\times 9=36$	$5\times 9=45$	$6\times 9=54$	$7\times 9=63$	$8\times 9=72$	$9\times 9=81$
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

如果你仔細觀察一下，就會發現，這張表右上方的部分是空的，那是因為乘法也跟加法一樣有交換律和結合律，只要記住了表上的乘法就可以輕鬆的把空出來的部分補齊。關於乘法的交換律和結合律我們留到下一小節在討論。就像一位數跟一位數的加法一樣，一位數跟一位數的乘法是以後計算的基礎，因此我們需要熟記這些乘法的結果，為了便於記憶，我們可以背誦下面的乘法口訣歌，歌訣的意思跟上面的乘法口訣表是對應的。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	一一得一									1
2	一二得二	二二得四								2
3	一三得三	二三得六	三三得九							3
4	一四得四	二四得八	三四十二	四四十六						4
5	一五得五	二五一十	三五十五	四五二十	五五二十五					5
6	一六得六	二六十二	三六十八	四六二十四	五六三十	六六三十六				6
7	一七得七	二七十四	三七二十一	四七二十八	五七三十五	六七四十二	七七四十九			7
8	一八得八	二八十六	三八二十四	四八三十二	五八四十	六八四十八	七八五十六	八八六十四		8
9	一九得九	二九十八	三九二十七	四九三十六	五九四十五	六九五十四	七九六十三	八九七十二	九九八十一	9
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

課外擴展

關於乘號。

現在過去的乘號有不同的寫法，有的不寫，有的用一個字母代替，有的寫成一個圓點，我們這裡介紹的乘號是英國數學家奧特雷德發明的。因為乘法跟加法有密切的關係，他把加號「＋」旋轉了45度，變成 $\times$ 作為乘號，並流傳開來。

在計算機的鍵盤上，通常沒有 $\times$ ，絕大多數計算機語言使用"*"作為乘號，例如用5*8表示 $5\times 8$ 。

習題

乘法的交換律與結合律

導言

和加法的交換律與結合律類似，乘法也有交換律跟結合律，這一節我們就來學習它們。

正文

前面我們用不同的方法數同樣的一堆物品而得到了加法的交換律與結合律，這一小節我們還要用類似的方法來得到乘法的交換律與結合律。我們在引入乘法時舉了一個數魚的例子，事實上，我們不但可以按行數，還可以按列來數，不管怎樣數，如下圖所示得到的都是魚的總數，所以

第一種方法，每行有5條，共3行，所以一共有 $5\times 3$ 條魚第二種方法，每列有3條，共5列，所以一共有 $3\times 5$ 條魚或者用我們的方框數字寫出來就是

	口口口口口 $\times$ 口口口
$=$	口口口口口
	口口口口口
	口口口口口
$=$	口口口口口口口口口口口口口口口
$=$	口口口	口口口	口口口	口口口	口口口
$=$	口口口 $\times$ 口口口口口

所以我們可以得到 $5\times 3=3\times 5$

TODO	編者待辦：更多的例子待補充

從上面的例子我們可以總結出、

乘法的交換律: $A\times B=B\times A$

類似的我們還可以得到乘法的結合律，例如考慮 $(5\times 3)\times 4$ ，用方框數字可以寫成下面的樣子

	口口口口口 $\times$ 口口口 $\times$ 口口口口
$=$	口口口口口口口口口口口口口口口
	口口口口口口口口口口口口口口口
	口口口口口口口口口口口口口口口
	口口口口口口口口口口口口口口口

我們如果先數表格的每一格，每行有5個方框，共有3行，所以有 $5\times 3$ 個方框，一共有這樣的4格，所以一共有 $(5\times 3)\times 4$ 個方框。我們還可以先數整個表格一共有多少行，因為每一格有3行，共4格，所以一共有 $3\times 4$ 12行，每行有5個方框，所以一共 $5\times (3\times 4)$ 個方框。根據我們前面反覆使用的規律，不管怎樣數，方框的數目都是一樣多，所以 $(5\times 3)\times 4=5\times (3\times 4)$ 。上面的方法跟具體是每行有5個方框還是6個還是7個……都沒有關係，跟每個方格里有3行還是4行還是5行……也沒有關係，跟整個表格有4格還是5格還是6格……也沒有關係，所以我們可以總結出下面的規律

乘法的結合律: $(A\times B)\times C=A\times (B\times C)$

適當的應用乘法的交換律和結合律有時會給我們的計算帶來方便，例如

例題
	題目: $(2\times 4)\times 5=?$
	解答: $(2\times 4)\times 5=(4\times 2)\times 5=4\times (2\times 5)=4\times 10=40$
	O

課外擴展

乘法表示幾個相同的數相加，那麼幾個相同的數相乘呢，我們也可以用一種新的符號來表示，例如: $3\times 3\times 3\times 3=3^{4}$

習題

乘法對加法的分配律

導言

前面我們學習了加法的交換律與結合律、乘法的交換律與結合律，那麼加法和乘法之間有沒有什麼規律呢？的確有，這一小節我們就來學習加法和乘法之間的規律——乘法對加法的分配律。

正文

我們還是看一個數數的例子，這裡畫的是魚，當然，和前面的例子一樣，換成別的什麼或者我們的方框數字，都是類似的。

圖里一共有多少條魚呢？我們可以有兩種不同的數法，一種是先數每一行有 $5+2$ 條魚，再數一共有 $3$ 行，所以，共有 $(5+2)\times 3$ 條魚。我們還可以換一種方法，先數左邊，有 $5\times 3$ 條魚，再數右邊，有 $2\times 3$ 條魚，所以一共有 $5\times 3+2\times 3$ 條魚。用不同的數法，魚的總數不變，所以 $(5+2)\times 3=5\times 3+2\times 3$ ，換成其它的數字也是類似的，因此我們有

乘法對加法的分配律: $(A+B)\times C=A\times C+B\times C$

根據加法的交換律和乘法的交換律，我們還可以得到乘法分配律的另一種形式

乘法對加法的分配律: $C\times (A+B)=C\times A+C\times B$

習題

帶餘數的除法

導言

除法不可能都除盡，餘下來的叫「餘數」。

正文

這次我們學到了一個新的詞語：餘數但是，餘數是什麼呢？

餘數：整數除法中被除數未被除盡部分

雖然說起來感覺十分深奧，但是我們用例子來表現一下什麼是餘數：

這裡有 $36$ 條魚，我們要把它們分給 $5$ 個人，怎麼分呢？我們就用到了除法，我們用 $36/5=7$ ，得到個與它 $36$ 相近的一個數 $5\times 7=35$ ,但是我們還剩了一條魚，即沒法分給5個人，也不能把它分開，只好把那條魚作為餘下來的一條，也就是餘數 $1$ ，所以，我們就得到了答案： $36/5=7\cdots 1$ ，亦可以以減法的方式解題，連續用5去減36七次，得 $36-5-5-5-5-5-5-5=1$ ，即得餘數1。

習題

請解答以下幾道題：

$13\div 11=$
$7\div 3=$
$7\div 11=$
$16\div 13=$
$66\div 5=$
$97\div 99=$

答案：（取整數）

$1$
$2$
$0$
$1$
$13$
$0$

更大的數

導言

前面我們識了100以內的數，並學習了加、減、乘、除，四種運算。這一小節我們將介紹更大的數，以及它們的運算。

認識多位數

導言

這一小節我們來學習100以上的數的讀法和寫法。

正文

我們先來回憶一下兩位數的寫法。我們數數數到9以後，接下來的數字不再發明新的符號，就用一個兩位數10來表示，然後每數一個數就在個位上增加1，即11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19，可以這樣理解11就是10+1，12就是10+2，13就是10+3……，19就是10+9，再繼續數就要遇到10+10即 $10\times 2$ ，我們在十位上寫2表示2個10，即 $20=10\times 2$ 。數到99以後，我們再數下去個位上變成10，所以在十位增加1，個位寫0，9＋1＝10，所以十位上寫10，也就是說變成了一個3位數，100。基本的規則是，每當某一位上的9還需要加1時，就把它改成0，並在比它更高的一位上加1，這叫做「逢十進一」。一個多位數從右向左依次叫做個位、十位、百位、千位、萬位……跟書寫類似，我們不想為每一位都起個新名字，接下來叫做十萬位、百萬位、千萬位。千萬位之後是億位，接下來是十億位、百億位、千億位、萬憶位、十萬億位、百萬億位、千萬億位。

1、讀法原則按照四位分級的原則，我國的讀數法則是：

⑴四位以內的數，按照數位順序，從高位讀起。

⑵四位以上的數，先從右向左四位分級，然後從最高級起，依次讀億級、萬級、個級。讀出各級里的數和它們的級名。億級里的數，按照個級的數的讀法來讀，再在後面加上一個「億」字；萬級里的數，按照個級的數的讀法來讀，再在後面加上一個「萬」字。

⑶每級末尾不管有幾個「0」，都不讀；其他數位上有一個「0」或幾個「0」，都只讀一個零。

2、要點

⑴讀數的時候，從高位開始，一級一級地讀。讀億級、萬級時，按個級的讀法讀，只要在後面加讀一個「億」或「萬」字。

⑵數中間有1個0，或連續有幾個0，只讀一個零。

如：

⑴2的27次方等於134217728，其讀法為「一億三千四百二十一萬七千七百二十八」。

⑵多位數加減算讀法，如：

70238＋70074＝140312，

其讀法為「七萬零兩百三十八加七萬零七十四等於十四萬零三百一十二」。

⑶小數點以後的位數只讀數字，如：

634.608，其讀法為「六百三十四點六零八」。

TODO	編者待辦：多位數的讀法待補充

課外擴展

實際上我們很少會用到萬以上的數字，當數字很大時，使用科學計數法會方便得多，例如100000寫成 $1\times 10^{5}$ ，40000000寫成 $4\times 10^{7}$ 。這裡只是個非常粗略的描述，具體怎樣使用科學計數法，要在學習了小數之後才能詳細介紹。

習題

多位數的加減法

導言

正文

習題

多位數的乘法

導言

正文

課外擴展

中國古代沒有豎式，各種運算是用算籌幫助完成的，例如 $38\times 76=2888$ 是如下圖那樣計算的

習題

多位數的除法

導言

正文

習題

本章習題參考答案

本章註腳

↑ 這個名稱可能有一點兒古怪，那是因為印度的數字是經由阿拉伯傳播開去的，這種名不副實的現象在數學裡還有很多，所以也有稱作印度·阿拉伯數字。

[1] 這個名稱可能有一點兒古怪，那是因為印度的數字是經由阿拉伯傳播開去的，這種名不副實的現象在數學裡還有很多，所以也有稱作印度·阿拉伯數字。

[Chapter1- 1]