基础数学

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教科书总是针对特定的读者的，而并非越艰深、越详尽就越好，本书假定读者没有任何数学基础，介绍一些数学的基础知识及简单的应用，针对的读者主要是自学的成人和有家长指导的儿童，所以我们使用的语言将适当贴近但不限于儿童能够理解的范围。关于本书的格式，请参考格式指南。

自然数

自然数是表示数量的数。如1,2,3……自然数包括所有非负整数。自然数有无数个,自然數不包括0.

质数与合数

质数也叫素数，就是除本身和1以外没有其他任何因数。合数就是除本身和1以外有至少还有1个因数。 0是加法基本元素，1是乘法基本元素，既不是质数也不是合数。

分数

參見：初中數學/算則觀念/分數

认识分数

导言

表述一个数的一部分要用到分数。我们平时说话，会用到“半”这个字，比如：小红刚刚吃了“半”个苹果，小明喝了“半”杯水，6个月是“半”年，30分钟是“半”小时。如果我们仔细再读一读这几句话，就会发现，这些“半”的后面都跟了一个“整”的东西，对于小红来说，这个“整”的东西就是一个苹果，对于小明，这个“整”的东西就是一杯水，在第3和第4个例子中，这个整的东西分别是一年和一小时。以上几个例子中，我们都是把那个“整”的东西平均分成2份，其中的1份叫做它的一半，这个“半”在数学里用 ${\frac {1}{2}}$ 表示，读作“二分之一”。

正文

跟上面的例子类似，如果我们把一个“整”的东西平均分成3份，其中的1份就叫作它的“三分之一”，写作 ${\frac {1}{3}}$ 。如果我们把一个“整”的东西平均分成4份，其中的一份就叫作它的“四分之一”，写作 ${\frac {1}{4}}$ 。我们还是看几个具体的例子吧。

像上图那样，把一个圆平均分成3份，每一份就叫这个圆的“三分之一”。

习题

小明有1個蘋果，他把蘋果切開平均分給5個人，每個人獲得一個蘋果的多少？

分数的基本性质

数的分子和分母同时乘或者除以相同的数或分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数「0除外」分数的大小不变。

分数的加减法

分母相同，分子不同的兩個分數相加：分母不動，分子相加，得出結果。分母不同的两个分数先通分，再计算

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}

，

{\frac {3}{2}}-{\frac {3}{4}}={\frac {6-3}{4}}={\frac {3}{4}}

分数的乘除法

任意兩個分數相乘，分子和分子相乘，分母和分母相乘，再化簡得出結果。

任意兩個分數相除，將作為除數的分數變為其倒數（即分子、分母顛倒），將除號變為乘號，做乘法，得出結果。

{\frac {4}{3}}\times {\frac {27}{11}}={\frac {4}{1}}\times {\frac {9}{11}}={\frac {36}{11}}

分数的四則運算

{\frac {4}{3}}\times {\frac {27}{11}}-1={\frac {4}{1}}\times {\frac {9}{11}}-1={\frac {36}{11}}-{\frac {11}{11}}={\frac {36-11}{11}}={\frac {25}{11}}

几何

平面图形

导言

你会画画吗？也许你会说：“会！爸爸妈妈都夸我画得好！”那么，你都会画什么呢？你也许又说：“房子，西瓜，花，书，山……我都会！”但是，你知道你画的这些东西都是由什么构成的吗？如果你还不是特别清楚，那么就接着往下看吧！

我们来看一个关于平面图形的例子吧：找来一个茶叶筒和一盒饼干，把它们放在纸上，再用铅笔把底部描在纸上，你看到了什么？对啦！一些由铅笔画出的线条构成的图形，这两个图形就被称做平面图形，因为这些线条都在一个平面——“一张纸”上，没有飞到你的鼻子上或是钻进地里。因此，我们说

平面图形：所表示的各个部分都在同一平面内的图形被称为平面图形。

这里面说的“平面”你应该十分了解了吧！以后，我们说的“平面”都指的是“一张纸”或——更准确点——“电脑屏幕（因为你正在看的是屏幕而不是纸）”。

图形的分类

别急着拿出你的蜡笔给刚才的图形涂色！先观察一下这些图形吧。一个圆圆的，“没棱没角”；一个方方的，看着很规矩。（在这里，我们假设你描得很好。周围假如有一些出头的地方就不用管了。）那个圆圆的图形，我们把它叫做“圆形”，或者就叫“圆”。而那个方方的，我们要叫它“多边形”。这是一个新名词，你仔细想一下就可以大概理解：它由一些直的线条（我们叫“边”）组成，而且它有好几条“边”，因此它才得名“多边形”。要记住：“圆”的样子和你所画出的都一样,只是大小不同；而“多边形”就大不一样了，你看到的只是其中一种，其他还有好多种呢！下面，我们来给出这两个图形的定义：

圆：由曲线构成的、看起来非常匀称完美的平面图形.

多边形：由几条直边首尾相连构成的平面图形.

既然多边形有好多种，那你画出的图形应该有个更确切的名字。来为它起个名吧！首先，他方方的，那他应该叫“方形”；然后再看，他长长的，应该再加个“长”字，变成“长方形”。好！你的图形有了他的名字：长方形。我们还有一种方式来叫他：“矩形”。起这个名字是因为他是看起来很规“矩”的图“形”。以后，你就可以用这两个新名字来称呼他了！

另外，除了根据形状的特点来起名，我们还可以根据“边”的数量来命名。像长方形，我们也可以叫他“四边形”。你大概能猜出来“四边形”像“多边形”一样，不单单指长方形，还包括其他的图形。同时，我们也可以根据“角”的数量命名，长方形此时应该叫“四角形”（当然啦，平时几乎没人这么叫）。

线

导言

看一下你画的正方形的一边，是由什么组成的？再看一下圆？

线构成多边形，有直和曲的两种。

在生活中，你可能看过激光、高速公路以及尺子，它们在数学里叫做什么呢？你知道吗？

正文

代數

用字母表示数

导言

我们先来看一首儿歌吧：

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通扑通跳下水。

两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通扑通跳下水。

三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿，扑通扑通跳下水。

四只青蛙四张嘴，八只眼睛十六条腿，扑通扑通跳下水。

……

如果我要想知道 $5$ 只青蛙有多少张嘴的话该怎么办呢？我们可以把这首儿歌接着说下去：

……

五只青蛙五张嘴，十只眼睛二十条腿，扑通扑通跳下水。

……

这样就得到了我们想要的结果。但是，如果我想知道一百只青蛙有多少张嘴，或者一群我们不知道数目青蛙的嘴有多少的时候，该怎么办呢？本节，我们将会告诉你一种更方便的方式。

正文

我们回到数青蛙的问题上。如果我们不使用数字，而是用字母来代替数字的话，会是怎样的呢？或者说，用一句话来表示这首儿歌？

例题
	题目: 用一句话来表示刚才的这首儿歌
	解答: $?$ 隻青蛙 $?$ 张嘴，2×?只眼睛4×?条腿，扑通扑通跳下水用代數表示： $n$ 只青蛙 $n$ 张嘴， $2n$ 只眼睛 $4n$ 条腿，扑通扑通跳下水
	O

你可以看到，一首长到没有边儿的儿歌，就这样用一句话“清爽”地概括了！这句话中的 $n$ 可以代替任何数（严格的讲，这里指自然数，也就是0和正整数），不管它是一只、两只，亦或是4只、8只、19048330只。而答案裡的 $2n$ 和 $4n$ 就分別代表了「2×n」和「4×n」，只是使用代數來表示的時候，我們一般習慣將×乘號省略掉。这说明，用字母表示数是一种非常有用的、有“普适性”的解决问题方式（“普适性”你可能不太理解，大概的意思是：“在许多地方都可以被用到”）。以后，这种方式将成为我们的解题好朋友，帮助我们省下不少的时间。

习题

计算十只青蛙有几条腿（要求：先用你学到的新方法表示，再计算出数量）。

答案：十只青蛙有40条腿( $4n$ )。

方程

正文

现在，你已经懂得怎样用字母表示数了。那么我们来看一道小题，检验你的学习成果。

例题
	题目: 小明有6个苹果，吃掉三个，问：小明还有几个苹果？
	解答: ……
	O

你可能在笑了。哎呀！这题这么简单，我早就会啦！再说，这和用字母表示数有什么关系呢？别急，让我们来比较一下你的做法和新做法的区别：

你的方法：

例题
	题目: 小明有6个苹果，吃掉三个，问：小明还有几个苹果？
	解答: $6-3=3$ (个)
	O

新做法：

例题
	题目: 小明有6个苹果，吃掉三个，问：小明还有几个苹果？
	解答: 用英文字母表示小明现在的苹果数量假设它有 $?$ 苹果（用字母表示成 $x$ ），由题意得 $?=6-3$ （字母表示 $x=6-3$ ）， $6-3=3$ ，解得 $?=3$ （ $x=3$ ）
	O

再来一题试试

例题
	题目: 葡萄和苹果共有36个，苹果有11个，问：葡萄有几个？
	解答: ……
	O