逻辑通路/垂心公式

你必须先知道：逻辑通路/向量内积、分点公式、三角形投影公式

垂心座标 假设 ${\vec {a}}={\overrightarrow {BC}},{\vec {b}}={\overrightarrow {CA}},{\vec {c}}={\overrightarrow {AB}}$ 则 $H={\frac {\alpha A+\beta B+\gamma C}{\alpha +\beta +\gamma }}$ 其中 ${\begin{matrix}\alpha =({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\\\beta =({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})({\vec {b}}\cdot {\vec {a}})\\\gamma =({\vec {c}}\cdot {\vec {a}})({\vec {c}}\cdot {\vec {b}})\end{matrix}}$

我们知道 △ABC 的重心座标计算公式是：

${\frac {A+B+C}{3}}$

内心座标计算公式是：

${\frac {aA+bB+cC}{a+b+c}}$

那么如果我们知道 A、B、C 的座标的话，垂心座标又该如何计算呢？从右图中，我们可以看出来：F 是 A、B 的分点，H 是 F、C 的分点，所以我们打算利用“分点公式”来计算 H 的座标。

假设

$a={\overline {BC}},b={\overline {CA}},c={\overline {AB}}$

首先我们先计算 ${\overline {AF}}$ 与 ${\overline {FB}}$ 的量:

因为

${\frac {\overline {AF}}{\overline {AC}}}=\cos A$

所以

${\overline {AF}}={\overline {AC}}\cos A=b\cos A$

同理，因为

${\frac {\overline {FB}}{\overline {CB}}}=\cos B$

所以

${\overline {FB}}={\overline {CB}}\cos B=a\cos B$

注释：