邏輯通路/三角形投影公式

你必須先知道：三角函數的定義

投影公式 在 △ABC 中，若設三邊長為： $a={\overline {BC}},b={\overline {CA}},c={\overline {AB}}$ 則： ${\begin{cases}a=b\cos C+c\cos B\\b=c\cos A+a\cos C\\c=a\cos B+b\cos A\end{cases}}$

證明

我們將說明為甚麼 $a=b\cos C+c\cos B$，至於其他兩個公式，因為證法一樣，所以就不再重複了。

在上圖中，${\overline {AD}}\perp {\overline {BC}}$，因此

${\frac {\overline {BD}}{c}}=\cos B\Rightarrow {\overline {BD}}=c\cos B$

${\frac {\overline {DC}}{b}}=\cos C\Rightarrow {\overline {DC}}=b\cos C$

所以

$a={\overline {BD}}+{\overline {DC}}=c\cos B+b\cos C$

其他情況

（圖二）$\angle B$ 是鈍角，$\angle C$ 是銳角

（圖三）$\angle B$ 是銳角，$\angle C$ 是鈍角

當然三角形也可能呈現如右圖二或右圖三的情況，但並不影響本公式的正確性。以下我們只討論（圖二）的情況： 在（圖二）中，

$c\cos B=-{\overline {BD}}$

$b\cos C={\overline {CD}}$

因此

$b\cos C+c\cos B={\overline {CD}}-{\overline {BD}}={\overline {BC}}$

所以本公式又再一次得到驗證。

分點公式

$D={\frac {(b\cos C)B+(c\cos B)C}{a}}$

其他證法

利用「餘弦定理」證明