逻辑通路/三角形投影公式

你必须先知道：三角函数的定义

投影公式 在 △ABC 中，若设三边长为： $a={\overline {BC}},b={\overline {CA}},c={\overline {AB}}$ 则： ${\begin{cases}a=b\cos C+c\cos B\\b=c\cos A+a\cos C\\c=a\cos B+b\cos A\end{cases}}$

证明

我们将说明为什么 $a=b\cos C+c\cos B$，至于其他两个公式，因为证法一样，所以就不再重复了。

在上图中，${\overline {AD}}\perp {\overline {BC}}$，因此

${\frac {\overline {BD}}{c}}=\cos B\Rightarrow {\overline {BD}}=c\cos B$

${\frac {\overline {DC}}{b}}=\cos C\Rightarrow {\overline {DC}}=b\cos C$

所以

$a={\overline {BD}}+{\overline {DC}}=c\cos B+b\cos C$

其他情况

（图二）$\angle B$ 是钝角，$\angle C$ 是锐角

（图三）$\angle B$ 是锐角，$\angle C$ 是钝角

当然三角形也可能呈现如右图二或右图三的情况，但并不影响本公式的正确性。以下我们只讨论（图二）的情况： 在（图二）中，

$c\cos B=-{\overline {BD}}$

$b\cos C={\overline {CD}}$

因此

$b\cos C+c\cos B={\overline {CD}}-{\overline {BD}}={\overline {BC}}$

所以本公式又再一次得到验证。

分点公式

$D={\frac {(b\cos C)B+(c\cos B)C}{a}}$

其他证法

利用“馀弦定理”证明