接下来的内容要有系统性的求出一个一般的 n 元一次联立方程式的所有解,而这个联立方程式不再限于未知数与限制式个数相同。
首先,必须要认知道的一项事实是,就单纯要一眼判断出一个联立方程式是否有解是不可能的,因此退而求其次,要找一套固定的标准的流程,看最终结果来判断。
换句话说,要找到一个演算法可以交给电脑来执行,而不是期待电脑能像人类可以见机行事,判断当下哪种做法比较“好算”。
由于接著要处理的是给电脑来执行的一般性解法,因此必须照著 的顺序依序消除便变数,并且要妥善安排消完变数后的列的上下顺序。
首先,假设拿到一个增广矩阵
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同时我们在心里要秉记著它所对应的联立方程式
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第一个步骤要消掉 ,然后分成三种情况分别处理:
- 如果增广矩阵 的第一列各项皆 0,换句话说 ,那么这就意味著变数 根本不存在于联立方程式之中,因此不需要做任何处理,直接前往下一步处理 。
- 如果 的最左上角那一项 不等于 0,那么将第一行乘以 ,得到
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- 其中对所有 ,有 。然后下一步是要将 、 、…、 消掉,因此,分别将第二行、第三行、…、第 m 行减去 、 、…、 倍的第一行,得到
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- 特别要注意的是,从 到 的过程不是一个基本行运算,而是要将各行分别做,总共要做 次。
- 如果 的最左上角那一项 等于 0,但 、 、…、 不全为 0,那么设 k 是最小的正整数使得 ,接著将 的第一行和第 k 行互换,就回到上面第二点的情况。
在此做个统整,顺便看看下一步该怎么操作,如果是第一点的情况
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接下来就对 里面的
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进行与第一步骤相同的处理,一样如上分成三种情况讨论;如果是第二或第三点的情况,经处理后得到
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接下来就对 里面首行首列以外的部分
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进行与第一步骤相同的处理,一样如上分成三种情况讨论。
在很多时候,矩阵中的 0 常会被省略不写,而如果这样的话,增广矩阵经过列运算后的最终状态长得像是个阶梯,这就是阶梯型矩阵的名字由来。
可以很容易的看出,一个增广矩阵经过列运算后的最终状态必然是一个阶梯形矩阵。
、 都是阶梯形矩阵。