国中数学/国中数学八年级/7-1 变数与函数

 6-4 等比数列 国中数学八年级
7-1 变数与函数
7-2 函数图形与线型函数 

本章节我们将介绍变数与函数。

变数

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诚泰书店的铅笔每枝 元,雨婷到这家书店买了 枝铅笔,总共花了 元,则我们可以列出关系式 ,而如果知道铅笔的数量 ,我们就可以知道雨婷所需要的花费 ,这时文字符号  我们称作变数。而铅笔的价格 元在此情境中不会任意更动,我们说 常数

小测

  

1 “一天有24小时,其中白天有 小时,夜晚有 小时,于是我们可以列出关系式 。”在这段叙述中,下列哪些是“变数”?(答案可能不只一个)

 
 
 

2 以涵以时速 公里的速度骑脚踏车,过了 小时之后以涵总共骑乘 公里。我们可以列出关系式为 。”在这段叙述中,下列哪些是“常数”?(答案可能不只一个)

 
 
 

自变数与应变数(补充)

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在刚刚的雨婷买铅笔的例子当中,我们知道:只要给定 ,我们就能决定 的数值,此时我们称 自变数 应变数

函数

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给定一个合理的数 ,如果恰好只有一个 与之对应,则我们称  函数[注 1][注 2]。读者需要注意的是,要判断 是否为 的函数,你必须判断是不是只要给定一个合理的 ,都只有对应到唯一的 值;反过来说,要判断 是否为 的函数,你必须判断是不是只要给定一个合理的 ,都只有对应到唯一的 值。我们用以下的例子来说明。

例题 

某国中八年甲班有 位男生,将他们的身高列表如下:

座号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高(公分) 153 164 167 152 147 169 164 152 159 161
  1. 已知富麟是此班的 号,则富麟的身高是多少公分?
  2. 知道此班某男生的座号,可以知道他的身高是多少公分吗?“身高”是否为“座号”的函数?
  3. 此班身高为 公分的学生座号是几号?
  4. 知道此班某男生的身高,可以知道他是几号吗?“座号”是否为“身高”的函数?
  1. 从表格可知 号是 公分,所以富麟的身高是 公分。
  2. 此班每个座号的男生都有他的身高,因此只要知道此班某男生的座号,透过表格就能够知道他的身高。给定一个座号就能够找到对应的身高,所以“身高”是“座号”的函数。
  3. 从表格可知 公分的学生有 号和 号。
  4. 不能确定,例如在第3题中,身高是 公分的学生有 号和 号,所以“座号”不是“身高”的函数。

在这个例子中我们可以观察到:虽然“身高”是“座号”的函数,但“座号”却不是“身高”的函数,也就是说,“  的函数”并不代表“  的函数”。

随堂练习
彩歆记录她每天的早餐花费金额,下表是她六月份前十天的纪录。

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
早餐花费金额(元) 60 60 65 55 60 75 100 60 65 120
  1. 六月7日彩歆的早餐花费是多少元?[解 1]
  2. 知道六月1日到10日某一天的日期,是否可以知道彩歆早餐花费的金额?“早餐金额”是否为“日期”的函数?[解 2]
  3. 六月的前十天当中,哪些日子彩歆的早餐花费的金额是 元?[解 3]
  4. 知道早餐花费的金额,是否可以知道那是六月1日到10日哪一天的花费吗?“日期”是否为“早餐金额”的函数?[解 4]


函数关系可以透过列表观察而得,也可以透过图表获得。如以下例题 所示。

例题 

在维基百科介绍关于Thoralby这个英格兰小镇有一张人口趋势图,如下所示:

 

此图表的横轴是西元年份,纵轴为人口数,单位是人。则看图表回答下列问题:

  1. 西 年时,在Thoralby这个地区大约有多少位居民?
  2. 给定西元年份,是否可以知道该年在Thoralby地区大约有多少位居民?“居民人数”是否为“西元年份”的函数?
  1. 从折线图可以看出Thoralby这个地区大约有 位居民。
  2. 给定年份,往上交折线图于一点,然后再往左对就会有大约的居民人数,所以“居民人数”是“西元年份”的函数。

在例题 中,如果反过来,我们知道Thoralby地区的居民人数,但对应的年份可能有不只一个数值,所以“西元年份”并不是“居民人数”的函数。

函数可以“一对一”或“多对一”,但不可以“一对多”或“一对无”。理解函数关系,可以想像“函数”其实就像是体重计一样,如果体重计是正常的没有坏掉,则:

  1. 只要有人站上体重计上面,就会有体重数值。
  2. 可能有很多人的体重是一样重的。
  3. 你不能站上体重计,却同时有好几个不同的体重。(除非你还没有站稳)
  4. 你也不能站上体重计却没有任何体重。


例题 

便利商店的绿茶每瓶 元。小希到便利商店买了 瓶绿茶和  元的御饭团,在没有任何优惠的情况下,小希总共要付 元。则:

  1. 列出  的关系式。
  2.  是否为 的函数?
  1.   的关系式为 
  2. 只要知道小希买了几瓶绿茶,就会知道小希的花费,所以  的函数。

随堂练习
正方形的边长为 公分,面积为 平方公分。则:

  1. 列出  的关系式。[解 5]
  2.  是否为 的函数?[解 6]

函数值

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  的函数,则当  值,我们称作此函数在 时的函数值[注 3]

例题 

设函数 

  1.  的函数值。
  2.  时,得到的函数值 ,则 是多少?
  1.  代入函数 可知函数值为 
  2.  代入函数 可知函数值为 ,而题目说此数为 ,所以可以列出一元一次方程式 

随堂练习
设函数 。则:

  1.  的函数值。[解 7]
  2.  是整数,且 时其函数值为负数,则 最大是多少?[解 8]

注解

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  1. 国中阶段不提函数的符号 
  2. 事实上,函数的自变数与应变数不一定是数,例如: 台湾人名,  的姓,此时由函数的定义可知  的函数。只是数学上大多讨论“数”对应到“数”的函数。
  3. 设函数 ,则 的函数值我们用 来表示。

随堂练习解答

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  1.  元。
  2. 是;是。
  3. 六月 日、 日。
  4. 否;否。
  5.  
  6. 是。
  7.  
  8.   ,所以 最大是