国中数学/国中数学八年级/7-1 变数与函数

6-4 等比数列

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国中数学八年级 7-1 变数与函数

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7-2 函数图形与线型函数

本章节我们将介绍变数与函数。

变数

诚泰书店的铅笔每枝$15$元，雨婷到这家书店买了$x$枝铅笔，总共花了$y$元，则我们可以列出关系式$y=15x$，而如果知道铅笔的数量$x$，我们就可以知道雨婷所需要的花费$y$，这时文字符号$x$、$y$我们称作变数。而铅笔的价格$15$元在此情境中不会任意更动，我们说$15$为常数。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 “一天有24小时，其中白天有$x$小时，夜晚有$y$小时，于是我们可以列出关系式$y=24-x$。”在这段叙述中，下列哪些是“变数”？（答案可能不只一个）

	$x$
	$y$
	$24$

2 “以涵以时速$18$公里的速度骑脚踏车，过了$t$小时之后以涵总共骑乘$S$公里。我们可以列出关系式为$S=18t$。”在这段叙述中，下列哪些是“常数”？（答案可能不只一个）

	$S$
	$t$
	$18$

自变数与应变数(补充)

在刚刚的雨婷买铅笔的例子当中，我们知道：只要给定$x$，我们就能决定$y$的数值，此时我们称$x$为自变数，$y$为应变数。

函数

给定一个合理的数$x$，如果恰好只有一个$y$与之对应，则我们称$y$为$x$的函数。读者需要注意的是，要判断$y$是否为$x$的函数，你必须判断是不是只要给定一个合理的$x$，都只有对应到唯一的$y$值；反过来说，要判断$x$是否为$y$的函数，你必须判断是不是只要给定一个合理的$y$，都只有对应到唯一的$x$值。我们用以下的例子来说明。

例题$1$ 某国中八年甲班有$10$位男生，将他们的身高列表如下： 座号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高(厘米) 153 164 167 152 147 169 164 152 159 161 已知富麟是此班的$5$号，则富麟的身高是多少厘米？ 知道此班某男生的座号，可以知道他的身高是多少厘米吗？“身高”是否为“座号”的函数？ 此班身高为$164$厘米的学生座号是几号？ 知道此班某男生的身高，可以知道他是几号吗？“座号”是否为“身高”的函数？

解 从表格可知$5$号是$147$厘米，所以富麟的身高是$147$厘米。 此班每个座号的男生都有他的身高，因此只要知道此班某男生的座号，透过表格就能够知道他的身高。给定一个座号就能够找到对应的身高，所以“身高”是“座号”的函数。 从表格可知$164$厘米的学生有$2$号和$7$号。 不能确定，例如在第3题中，身高是$164$厘米的学生有$2$号和$7$号，所以“座号”不是“身高”的函数。

在这个例子中我们可以观察到：虽然“身高”是“座号”的函数，但“座号”却不是“身高”的函数，也就是说，“$y$是$x$的函数”并不代表“$x$是$y$的函数”。

随堂练习
彩歆记录她每天的早餐花费金额，下表是她六月份前十天的纪录。

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
早餐花费金额(元)	60	60	65	55	60	75	100	60	65	120

1. 六月7日彩歆的早餐花费是多少元？
2. 知道六月1日到10日某一天的日期，是否可以知道彩歆早餐花费的金额？“早餐金额”是否为“日期”的函数？
3. 六月的前十天当中，哪些日子彩歆的早餐花费的金额是$65$元？
4. 知道早餐花费的金额，是否可以知道那是六月1日到10日哪一天的花费吗？“日期”是否为“早餐金额”的函数？

函数关系可以透过列表观察而得，也可以透过图表获得。如以下例题$2$所示。

例题$2$ 在维基百科介绍关于Thoralby这个英格兰小镇有一张人口趋势图，如下所示： 此图表的横轴是西元年份，纵轴为人口数，单位是人。则看图表回答下列问题： 在西元$2010$年时，在Thoralby这个地区大约有多少位居民？ 给定西元年份，是否可以知道该年在Thoralby地区大约有多少位居民？“居民人数”是否为“西元年份”的函数？

解 从折线图可以看出Thoralby这个地区大约有$150$位居民。 给定年份，往上交折线图于一点，然后再往左对就会有大约的居民人数，所以“居民人数”是“西元年份”的函数。

在例题$2$中，如果反过来，我们知道Thoralby地区的居民人数，但对应的年份可能有不只一个数值，所以“西元年份”并不是“居民人数”的函数。

函数可以“一对一”或“多对一”，但不可以“一对多”或“一对无”。理解函数关系，可以想像“函数”其实就像是体重计一样，如果体重计是正常的没有坏掉，则：

1. 只要有人站上体重计上面，就会有体重数值。
2. 可能有很多人的体重是一样重的。
3. 你不能站上体重计，却同时有好几个不同的体重。（除非你还没有站稳）
4. 你也不能站上体重计却没有任何体重。

例题$3$ 便利商店的绿茶每瓶$25$元。小希到便利商店买了$x$瓶绿茶和$1$个$45$元的御饭团，在没有任何优惠的情况下，小希总共要付$y$元。则： 列出$x$与$y$的关系式。 $y$是否为$x$的函数？

解 $x$与$y$的关系式为$y=25x+45$。 只要知道小希买了几瓶绿茶，就会知道小希的花费，所以$y$是$x$的函数。

随堂练习
正方形的边长为$x$厘米，面积为$y$平方厘米。则：

1. 列出$x$与$y$的关系式。
2. $y$是否为$x$的函数？

函数值

若$y$是$x$的函数，则当$x=a$的$y$值，我们称作此函数在$x=a$时的函数值。

例题$4$ 设函数$y=5x+3$。 求$x=2$的函数值。 若$x=a$时，得到的函数值$y=63$，则$a$是多少？

解 将$x=2$代入函数$y=5x+3$可知函数值为$y=5\times 2+3=10+3=13$。 将$x=a$代入函数$y=5x+3$可知函数值为$y=5\times a+3=5a+3$，而题目说此数为$63$，所以可以列出一元一次方程式$5a+3=63\Rightarrow 5a=60\Rightarrow a=12$。

随堂练习
设函数$y=2x-7$。则：

1. 求$x=-5$的函数值。
2. 设$a$是整数，且$x=a$时其函数值为负数，则$a$最大是多少？