国中数学/国中数学七年级/7-1 一元一次不等式

6-2 正比与反比

◄

国中数学七年级 7-1 一元一次不等式

►

7-2 解一元一次不等式

在生活情境当中，有一些限制的情况，比方说：

1. 未满$18$岁的青少年不宜观看限制级电影。
2. 如果车子的高度高于$3.5$公尺不能通过一些隧道。
3. 汽车在一般道路上通常速限不高于每小时$50$公里。
4. 在台北市搭乘公车时，儿童身高未满$115$公分者免费，或身高满$115$公分而未满$6$岁且持有身份证明之儿童免费，免费儿童应由已购全票之乘客携带，最多以$2$人为限，逾限仍须购买车票。

在第七章，我们将会探索这类问题。而本节首先带领各位认识这类问题的式子以及列式。

不等号的认识

要学习本章节，首先要先认识以下的不等号以及其常见用语：(以下整理自各大版本之数学课本)

不等号	名称	常见用语
$>$	大于	高于、多于、超过、比…大
$<$	小于	低于、少于、比…小、未满、未达、不到、不够、不足
$\geq$	大于等于	不小于、不低于、不少于、至少、最少为、以上(含)
$\leq$	小于等于	不大于、不高于、不多于、至多、最多为、不超过、不逾、以下(含)
$\neq$	不等于	不是、不相等、相异

例题$1$ 将以下叙述写成不等式。 $(1)x$不超过$13$。 $(2)2y$比$32$大。 $(3)a$的$7$倍多$4$不低于$29$。

解 $(1)$“不超过”指的是$\leq$，所以“$x$不超过$13$”可以写作$x\leq 13$。 $(2)$“比…大”指的是$>$，所以“$2y$比$32$大”可以写作$2y>32$。 $(3)$“不低于”指的是$\geq$，而$a$的$7$倍多$4$是$7a+4$，所以“$a$的$7$倍多$4$不低于$29$”可以写作$7a+4\geq 29$。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 “$x$超过$12$”可以写成以下哪一个不等式？

	$x<12$
	$x>12$
	$x\leq 12$
	$x\geq 12$

2 “$2y+3$不大于$9$”可以写成以下哪一个不等式？

	$2y+3<9$
	$2y+3>9$
	$2y+3\leq 9$
	$2y+3\geq 9$

3 “$5z-7$至少是$66$”可以写成以下哪一个不等式？

	$5z-7<66$
	$5z-7>66$
	$5z-7\leq 66$
	$5z-7\geq 66$

4 “$36$比$4y-9$大”可以写成以下哪一个不等式？

	$4y-9<36$
	$4y-9>36$
	$4y-9\leq 36$
	$4y-9\geq 36$

5 哪一个叙述不能写成“$x<7$”？

	$x$未达$7$
	$x$不到$7$
	$x$不逾$7$
	$x$不足$7$

6 “$5x+2$不小于$3x-7$”可以写成以下哪一个不等式？

	$5x+2<3x-7$
	$5x+2>3x-7$
	$5x+2\leq 3x-7$
	$5x+2\geq 3x-7$

一元一次不等式

形如$x\leq 13$、$2y>32$、$7a+4\geq 29$等只有出现一个未知数(一元)，而且未知数的最高次方为$1$(一次)的不等式，我们称这些式子为一元一次不等式。

生活应用

认识了常见用语之后，让我们来看看生活的应用：

例题$2$ 已知台湾高铁公司规定：未满$12$岁之儿童得购买孩童票。若雨婷需要购买儿童票，而且雨婷今年$x$岁，则依题意可以列出一元一次不等式为何？

解 因为雨婷需要购买儿童票，所以雨婷的年龄未满$12$岁，又因为“未满”是“$<$”，雨婷的年龄是$x$岁，所以依题意可以列出一元一次不等式$x<12$。而又因为年龄永远是正数，所以$x>0$，于是综合起来为“$0<x<12$”

习题
$1.$我国高速公路的最高限速为$100$公里，已知以涵因为超速所以收到罚单，而当时以涵开车的时速为每小时$x$公里，则依题意可以列出一元一次不等式为何？
$2.$绍华的妈妈规定绍华每天使用电脑的时间不多于$3$小时，若绍华今天没有违规，而且绍华使用电脑$y$小时，则依题意可以列出一元一次不等式为何？

例题$3$ 便利商店每个饭团$32$元，每瓶绿茶$25$元，小玉买了$x$个饭团和$1$瓶绿茶，而且小玉的花费不超过$200$元，则依题意可以列出一元一次不等式为何？

解 因为小玉买饭团花了$32x$元，买绿茶花了$25\times 1=25$元，所以总花费为$32x+25$，又题目说且小玉的花费不超过$200$元，“不超过”指的是“$\leq$”，所以依题意可以列出一元一次不等式“$32x+25\leq 200$”。

习题
$3.$达达原本有存款$50$元，他想要每天存$20$元，则$x$天之后他的存款将超过$500$元。请依题意列出一元一次不等式。
$4.$美琪有存款$y$元，美玲的存款有$150$元。已知美琪存款的$2$倍少$10$元不少于美玲的存款，请依题意列出一元一次不等式。

在这边提醒一件事，在进行列式的时候，要注意数量之间的关系，而且也根据题意判别是“$>$(大于)”、“$<$(小于)”、“$\geq$(大于或等于)”或“$\leq$(小于或等于)”。

例题$4$ 婉芬前三次的数学小考分别是$88$、$91$、$x$分，而且婉芬前三次的数学小考平均不到$90$分，则依题意可以列出一元一次不等式为何？

解 因为婉芬前三次小考的总分为$(88+91+x)$分，所以平均为${\frac {88+91+x}{3}}$分，又题目说婉芬前三次的数学小考平均不到$90$分，“不到”指的是“$<$”，所以依题意可以列出一元一次不等式“${\frac {88+91+x}{3}}<90$”。

例题$4$还有一个另解，那就是平均不到$90$分，代表总分不到$90\times 3=270$分，所以也可以列式为$88+91+x<270$。

一元一次不等式的解

满足一元一次不等式的所有数值我们称作一元一次不等式的解。举例说明如下：

• 以$x\leq 13$为例：

1. “$x=12$”是“$x\leq 13$”的解，因为将$x=12$代入$x\leq 13$得到$12\leq 13$，符合不等式。
2. “$x=13$”是“$x\leq 13$”的解，因为将$x=13$代入$x\leq 13$得到$13\leq 13$，符合不等式($\leq$只要“小于”或“等于”任一个成立即可)。
3. “$x=14$”不是“$x\leq 13$”的解，因为将$x=14$代入$x\leq 13$得到$14\leq 13$，不符合不等式。

• 以$2y>32$为例：

1. “$y=15$”不是“$2y>32$”的解，因为将$y=15$代入$2y>32$得到$30>32$，不符合不等式。
2. “$y=16$”也不是“$2y>32$”的解，因为将$y=16$代入$2y>32$得到$32>32$，不符合不等式。
3. “$y=17$”是“$2y>32$”的解，因为将$y=17$代入$2y>32$得到$34>32$，符合不等式。
4. “$y=16.1$”也是“$2y>32$”的解，因为将$y=16.1$代入$2y>32$得到$32.2>32$，符合不等式。

我们可以发现一元一次不等式的解在没有要求的情况下会有无限多个。

例题$5$ $x=5$、$x=6$、$x=7$三数中，有哪些是$3x+1\geq 2x+7$的解？

解 $(1)$将$x=5$代入$3x+1\geq 2x+7$可得$3\times 5+1\geq 2\times 5+7$，计算化简得$16\geq 17$不符合不等式，故$x=5$不是$3x+1\geq 2x+7$的解。 $(2)$将$x=6$代入$3x+1\geq 2x+7$可得$3\times 6+1\geq 2\times 6+7$，计算化简得$19\geq 19$符合不等式，故$x=6$是$3x+1\geq 2x+7$的解。 $(3)$将$x=7$代入$3x+1\geq 2x+7$可得$3\times 7+1\geq 2\times 7+7$，计算化简得$22\geq 21$符合不等式，故$x=7$是$3x+1\geq 2x+7$的解。 故是$3x+1\geq 2x+7$的解有$x=6$与$x=7$。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 哪些是不等式“$y\leq 15$”的解？(复选题)

	$13$
	$14$
	$15$
	$15.1$
	$14.9$

2 哪些是不等式“$3x+1\geq 16$”的解？(复选题)

	$4$
	$5$
	$6$
	$4{\frac {2}{3}}$
	${\frac {21}{4}}$

3 “$a=15$”为以下哪些一元一次不等式的解？(复选题)

	$a<15$
	$a\geq 15$
	$2a\leq 40$
	$2a+3>a+20$
	$3a+16<4a+1$

生活应用

不等式的解可以应用在生活上。以下是几个例子：

例题$6$ 金联超市周年庆，全店商品依原价打七折出售。伟德有$70$元， $(1)$假设他可以购买原价$x$元的商品，依题意我们可以列出一元一次不等式为何？ $(2)$他够不够买一包原价$90$元的消化饼呢？

解 $(1)$原价$x$元的商品，打七折之后为$0.7x$元，因为伟德可以购买原价$x$元的商品，所以$0.7x$不超过$70$，即$0.7x\leq 70$。 $(2)$将$x=90$代入$0.7x\leq 70$可以得到$0.7\times 90\leq 70$，化简得$63\leq 70$符合不等式，故伟德够买一包原价$90$元的消化饼。

习题
$5.$小佳手机的基本费为$300$元，每通话一秒需支付$0.06$元。若小佳上个月总共的电话帐单不少于$450$元，而且她上个月总共通话$x$秒，则：

• $(1)$依题意可以列出一元一次不等式为何？
  
• $(2)$小佳上个月可能总共通话$200$秒吗？
  

进阶挑战
$6.$孟臻参加数学竞试，总共$25$题，答对一题得$4$分，答错一题倒扣$1$分，没做答不得分也不倒扣。已知孟臻未作答$3$题，而且她的分数高于$70$分。

• $(1)$依题意可以列出一元一次不等式为何？
  
• $(2)$俊泽说：“孟臻可能只答对$18$题。”你认为俊泽说的是否合理？
  

一元一次不等式解的图形

每个人绘制一元一次不等式的图形不尽相同，但是都会秉持一个原则：有等号为实心，没等号为空心。以下是一些常见的绘制图形：

不等式	图形画法$1$	图形画法$2$
$x>2$
$x<2$
$x\geq 2$
$x\leq 2$

参考资料

1. 维基百科：不等号
2. 维基百科：不等式

以后会用到不等式的单元

• 根号
• 配方法与公式解
• 三角形的边角关系
• 二次函数
• 一元一次不等式(高中数学)(讨论两段式的一元一次不等式)
• 逻辑与命题(高中数学)