初中数学/算则观念/分数

分数是指“有分子有分母的数”，本质是是乘法与除法的综合，定义为：“除以分母，乘以分子”。就是均分为分母等份，取其分字等份。

漫谈分数

分数的分字，含有分开、部份的意思。而拉丁文中，分数源自frangere这字，意思是打破、断裂。

公元前1900年，巴比伦人就利用分母是60的分数来记录数量。古埃及人也利用分数来记数，但当时记数的分数只是个符号。

其实早于商周年代，中国人已经懂得应用分数的概念，秦始皇统一中国后，拟出一年有三百六十五又四分之一天。《九章算术》是中国古代的数学理论名著，内容已提及到分数，并采用分子、分母、约分等数学名词，我们至今仍有沿用。

在欧洲，把分数看作是两个整数相除的商，以及分子可以大于分母数目的概念，要到16世纪才发展出来，与中国相较，迟了接近一千年。

分数的认识

分数的意义

计算分数时，商不一定是整数，在这种情况下，就要把一个单位平均分成若干分，以其中的一份或数份来表示所得的结果，这样便产生了分数。

换句话说，分数就是把单位1平均分成若干等分后，其中1份或数份的数目。一个蛋糕平均分成3份，其中一份的数目便是${\frac {1}{3}}$。一件薄饼平均分成5份，取去3份，就是取去${\frac {3}{5}}$件薄饼。

分数加减法

分数相加，要先通分母，分线下之数字。较易之法，为把两个分母相乘，然后各分子亦要乘回其分母所乘之数。

例如︰

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}$

分母相乘以后，再通其分子，得以下数式

$={\frac {1{\color {red}\times 4}}{3{\color {red}\times 4}}}+{\frac {1{\color {red}\times 3}}{4{\color {red}\times 3}}}$

$={\frac {4}{12}}+{\frac {3}{12}}$

分子相加后得取结果

$={\frac {4+3}{12}}$

$={\frac {7}{12}}$

减法亦类似于加法，亦要先通分母。再以前者分子减去后者，得一分数，可尝试分子分母相约以取最简单分数。

例如︰

${\frac {3}{4}}-{\frac {5}{48}}$

$={\frac {3{\color {red}\times 12}}{4{\color {red}\times 12}}}-{\frac {5}{48}}$

$={\frac {36}{48}}-{\frac {5}{48}}$

$={\frac {36-5}{48}}$

$={\frac {31}{48}}$

分子乘除

分数相乘，分子分母各自相乘，再试约简，即为答案。

${\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{4}}$

$={\frac {1\times 1}{3\times 4}}$

$={\frac {1}{12}}$

而除法，则需把后者上下颠倒，约简后相乘即可。

${\frac {1}{6}}\div {\frac {1}{8}}$

$={\frac {1}{6}}\times {\frac {8}{1}}$

$={\frac {1\times 8}{6\times 1}}$

$={\frac {8/2}{6/2}}$

$={\frac {4}{3}}$

可写作带分数。

$=1{\frac {1}{3}}$

分数四则运算

• $(25-{\frac {11}{36}}\times 25)+(11-{\frac {11}{36}}\times 11)$

$=(25+11)-({\frac {11*25}{36}}+{\frac {11*11}{36}})$ , ($25+11=36$)

$=36-({\frac {11}{36}}(25+11))$

$=36-11=25$

• $({\frac {1}{2-{\frac {11}{18}}}}-{\frac {11}{50}})({\frac {36}{11}}-1)$

$=({\frac {1}{\frac {36-11}{18}}}-{\frac {11}{50}})\times {\frac {36-11}{11}}$

$=({\frac {18}{36-11}}-{\frac {11}{50}})\times {\frac {36-11}{11}}$

$={\frac {36-11}{50}}\times {\frac {36-11}{11}}$,($36-11=25$)

$={\frac {25}{50}}\times {\frac {25}{11}}={\frac {25}{22}}=1{\frac {3}{22}}$

图解

乘除的意思

• 乘是“多倍”，5×3或3×5    
• 除是“均分”，15÷3为15均分为三份，每份为5    

  	÷3＝		÷3＝

分数的意思

“除以分母，乘以分子”。就是均分为分母等份，取其分字等份。

扩分与约分

分子分母同乘以两倍，分数大小不变。分子分母同乘以 3,4,5,6,7,8,9… 倍，分数大小还是不变。
同理，分子分母同除以两倍，分数大小不变。分子分母同除以 3,4,5,6,7,8,9… 倍，分数大小还是不变。

假分数

带分数

分数相加(同分母)

分数相减(同分母)

分数相加(不同分母须通分)

整数乘以分数

整数乘以分子
$3\times {\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}$

分数除以整数

整数乘以分母
${\frac {3}{4}}\div 3={\frac {1}{4}}$

分数乘以分数

分子乘以分子，分母乘以分母
${\frac {1}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {4}{12}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {4}{12}}$分成四份取其三份$={\frac {3}{12}}={\frac {1}{4}}$

倒数1

$a\times {\frac {1}{a}}=1$
$2\times {\frac {1}{2}}=1$=
$3\times {\frac {1}{3}}=1$=
$4\times {\frac {1}{4}}=1$=

倒数2

${\frac {b}{a}}\times {\frac {a}{b}}=1$

除以分数等于乘以其倒数

${\frac {b}{a}}\div {\frac {d}{c}}=({\frac {b}{a}}\times 1\div {\frac {d}{c}})={\frac {b}{a}}\times ({\frac {d}{c}}\times {\frac {c}{d}})\div {\frac {d}{c}}={\frac {b}{a}}\times {\frac {c}{d}}\times ({\frac {d}{c}}\div {\frac {d}{c}})={\frac {b}{a}}\times {\frac {c}{d}}\times 1={\frac {b}{a}}\times {\frac {c}{d}}$