定义：对于1个给定的函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
不动点（fixed point） 。[ 1] [ 2]
与递推式形式一致的函数也被叫做递推关系式的特征函数 （characteristic function ）或背景函数 [ 1] 函数图象的不动点 [ 2]
在解决高中数列递推问题时，我们讨论的不动点都是可逆函数的不动点。可逆函数的不动点有以下特点：
如果
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
(
y
0
,
x
0
)
{\displaystyle (y_{0},x_{0})}
x
=
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle x=f^{-1}(y)}
函数的不动点坐标具有
(
x
0
,
x
0
)
{\displaystyle (x_{0},x_{0})}
y
=
x
{\displaystyle y=x}
如果把可逆函数
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
=
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle x=f^{-1}(y)}
不动点本身是拓扑学 的知识点，表示物体或空间在某种拓扑变换的作用下，仍保持固定不动的点。它的几何意义是函数图象与恒等变换直线
y
=
x
{\displaystyle y=x}
编辑
在从递推式
a
n
+
1
=
p
a
n
+
q
(
p
≠
1
)
{\displaystyle a_{n+1}=pa_{n}+q\quad (p\neq 1)}
f
(
x
)
=
p
x
+
q
{\displaystyle f(x)=px+q}
a
n
+
1
=
p
a
n
+
q
{\displaystyle a_{n+1}=pa_{n}+q}
p
≠
1
{\displaystyle p\neq 1}
[ 3]
a
n
+
1
=
p
a
n
+
q
{\displaystyle a_{n+1}=pa_{n}+q}
f
(
x
)
=
p
x
+
q
{\displaystyle f(x)=px+q}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
0
)
=
x
0
⇒
p
x
0
+
q
=
x
0
{\displaystyle f(x_{0})=x_{0}\Rightarrow px_{0}+q=x_{0}}
x
0
=
q
1
−
p
{\displaystyle x_{0}={\frac {q}{1-p}}}
a
n
+
1
=
p
a
n
+
q
{\displaystyle a_{n+1}=pa_{n}+q}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
a
n
+
1
−
x
0
=
p
a
n
+
q
−
x
0
⇒
a
n
+
1
−
x
0
=
p
(
a
n
+
q
−
x
0
p
)
⇒
a
n
+
1
−
x
0
=
p
(
a
n
−
x
0
)
{\displaystyle a_{n+1}-x_{0}=pa_{n}+q-x_{0}\quad \Rightarrow \quad a_{n+1}-x_{0}=p(a_{n}+{\frac {q-x_{0}}{p}})\quad \Rightarrow \quad a_{n+1}-x_{0}=p(a_{n}-x_{0})}
(4) 将
a
n
−
x
0
{\displaystyle a_{n}-x_{0}}
a
n
−
x
0
{\displaystyle a_{n}-x_{0}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
可以证明，这样求得的最终结果形式为
a
n
=
a
1
p
n
−
1
+
q
(
1
−
p
n
−
1
)
1
−
p
{\displaystyle a_{n}=a_{1}p^{n-1}+{\frac {q(1-p^{n-1})}{1-p}}}
[ 3]
关于在一阶常系数线性递推关系式的通项求解中，为什么会与不动点的概念产生联系，我们在这里给予一个比较简单的论证。
先设
a
n
+
1
=
k
a
n
+
d
{\displaystyle a_{n+1}=ka_{n}+d}
a
n
+
1
−
p
=
k
(
a
n
−
p
)
{\displaystyle a_{n+1}-p=k(a_{n}-p)}
(
a
n
+
1
−
p
)
−
a
n
+
1
=
k
(
a
n
−
p
)
−
(
k
a
n
+
d
)
⇒
−
p
=
−
k
p
−
d
⇒
p
=
k
p
+
d
{\displaystyle {\begin{array}{l}(a_{n+1}-p)-a_{n+1}=k(a_{n}-p)-(ka_{n}+d)\\\Rightarrow -p=-kp-d\quad \Rightarrow \quad p=kp+d\end{array}}}
f
(
x
)
=
k
x
+
d
{\displaystyle f(x)=kx+d}
从几何上讲，从截距不为零的一次函数（对应于上述非齐次一阶线性递推关系式）变形为正比例函数（对应于构造出来的等比数列满足的关系式）的变换就是一种图象平移操作，而此类函数的不动点提供了同时沿y轴方向和x轴方向进行图象平移的距离参考值。
编辑
形如
a
n
+
1
=
A
a
n
+
B
C
a
n
+
D
{\displaystyle a_{n+1}={\frac {Aa_{n}+B}{Ca_{n}+D}}}
[ 2]
定义：具有以下形式的递推式
a
n
+
1
=
f
(
a
n
)
{\displaystyle a_{n+1}=f(a_{n})}
常系数分式线性递推关系 ：
a
n
+
1
=
A
a
n
+
B
C
a
n
+
D
(
n
∈
N
+
,
A
,
B
,
C
,
D
∈
R
,
A
D
−
B
C
≠
0
)
{\displaystyle a_{n+1}={\frac {Aa_{n}+B}{Ca_{n}+D}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+},A,B,C,D\in \mathbb {R} ,AD-BC\neq 0)}
编辑
我们接下来从不动点的角度，指出这种常系数分式线性递推关系的通项公式求解方法。
设函数
f
(
x
)
=
A
x
+
B
C
x
+
D
{\displaystyle f(x)={\frac {Ax+B}{Cx+D}}}
x
,
A
,
B
,
C
,
D
∈
C
,
A
D
−
B
C
≠
0
{\displaystyle x,A,B,C,D\in \mathbb {C} ,AD-BC\neq 0}
x
=
λ
{\displaystyle x=\lambda }
λ
=
A
λ
+
B
C
λ
+
D
{\displaystyle \lambda ={\frac {A\lambda +B}{C\lambda +D}}}
[ 4]
如果
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
a
n
+
1
−
x
0
=
A
a
n
+
B
C
a
n
+
D
−
x
0
=
(
A
−
C
x
0
)
(
a
n
−
x
0
)
C
a
n
+
D
{\displaystyle a_{n+1}-x_{0}={\frac {Aa_{n}+B}{Ca_{n}+D}}-x_{0}={\frac {(A-Cx_{0})(a_{n}-x_{0})}{Ca_{n}+D}}}
1
a
n
+
1
−
x
0
=
C
a
n
+
D
(
A
−
C
x
0
)
(
a
n
−
x
0
)
=
C
x
0
+
D
A
−
C
x
0
1
a
n
−
x
0
+
C
A
−
C
x
0
{\displaystyle {\frac {1}{a_{n+1}-x_{0}}}={\frac {Ca_{n}+D}{(A-Cx_{0})(a_{n}-x_{0})}}={\frac {Cx_{0}+D}{A-Cx_{0}}}{\frac {1}{a_{n}-x_{0}}}+{\frac {C}{A-Cx_{0}}}}
{
1
a
n
−
x
0
}
{\displaystyle \{{\frac {1}{a_{n}-x_{0}}}\}}
如果不动点方程
λ
=
A
λ
+
B
C
λ
+
D
{\displaystyle \lambda ={\frac {A\lambda +B}{C\lambda +D}}}
x
1
=
x
2
=
A
−
D
2
C
{\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {A-D}{2C}}}
C
x
1
+
D
A
−
C
x
1
=
1
{\displaystyle {\frac {Cx_{1}+D}{A-Cx_{1}}}=1}
1
a
n
+
1
−
x
0
=
C
x
0
+
D
A
−
C
x
0
1
a
n
−
x
0
+
C
A
−
C
x
0
=
1
a
n
−
x
0
+
C
A
−
C
x
0
{\displaystyle {\frac {1}{a_{n+1}-x_{0}}}={\frac {Cx_{0}+D}{A-Cx_{0}}}{\frac {1}{a_{n}-x_{0}}}+{\frac {C}{A-Cx_{0}}}={\frac {1}{a_{n}-x_{0}}}+{\frac {C}{A-Cx_{0}}}}
{
1
a
n
−
x
0
}
{\displaystyle \{{\frac {1}{a_{n}-x_{0}}}\}}
1
a
1
−
x
0
{\displaystyle {\frac {1}{a_{1}-x_{0}}}}
C
A
−
C
x
0
{\displaystyle {\frac {C}{A-Cx_{0}}}}
1
a
n
−
x
0
=
1
a
1
−
x
0
+
2
C
(
n
−
1
)
A
+
D
{\displaystyle {\frac {1}{a_{n}-x_{0}}}={\frac {1}{a_{1}-x_{0}}}+{\frac {2C(n-1)}{A+D}}}
1
a
n
−
x
0
{\displaystyle {\frac {1}{a_{n}-x_{0}}}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
如果不动点方程
λ
=
A
λ
+
B
C
λ
+
D
{\displaystyle \lambda ={\frac {A\lambda +B}{C\lambda +D}}}
1
a
n
+
1
−
x
1
+
1
x
1
−
x
2
=
A
−
C
x
1
A
−
C
x
2
(
1
a
n
−
x
1
+
1
x
1
−
x
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{a_{n+1}-x_{1}}}+{\frac {1}{x_{1}-x_{2}}}={\frac {A-Cx_{1}}{A-Cx_{2}}}({\frac {1}{a_{n}-x_{1}}}+{\frac {1}{x_{1}-x_{2}}})}
{
1
a
n
−
x
1
+
1
x
1
−
x
2
}
{\displaystyle \{{\frac {1}{a_{n}-x_{1}}}+{\frac {1}{x_{1}-x_{2}}}\}}
A
−
C
x
1
A
−
C
x
2
{\displaystyle {\frac {A-Cx_{1}}{A-Cx_{2}}}}
1
a
n
−
x
1
+
1
x
1
−
x
2
=
(
1
a
n
−
x
1
+
1
x
1
−
x
2
)
(
A
−
C
x
1
A
−
C
x
2
)
n
−
1
⇒
1
a
n
−
x
1
=
(
1
a
n
−
x
1
+
1
x
1
−
x
2
)
(
A
−
C
x
1
A
−
C
x
2
)
n
−
1
−
1
x
1
−
x
2
⇒
a
n
=
x
2
(
a
1
−
x
1
)
(
A
−
C
x
1
)
n
−
1
−
x
1
(
a
1
−
x
2
)
(
A
−
C
x
2
)
n
−
1
(
a
1
−
x
1
)
(
A
−
C
x
1
)
n
−
1
−
(
a
1
−
x
2
)
(
A
−
C
x
2
)
n
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{a_{n}-x_{1}}}+{\frac {1}{x_{1}-x_{2}}}=({\frac {1}{a_{n}-x_{1}}}+{\frac {1}{x_{1}-x_{2}}})({\frac {A-Cx_{1}}{A-Cx_{2}}})^{n-1}\\\Rightarrow {\frac {1}{a_{n}-x_{1}}}=({\frac {1}{a_{n}-x_{1}}}+{\frac {1}{x_{1}-x_{2}}})({\frac {A-Cx_{1}}{A-Cx_{2}}})^{n-1}-{\frac {1}{x_{1}-x_{2}}}\\\Rightarrow a_{n}={\frac {x_{2}(a_{1}-x_{1})(A-Cx_{1})^{n-1}-x_{1}(a_{1}-x_{2})(A-Cx_{2})^{n-1}}{(a_{1}-x_{1})(A-Cx_{1})^{n-1}-(a_{1}-x_{2})(A-Cx_{2})^{n-1}}}\end{aligned}}}
如果方程有2个不等的根
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
{
a
n
+
1
−
x
1
=
(
A
−
C
x
1
)
(
a
n
−
x
1
)
C
a
n
+
D
a
n
+
1
−
x
2
=
(
A
−
C
x
2
)
(
a
n
−
x
2
)
C
a
n
+
D
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}a_{n+1}-x_{1}={\frac {(A-Cx_{1})(a_{n}-x_{1})}{Ca_{n}+D}}\\a_{n+1}-x_{2}={\frac {(A-Cx_{2})(a_{n}-x_{2})}{Ca_{n}+D}}\end{array}}\right.}
a
n
+
1
−
x
1
a
n
+
1
−
x
2
=
k
a
n
−
x
1
a
n
−
x
2
{\displaystyle {\frac {a_{n+1}-x_{1}}{a_{n+1}-x_{2}}}=k{\frac {a_{n}-x_{1}}{a_{n}-x_{2}}}}
k
=
A
−
C
x
1
A
−
C
x
2
{\displaystyle k={\frac {A-Cx_{1}}{A-Cx_{2}}}}
{
a
n
−
x
1
a
n
−
x
2
}
{\displaystyle \{{\frac {a_{n}-x_{1}}{a_{n}-x_{2}}}\}}
a
1
−
x
1
a
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {a_{1}-x_{1}}{a_{1}-x_{2}}}}
{
a
n
−
x
1
a
n
−
x
2
}
{\displaystyle \{{\frac {a_{n}-x_{1}}{a_{n}-x_{2}}}\}}
a
n
−
x
1
a
n
−
x
2
=
a
1
−
x
1
a
1
−
x
2
k
n
−
1
=
(
A
−
C
x
1
A
−
C
x
2
)
n
−
1
a
1
−
x
1
a
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {a_{n}-x_{1}}{a_{n}-x_{2}}}={\frac {a_{1}-x_{1}}{a_{1}-x_{2}}}k^{n-1}=({\frac {A-Cx_{1}}{A-Cx_{2}}})^{n-1}{\frac {a_{1}-x_{1}}{a_{1}-x_{2}}}}
a
n
−
x
1
a
n
−
x
2
{\displaystyle {\frac {a_{n}-x_{1}}{a_{n}-x_{2}}}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
n
=
x
2
(
a
1
−
x
1
)
(
A
−
C
x
1
)
n
−
1
−
x
1
(
a
1
−
x
2
)
(
A
−
C
x
2
)
n
−
1
(
a
1
−
x
1
)
(
A
−
C
x
1
)
n
−
1
−
(
a
1
−
x
2
)
(
A
−
C
x
2
)
n
−
1
{\displaystyle a_{n}={\frac {x_{2}(a_{1}-x_{1})(A-Cx_{1})^{n-1}-x_{1}(a_{1}-x_{2})(A-Cx_{2})^{n-1}}{(a_{1}-x_{1})(A-Cx_{1})^{n-1}-(a_{1}-x_{2})(A-Cx_{2})^{n-1}}}}
[ 5]
当只有1个不动点时，可以对原递推式的两边同时减去不动点，然后再同时取倒数，进而转化为等差数列求解。
当有2个相异的不动点时，可以先对原递推式的两边同时减去第1个不动点并取倒数，再对原递推式的两边同时减去第2个不动点并取倒数，然后将分别得到的2个式子作商，进而转化为等比数列求解。
编辑
定义：具有以下形式的函数
f
:
C
→
C
{\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }
分式线性变换 （linear fractional transformation ）：
f
(
x
)
=
A
x
+
B
C
x
+
D
(
A
,
B
,
C
,
D
∈
C
,
A
D
−
B
C
≠
0
)
{\displaystyle f(x)={\frac {Ax+B}{Cx+D}}\quad (A,B,C,D\in \mathbb {C} ,AD-BC\neq 0)}
因为德国数学家奥古斯特·莫比乌斯 曾对其进行过大量研究，所以分式线性变换也叫做莫比乌斯变换 Möbius transformation ）。[ 4]
通过简单的分式分解，易知莫比乌斯函数可以分解为以下形式：
f
(
x
)
=
B
C
−
A
D
C
1
C
x
+
D
+
A
C
{\displaystyle f(x)={\frac {BC-AD}{C}}{\frac {1}{Cx+D}}+{\frac {A}{C}}}
容易验证以下性质：
分式线性变换
f
(
x
)
=
A
x
+
B
C
x
+
D
(
A
D
−
B
C
≠
0
)
{\displaystyle f(x)={\frac {Ax+B}{Cx+D}}\quad (AD-BC\neq 0)}
[ 4]
x
=
−
D
y
+
B
C
y
−
A
{\displaystyle x={\frac {-Dy+B}{Cy-A}}}
一次函数是特殊的分式线性变换[ 4]
分式线性映射之间的复合结果仍然是分式线性变换[ 4]
如果
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
我们下面先通过一种计算量较少的思路来说明使用待定系数法时，第一步减去的常数一定是其不动点的原因。
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
n
+
1
−
P
=
A
a
n
+
B
C
a
n
+
D
−
P
=
A
a
n
+
B
−
P
C
a
n
−
D
P
C
a
n
+
D
=
(
A
−
P
C
)
a
n
+
(
B
−
D
P
)
C
a
n
+
D
{\displaystyle a_{n+1}-P={\frac {Aa_{n}+B}{Ca_{n}+D}}-P={\frac {Aa_{n}+B-PCa_{n}-DP}{Ca_{n}+D}}={\frac {(A-PC)a_{n}+(B-DP)}{Ca_{n}+D}}}
a
n
+
1
−
P
{\displaystyle a_{n+1}-P}
(
A
−
P
C
)
a
n
+
(
B
−
D
P
)
{\displaystyle (A-PC)a_{n}+(B-DP)}
1
A
−
P
C
=
−
P
B
−
D
P
{\displaystyle {\frac {1}{A-PC}}={\frac {-P}{B-DP}}}
P
=
B
−
D
P
C
P
−
A
{\displaystyle P={\frac {B-DP}{CP-A}}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
也可以从函数同胚变换（也就是函数相似变换）的角度出发，来理解函数的多重迭代与分式线性递推式的求解。不动点法在这两类问题中都有登场出现。首先由于一次函数属于特殊的分式线性变换，而且分式线性变换是可逆变化，所以自然想到能否将分式线性递推式还原为某种更简单的一次线性递推式的形式。求出与之相关的一次线性递推式的迭代结果后，再利用逆变换反推出原递推式的多次迭代结果。另一方面，我们已经知道使用不动点法可以简化一次线性递推式的求解，我们希望将不动点也整合到分式线性变换还原为线性递推式的系数配凑过程中。
使得
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
桥函数
[ 6]
f
(
x
)
=
T
−
1
(
g
(
T
(
x
)
)
)
{\displaystyle f(x)=T^{-1}(g(T(x)))}
此时
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
相似函数 [ 6]
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
同胚 homeomorphism ）变换，它建立了
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
拓扑共轭 （topological conjugacy ）。
桥函数是计算函数迭代或巧妙构造数列的辅助函数。通过找到合适的桥函数，把不易得到迭代公式的
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
可以通过数学归纳法验证函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
[ 6]
f
n
(
x
)
=
T
−
1
(
g
n
(
T
(
x
)
)
)
{\displaystyle f_{n}(x)=T^{-1}(g_{n}(T(x)))}
矩阵对角化 、傅立叶变换 、Z变换 、卷积 等技巧都是这类思想的体现。用泛函分析 的术语来说，函数可以看成抽象空间中的点，如果一个函数直接研究起来不方便，我们就可以用可逆变换将它挪到其它更简单明了的空间中再研究。变换的可逆性保证了函数本身的某些关键特性在某些恰当选取的空间中并不会改变太多，解决问题以后还可以把结果再变回到原来的空间。
了解了桥函数方法的转换思想，下面使用不动点法的动机就是借助不动点套出桥函数可能满足的性质，以便确定所需桥函数中的未知待定系数。只要确定了桥函数的各个细节，就可以通过相似变换的方法巧妙地得到原函数的n次迭代式。
f
(
x
)
=
T
−
1
(
g
(
T
(
x
)
)
)
{\displaystyle f(x)=T^{-1}(g(T(x)))}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
T
(
x
0
)
{\displaystyle T(x_{0})}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
[ 6]
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
通常为了便于求解
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
[ 6]
g
(
x
)
=
x
+
a
{\displaystyle g(x)=x+a}
g
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle g(x)=ax}
g
(
x
)
=
a
x
2
{\displaystyle g(x)=ax^{2}}
g
(
x
)
=
a
x
3
{\displaystyle g(x)=ax^{3}}
对于这几种情况，
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
∞
{\displaystyle \infty }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
=
x
−
a
{\displaystyle g(x)=x-a}
g
(
x
)
=
1
x
−
a
{\displaystyle g(x)={\frac {1}{x-a}}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
=
x
−
a
x
−
b
{\displaystyle g(x)={\frac {x-a}{x-b}}}
就分式线性变换的例子来说，如果我们先求出了
f
(
x
)
=
A
x
+
B
C
x
+
D
{\displaystyle f(x)={\frac {Ax+B}{Cx+D}}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
T
(
x
)
=
1
x
−
k
{\displaystyle T(x)={\frac {1}{x-k}}}
p
=
T
(
x
0
)
{\displaystyle p=T(x_{0})}
g
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle g(x)=ax+b}
p
=
g
(
p
)
⇒
p
=
a
p
+
b
{\displaystyle p=g(p)\quad \Rightarrow \quad p=ap+b}
扩展实数线 或扩充复平面 上考虑问题，易知从方程
λ
=
a
λ
+
b
(
a
,
b
≠
0
)
{\displaystyle \lambda =a\lambda +b\quad (a,b\neq 0)}
λ
=
∞
{\displaystyle \lambda =\infty }
p
=
λ
=
∞
{\displaystyle p=\lambda =\infty }
T
(
x
0
)
=
p
=
∞
⇒
1
x
0
−
k
=
∞
⇒
k
=
x
0
{\displaystyle T(x_{0})=p=\infty \quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{x_{0}-k}}=\infty \quad \Rightarrow \quad k=x_{0}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
对于二次函数或包含二次项的分式函数，除了恰巧可以用简单的配方法将二次项配凑进某个完全平方式的情形，一般都没有什么好办法获得n次迭代后的简洁表达式[ 6]
其它可以解决分式线性递推式的方法还包括转化为二阶常系数线性递推数列 和多元递推与矩阵方法 。
本节介绍的一阶常系数非齐次线性递推式和分式线性递推式都可以用Mathematica软件 提供的“RSolve”命令求解出通项公式。我们在这里分别用Mathematica展示2种递推式的通项公式求解方法。它的更多递推式求解用法还会在常系数线性递推数列 章节中继续补充。
求解差分方程
a
1
=
1
,
a
n
+
1
=
2
a
n
+
3
{\displaystyle a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+3}
RSolve [{ a [ n + 1 ] == 2 a [ n ] + 3 , a [ 1 ] == 1 }, a [ n ], n ]; (* 在Mathematica中表示相等，需要2个"="在一起连用 *)
在新单元格（cell）输入完上述命令后，一般按组合键Shift + Enter即可得到结果。
求解分式线性差分方程
a
1
=
1
,
a
n
+
1
=
a
n
+
2
3
a
n
+
4
{\displaystyle a_{1}=1,a_{n+1}={\frac {a_{n}+2}{3a_{n}+4}}}
RSolve [{ a [ n + 1 ] == ( a [ n ] + 2 ) / ( 3 a [ n ] + 4 ), a [ 1 ] == 1 }, a [ n ], n ]; (* 在Mathematica中表示相除，需要使用"/"符号 *)
此题的答案很复杂很可怕哦~
标识符 中的已有信息。如果是这种情况：(1)可以先在其它地方输入独立命令“ClearAll[a]”清除标识符a中的内容，然后重新执行RSolve命令；(2)也可以改用除a以外的其它未使用过的标识符来命名要求解的数列。
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
a
1
=
1
,
a
n
+
1
=
2
a
n
+
3
{\displaystyle a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+3}
解答：RSolve[{a[n + 1] == 2 a[n] + 3, a[1] == 1}, a[n], n];
a
n
=
1
2
(
(
1
−
2
)
n
+
(
1
+
2
)
n
)
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2}}((1-{\sqrt {2}})^{n}+(1+{\sqrt {2}})^{n})}
答案：
a
n
=
−
3
+
2
1
+
n
{\displaystyle a_{n}=-3+2^{1+n}}
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
a
1
=
1
,
a
n
+
1
=
2
a
n
+
3
a
n
+
4
{\displaystyle a_{1}=1,a_{n+1}={\frac {2a_{n}+3}{a_{n}+4}}}
解答：RSolve[{a[n + 1] == (2 a[n] + 3) / (a[n] + 4), a[1] == 1}, a[n], n];
a
n
=
1
2
(
(
1
−
2
)
n
+
(
1
+
2
)
n
)
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2}}((1-{\sqrt {2}})^{n}+(1+{\sqrt {2}})^{n})}
答案：
a
n
=
3
(
(
−
1
)
n
+
(
−
1
)
1
+
n
5
1
−
n
)
3
(
−
1
)
n
+
(
−
1
)
n
5
1
−
n
{\displaystyle a_{n}={\frac {3((-1)^{n}+(-1)^{1+n}5^{1-n})}{3(-1)^{n}+(-1)^{n}5^{1-n}}}}
用不动点法可以求出一阶线性递推数列 (其中p和q为常数，且 )的通项的一般式[3]。其主要步骤为：
提示：如果求出的不动点形式比较复杂（例如算出的解带着根号跑），此时使用不动点法对于简化数列构造时的系数运算也无法提供太多帮助。求解兔子数列的通项公式问题就是一个例子。
知识背景：将函数借助一个可逆的辅助函数，变换到另一个更容易求解或更容易研究的形式，在数学与物理学的许多分支中都是常见思想。矩阵对角化、傅立叶变换、Z变换、卷积等技巧都是这类思想的体现。用泛函分析的术语来说，函数可以看成抽象空间中的点，如果一个函数直接研究起来不方便，我们就可以用可逆变换将它挪到其它更简单明了的空间中再研究。变换的可逆性保证了函数本身的某些关键特性在某些恰当选取的空间中并不会改变太多，解决问题以后还可以把结果再变回到原来的空间。
相关例题1：
已知在数列 中，满足 ，使用Mathematica求它的通项公式。
