线性代数/线性空间

基本定义

简单来说，线性空间是一群有加法，可以伸缩（也就系数积）的实体，最明显的例子就是实数或物理上的向量如力、电场等等。

线性空间的严谨定义分成定义"向量加法"、"标量"和"系数积"三大部分。

群

物理上的向量加法与实数的加法有一些共通的特性：

1. 封闭性：两个向量或是实数相加以后，仍然是向量或是实数。
2. 结合律：a+(b+c) = (a+b)+c
3. 单位元素：零向量加上任何向量a为a；同样地实数0加上任何实数r为r。
4. 反元素：对任何向量a总会有一个向量-a使a+(-a)为零向量；类似的有(-r)+r=0。

满足上面性质的还有针对特定轴的旋转、不含0的实数乘法等等的，这诱使我们去定义一个抽象的数学结构，也就是群（group）

$G$ 是一个集合， 且$f:G^{2}\to G$ 是一个双变数函数 （也就是封闭性，这里把 $f(a,\,b)$ 简记为 $a\circ b$ ） 满足：

1. $(\forall a\in G)(\forall b\in G)(\,\forall c\in G)[a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c\,]$ （结合律）
2. $(\exists e\in G)(\forall a\in G)(\,a\circ e=e\circ a=a\,)$ （单位元素）
3. $(\forall a\in G)(\exists a^{\prime }\in G)(\,a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e\,)$ （反元素）

则称 $(G,\,f)$ 或是 $(G,\,\circ )$ 为群。

这里不以加号简记 $f(a,\,b)$ 的原因是因为群的观念很一般，以至于下一小节的"标量"定义也会用到，所以为了避免混淆，我们就以特殊符号简记。

如果定义加上

• $(\forall a\in G)(\forall b\in G)[a\circ b=b\circ a\,]$ （交换律）

的话，我们称$(G,\,+)$ 为交换群（commutative group）或阿贝尔群（Abelian group）。

这样我们就替"向量加法"(也就是双变数函数 $f$ )构造出了严谨的数学定义。

体

接下来我们要考虑"标量"，一般标量都是实数，而其中

1. 实数跟加法构成交换群
2. 非零实数跟乘法也是交换群
3. 分配律：对任意实数a, b, c有 a(b+c) = ab + ac

这诱使我们定义另一个数学结构，体(field)

$F$ 是一个集合 ，且有两个双变数函数

• $f:F^{2}\to F$ （ $f(a,\,b)$ 简记成 $a+b$ ）
• $g:F^{2}\to F$ （ $g(a,\,b)$ 简记成 $a\times b$ ）

满足

1. $(F,\,+)$ 为交换群。（ 其中单位元素记为 $0_{F}$ ）
2. $(F-\{0_{F}\},\,\times )$ 为交换群。（ 其中单位元素记为 $1_{F}$ ）
3. $(\forall a\in F)(\forall b\in F)(\,\forall c\in F)[a\times (b+c)=a\times b+a\times c]$ （分配律）

则称 $(F,\,+,\,\times )$ 为体。

事实上复数系与复数加法和乘法也是一个体，所以"复数"也可以当作"标量"。

线性空间

接下来我们可以把"向量"跟"标量"组装起来，合成一个新的数学结构，称为线性空间(linear space)。但在此之前，我们还要定义"向量的伸缩"（系数积），首先我们注意到

1. 对任何的物理向量v有 1v = 1。 （系数积的"单位元"）
2. 对于标量a, b和物理上的向量v有 (a+b)v = (av + bv)。 (系数积的"标量加法分配律")
3. 对于标量a, b和物理上的向量v有 a(bv) = (a x b)v。 (系数积的"标量乘法结合律")
4. 对于标量a和物理上的向量v, w有 a(v+w) = av + aw (系数积的"向量加法分配律")

这样我们就可以给出严谨的定义了

$(V,\,\oplus )$ 是交换群 ， $(F,\,+,\,\times )$ 是体，且有双元函数

• $h:F\times V\to V$ （ $h(a,\,v)$ 简记成 $a\cdot v$ ）

满足

1. $(\forall v\in V)(1_{F}\cdot v=v)$ （系数积的"单位元"）
2. $(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,(a+b)\cdot v=(a\cdot v)\oplus (b\cdot v)\,]$ (系数积的"标量加法分配律")
3. $(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,a\cdot (b\cdot v)=(a\times b)\cdot v\,]$ (系数积的"标量乘法结合律")
4. $(\forall a\in F)(\forall v\in V)(\forall w\in V)[\,a\cdot (v\oplus w)=(a\cdot v)\oplus (a\cdot w)\,]$ (系数积的"向量加法分配律")

则称 $(V,\,\oplus ,h)$ （或 $(V,\,\oplus ,\,\cdot )$ ）为定义在体 $(F,\,+,\,\times )$ 上的线性空间。

如果不会与标量加法引起混淆的话，可以把 $\oplus$ （"向量加法"）简记为 $+$ ；运算符号的都固定的状况下，上面可以简称为" $V$ 是定义在体 $F$ 上的线性空间"。

另外 $(V,\,\oplus )$ 的单位元我们会写成 $0_{V}$，称为零向量(zero vector)。

维度

上一节我们把线性空间定义成某种"可加可系数积"的群体，就像平面上的向量一样。那这些"线性量"能不能如同平面向量一样

${\vec {v}}=v_{x}\cdot {\hat {i}}+v_{y}\cdot {\hat {j}}$

写成数个"基底向量"的线性组合呢?

这取决于我们要用几个"基底"去线性组合出整个向量空间，如果是指头可以数完的(有限个)的基底，一般来说是不可行的。

如果我们把基底个数拓展到跟自然数一样多(可数个)，那线性组合会变成所谓的"向量"无穷级数。尽管如此，也无法100%保证有这样的一组"基底"可以收敛于任意"向量" 。(但所有多项式函数构成的线性空间的确是这样的可数基底)

但很幸运的，如果你承认最一般版本的选择公理，我们会有种特殊的不可数基底，可以从中挑出可数个来做线性组合而收敛于任意的"向量"。

综上所述，我们要把存在有限个数的基底当作特例，而线性代数大多讨论的就是这种美好状况。而存在可数基底，或甚至连基底都没有的部分就是泛函分析(functional analysis)处理的状况。

线性独立

如果有限个向量 $\{e_{1},\,\cdots ,\,e_{n}\}\subseteq V$ 可以线性组合出(定义在体 $F$ 上的)线性空间 $V$ 的任意向量，那这样的表达式唯不唯一呢?若对 $v\in V$ 有

$v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot e_{i}=\sum _{i=1}^{n}{v_{i}}^{\prime }\cdot e_{i}$

那这样会有

$\sum _{i=1}^{n}(v_{i}-{v_{i}}^{\prime })\cdot e_{i}=0_{V}$

那这样表达式唯一等价于对所有的 $1\leq i\leq n$ 有 $v_{i}={v_{i}}$ ，或是说对所有 $\{c_{1},\,\cdots ,\,c_{n}\}\subseteq F$ 有

$(\,\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot e_{i}=0_{V}\,)\Rightarrow (\,\{c_{1},\,\cdots ,\,c_{n}\}=\{0_{F}\}\,)$

所以我们有下面这样"换句话说"的定义

线性空间 $V$ 定义在体 $F$ 上，若对 $E=\{e_{1},\,\cdots ,\,e_{n}\}\subseteq V$ 有

$(\forall C\subseteq F)\{[(\,C=\{c_{1},\,\cdots ,\,c_{n}\}\,)\wedge (\,\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot e_{i}=0_{V}\,)]\Rightarrow (\,C=\{0_{F}\}\,)\}$

我们称 $E$ 为线性独立的(linear independently)，反之称为线性相依的(linear dependently)。

也就是说，数学家喜欢如此地叙述我们上面的那小段结果：“"基底"对任意向量有唯一的表达式，等价于"基底"是线性独立的”。