微积分学/极限审敛法

极限审敛法

判断敛散性的第一步是极限审敛法。

极限审敛法
若级数$S=\sum _{n}^{\infty }{s_{n}}$满足$\lim _{n\rightarrow \infty }{s_{n}}\neq 0$，则该级数一定发散。若极限为零，则需要进一步分析以确定级数敛散性。

例1

对以下级数运用极限审敛法

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n}}$

解答：因为

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n+1}{n}}=1$

极限不为零，所以级数发散。

例2

对以下级数运用极限审敛法

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}$

解答：因为

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}={\frac {1}{3}}$

极限不为零，所以级数发散。

例3

对以下级数运用极限审敛法

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}$

解答：因为

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}=0$

极限为零，所以需要进一步分析以确定级数敛散性。