高中数学/预备知识/算术与代数

阅读指南

学习高中数学的读者应该具备一定程度的初中/国中数学知识基础，同时高中可能会需要用到少量在先前阶段没有作为重点学习过的知识。本节例举了一些学习高中数学必须掌握的算术与代数预备知识，并刻意撇去了一部分在高中阶段几乎不怎么会用到的初中/国中知识。读者可以速览本节内容，以便查漏补缺，减少知识死角。

高中数学的代数、函数运算技巧考察更多、更灵活，所以初中的代数、函数相关的基本功尤为重要。

出于篇幅不宜过长、内容不宜过杂的考虑，我们将“算术-代数”与“函数”的预备知识划入不同的章节。由于代数与函数图象确实有很密切的关系，我们只得将部分同时涉及一次函数、二次函数与反比例函数的解方程知识移入了函数预备知识一节，本节只会较少地提及它们。

基础知识

我们在这里给出对高中有用的初中算术与代数基础知识脉络，并以粗体显示其中重要性较大的知识点。

实数及其运算

有关“数与运算”，读者应该掌握的基础知识：

整数、自然数、奇数、偶数、分数、余数、小数的概念
正负数的四则运算以及去括号的注意事项
负数、数轴与绝对值的概念
绝对值的几何意义
有理数与无理数的区别
有理数与无理数的四则运算
乘方、开方与算术平方根的概念
含根号分母的有理化
熟记整数1～20的平方值
熟记2的10以内的整数次方的结果值
负幂次的含义
整数开方的取值估计

小学接触过的加、减、乘、除统称为四则运算。按照约定，在包含多种运算的混合算式中，应该先计数乘除法，再计算加减法。必要时可以通过添加小括号改变默认的运输优先顺序。当算式中出现多层括号时，依然是约定总是先计算完最内层的小括号，再计算外层的算式。

为了计数的方便，参与四则运算的数字可以大于零，也可以小于零。大于零的数叫做正数（positive number），小于零的数叫做负数（negative number），零既不是正数也不是负数。正数、零、负数之间可以进行绝大多数的四则运算，只有在除法中零不能作为除数是一个特殊例外。

初中范围内所有学过的数都可以比较大小，所以我们可以将它们表示在同一条有方向的直线上，这就是数轴或数线（number line）。数轴上的每一个点都与一个数一一对应。其中数字0所在的点叫做数轴的原点。数轴一般沿着水平向右的方向画出。数轴上的数默认从左往右依次增大，点与点之间的间距代表对应点之间的数值大小差异。

如果以原点为界，则数轴上的数可以分为正数、负数和零这3类：

数轴上与负数对应的点都在位于原点右侧。
0刚好位数轴的于原点上。
数轴上与正数对应的点都在位于原点左侧。

数轴上的任意一个数字与零的间距大小叫做这个数字的绝对值（absolute value）。x的绝对值记为|x|。绝对值永远是非负的数，即 $|x|\geq 0$ 。

自然数包括零和一切正整数。

所有能表示为2个整数之商的数都叫做有理数或比例数（rational number）。为了一类乘除性计算的方便，我们为有理数规定了乘方（幂）、开方的运算，由此不可避免地导致非有理数的出现。可以与其它有理数比较大小，但是不能表示为2个整数之商的数叫做无理数或非比例数（irrational number）。无理数是存在的，并且它们的对应点和有理数的对应点一样都分布在数轴上。有理数可以表示为有限循环小数，无理数则是无限不循环小数。

由于对于有理数和无理数，都可以规定相似的运算法则，我们因而在很大程度上可以将其作为同类事物加以研究。为了区别后面将要介绍的另一种数字，我们将有理数和无理数合称为实数（real number(s)）。

整式、分式与根式

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多项式

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因式分解

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分式

有关“代数式基础”，读者应该掌握的基础知识：

整式、分式与根式的概念
n元多项式、n次多项式及其标准形式、齐次和式的概念
完全平方公式（简单的配方法）、平方差公式
平方和与平方差的转换技巧
套用代数公式时的整体代换思想
因式分解
方程、解（根）、移项、等价变形的概念
一元一次方程的列式与求解

含有未知数的等式叫做方程（法语：équation）。英语中说的“equation”可以泛指等式或方程。阿拉伯人把方程的解也叫做方程的根（root）。

有关“比例、分式方程与二次根式”，读者应该掌握的基础知识：

比例与分式的对应关系
比例的合分比等性质
正比例与反比例的概念
分式方程的基本性质
增根与丢根现象及其解决办法
二次根式及其分母有理化

解方程组

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线性方程组

有关“解方程组”，读者应该掌握的基础知识：

二元一次方程组及其消元法与代入法
了解三元一次方程组的求解
直接或间接消元的思想、整体代换（设而不求）的思想
了解方程独立性的概念

方程的同解性与分式方程

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分式方程

解方程时需要进行代数变形，不过此过程中可能会因为变形前后形式的不完全等价性，导致出现解的范围发生变化，出现漏根或增根的问题。要防止漏解，应该检查每一步变形的等价性，记录可能遗漏的情形；要防止出现原先不应该有的增解，应该将最后得到的解带入原来的分式中，舍弃无效的解。

不等关系的基本性质

有关“简单的不等式性质”，读者应该掌握的基础知识：

不等式的简单性质及其传递性
不等式的叠加规则
在不等式两侧乘除系数时的注意事项

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不等式

表达不等性（inequality）的式子叫做不等式（inequation），例如 $a+3\neq 5$ 。大于与小于叫做互为反序关系（converse relation）。

我们更加感兴趣的是具有确定大小次序关系的不等式，即用下列符号表示的不等关系：

严格大于（strictly greater than）：>
严格小于（strictly less than）：<
大于或等于（greater than or equal to）：≤或⩽
小于或等于（less than or equal to）：≥或⩾

提示： $a>0$ 且 $b>0$ 有时会简写为 $a,b>0$ 。一般不把 $a<b,b<c$ 当作不等式链理解，即它只被看成 $a<b$ 且 $b<c$ 。

这种不等号表示的关系有时可以组成单方向的不等式链条，叫不等式链（chain of inequations）。例如： $a<b<c\leq d$ 。

不等式有一大堆与等式相似的基本性质，可以用于不等关系的推理或证明，而且也需要注意推导是否是等价的变形。^[1]

等价变形：

$a>b\Leftrightarrow b<a$ （反对称性，antisymmetric）
$a-b>0\Leftrightarrow a>b$
$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$
$a+x>b\Leftrightarrow a>b-x$

单方向推导：

$a>b$ 且 $b>c\Rightarrow a>b>c$ （传递性，transitive property）
$a>b$ 且 $c>d\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}a+c>b+d\\a-d>b-c\end{array}}\right.$
$a>b$ 且 $c>0\Rightarrow ac>bc$
$a>b$ 且 $c<0\Rightarrow ac<bc$
$\left\{{\begin{array}{l}a>b>0\\c>d>0\end{array}}\right.\Rightarrow ac>bd$
$a>b>0\Rightarrow a^{n}>b^{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$
$a>b>0\Rightarrow {\sqrt[{n}]{a}}>{\sqrt[{n}]{b}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$

以上只列举出了大于和小于号的运算性质。大于等于或小于等于的性质与之完全相似，不再赘述。

大于等于或小于等于关系与等价关系一样，还满足自反性（reflexive property）：
$a\leq a,a\geq a$

注意：一般来说，涉及乘除法时需要特别留意乘除的倍数是正数还是负数。当不等式的两端同时乘以或除以同一个负数的时候，不等式号要改变符号方向。

还有其它较少见的表达不等关系的符号，其中在中学数学中偶尔能见到的有远大于（much less than，记作“>>”）和远小于（much greater than，记作“<<”）符号。

相关例题1：比较 ${\frac {1}{\sqrt {4}}}$ 与 ${\frac {1}{\sqrt {5}}}$ 的大小。

相关例题2：解不等式 ${\sqrt {x^{2}+1}}\geq {\sqrt {2x}}$ 。

相关例题3：解不等式 ${\sqrt {x}}\geq {\sqrt[{3}]{x}}$ 。

相关例题4：求证将2个电阻并联后，总的等效电阻值会小于原来的任何一个单电阻的阻值。

相关例题5：设 $c\geq 1,a,b>0$ ，求证 ${\sqrt {a+c{\sqrt {b}}}}\leq {\sqrt {c}}{\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}$ 。

简单分式不等式的求解

包含分式的不等式叫分式不等式。例如 ${\frac {x+1}{x-2}}+3>{\frac {2}{x+2}}$ 。求解分式不等式中的变量取值范围时，除了要像解方程时一样防止进行代数变形时可能产生的漏解或增解问题，还要注意不等式是否会变号的问题。

相关例题1：解不等式： ${\frac {x+1}{x-1}}>2$ 。

相关例题2：解不等式： ${\frac {3x+1}{x}}>2x-1$ 。

代数应用问题

有关“代数基础应用问题模型”，读者应该掌握的基础知识：

利率以及复利的计算
简单的工程问题、行程问题、年龄问题的求解
鸡兔同笼等双未知量问题的列式求解

常用结论与常见模型

分母的有理化

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分母有理化

分母的有理化常见操作：

${\frac {1}{\sqrt {a}}}={\frac {\sqrt {a}}{a}}$
${\frac {1}{{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}}={\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{a-b}}$
${\frac {1}{a+{\sqrt {b}}}}={\frac {a-{\sqrt {b}}}{(a+{\sqrt {b}})(a-{\sqrt {b}})}}={\frac {a-{\sqrt {b}}}{a^{2}-b}}$
${\frac {1}{a-{\sqrt {b}}}}={\frac {a+{\sqrt {b}}}{(a-{\sqrt {b}})(a+{\sqrt {b}})}}={\frac {a+{\sqrt {b}}}{a^{2}-b}}$

比例的性质补充

关于比例（分数或分式），有下列性质值得注意：

合分比性质：已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，则有 ${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}$ 。
等比性质：已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，则有 ${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ 。

黄金分割率满足下列特殊等式：

$\phi ={\frac {1}{\phi }}+1$ 或 $\phi ^{2}-\phi -1=0$

十字相乘法分解因式

对比系数与待定系数法

对比系数与待定系数法在数学中有众多应用：

分式拆分
因式分解（配方法、十字相乘法、结果唯一性的证明）
有理方程的试根法（rational root test）或克罗内克方法（Kronecker method）
裂项法
多项式恒等问题
直线与曲线方程的未知参数求解

相关例题1：已知 ${\frac {4x+1}{(x-2)(x-5)}}={\frac {A}{x-5}}+{\frac {B}{x-2}}$ ，求A、B的值。

当分式可以拆成的简单分式（分子皆为常数）较多时，其实上述直接比较系数的做法也可行，但是会比较繁琐。后面会学到，基于极限理论的黑维塞分数拆分法能够更快解决上述分式拆分问题。

相关例题2：已知 $a=2005,b=2006$ ，求 $(a+b)\cdot {\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{4}-b^{4}}}$ 的值。

相关例题3：已知 $\forall x\in \mathbb {R} ,ax^{2}+(b+1)x+c=(x+4)(x-3)$ ，求a、b、c的值。

相关例题4：分解因式： $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6$ 。

参考解答：
易知原式等价于 $(2x+y)(x-3y)+(x+11y-6)$ 。
可设原式可分解成 $(2x+y+m)(x+3y+n)$ 的形式。
$(2x+y+m)(x+3y+n)=2x^{2}-5xy-3y^{2}+(m+2n)x+(n-3m)y+mn$
要使得上式与原式等价，只需要保证展开后的各项系数同时对应相等。即：
$\left\{{\begin{array}{l}m+2n=1\\n-3m=11\\mn=-6\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}m=-3\\n=2\end{array}}\right.$
即 $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6=(2x+y+m)(x+3y+n)=(2x+y-3)(x+3y+2)$ 。

答案： $(2x+y-3)(x+3y+2)$ 。

相关例题5：分解因式： $x^{3}-4x^{2}+2x+1$ 。

平方转化与立方和差公式

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立方和

常见的平方关系转化：

$(a+{\frac {1}{a}})^{2}=(a^{2}+{\frac {1}{a^{2}}})+2$
$(a-{\frac {1}{a}})^{2}=(a^{2}+{\frac {1}{a^{2}}})-2$
$(a+{\frac {1}{a}})^{2}=(a-{\frac {1}{a}})^{2}+4$

立方和差公式：

$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$

整体代换思想

整体代换是一种结合条件和问题形式特点，避免硬算出所有中间结果的技巧。

相关例题1：已知 $a+b=4,ab=3$ ，求 ${\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}$ 的值。

对于已知信息为比例式，待求值的式子为齐次代数式的情形，往往要优先想到利用整体代换的思想求解。

相关例题2：已知 ${\frac {a}{b}}=2$ ，求 ${\frac {a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$ 的值。

相关例题3：已知 ${\frac {b}{a}}={\frac {9}{10}}$ ，求 $(1-{\frac {b}{a}})^{2005}\cdot ({\frac {a}{b-a}})^{2008}$ 的值。

有些题目只适合使用整体代换的方法巧解。用基础方法硬算反而会将这类问题复杂化，甚至变得需要分类讨论。

相关例题4：已知 $x+{\frac {1}{x}}=3$ ，求 ${\frac {x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}}$ 的值。

相关例题5：已知 $x^{2}-5x+1=0$ ，求 $x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}$ 的值。

相关例题6：已知 ${\frac {1}{2a^{2}+3b+7}}={\frac {1}{8}}$ ，求 ${\frac {1}{4a^{2}+6b-9}}$ 的值。

相关例题7：已知 $2^{k}-{\frac {3}{2^{k}}}-a=0\quad (k\in \mathbb {N} ,a\in \mathbb {R} )$ ，用含a的代数式表示 $8^{k}$ 的值。

糖水不等式

糖水不等式是指：假设 $0<a<b,c>0$ ，则有 ${\frac {a}{b}}>{\frac {a+c}{b+c}}$ 。

它的直观意义是：往糖水里加糖，会变得更甜。（假设糖在糖水中的质量比例能代表糖水甜度，且加糖后含糖比例不超出糖水的饱和度范围。）

提示：糖水不等式没有正式的英文称呼。

这个不等式虽然形式看似简单，却也是构成后面不等式放缩技巧的基石。

绝对值不等式

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绝对值不等式

关于绝对值的简单比较，有下列绝对值不等式成立：

\forall a,b\in \mathbb {R} ,\mid \shortmid a\shortmid -\shortmid b\shortmid \mid \leqslant \mid a\pm b\mid \leqslant \mid a\mid +\mid b\mid

上式中的2个等号不会同时成立，但是各自取等的条件都只可能是a = b或a = -b。

提示：绝对值不等式没有正式的英文称呼。英文中的“绝对值不等式”（absolute value inequality）常常是泛指一切包含绝对值符号的代数不等式。

后面会学到，绝对值不等式可以看作是三角不等式的特例，后者更易理解。

补充习题

已知 ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{a+b}}$ ，求 ${\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}$ 的值。
已知 $x^{2}-3x+1=0$ ，分别求 $x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}$ 和 $x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}$ 的值。
已知 $a-b=ab$ ，求 ${\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}$ 的值。
已知 $a^{2}-4ab+4b^{2}=0$ ，求 ${\frac {a-b}{a+b}}$ 的值。
已知1 + a与1 - b互为倒数，且 $ab\neq 0$ ，求 ${\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}$ 的值。
已知 ${\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}=3$ ，求 ${\frac {5a+3ab-5b}{3a-ab-3b}}$ 的值。