高中数学/平面解析几何/圆的方程

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

预备知识

阅读本节，需要先学习有关直线方程补充知识、任意角的三角比的知识，并了解圆的定义。

此外，学习有关弦长公式的推导和使用，还需要了解韦达定理与平方项的代数变形技巧。

考试要求

对于有应试需要的读者，本节介绍的内容中，只有圆系方程的相关知识不是必须掌握的。圆是最简单的曲线之一，对于圆本身以及圆与直线的问题，争取做到熟练求解是很有必要的，而且也是并不难做到的。

基础知识

圆的标准方程

我们考虑设圆心为C(a, b)，半径为r的圆。根据圆的定义，圆周上的点到圆心的距离一定都等于半径，所以圆周上的任意一点M (x, y)一定都满足|MC| = r。
再由勾股定理可知点M与圆心C的距离：$|MC|={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}$。
由此可得此圆周的方程：
${\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}=r\quad \Leftrightarrow \quad (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

圆心为C (a, b)，半径为r的圆周的平面直角坐标方程为：

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

这个方程叫做圆的标准方程（standard form for the equation of a circle），简称为圆的方程（circle equation）。

提示：(1)圆的方程就是指圆周的方程，一般不会包含圆的内部区域。(2)“圆外的一点”有时也泛指不在圆周上的点（可能在圆周内侧，也有可能在圆周外侧），读者需要根据上下文自行判断。

当同时已知圆的半径和圆心时，可以直接参照标准方程写出圆的方程。而当只知道圆的半径或圆心，连同知道一些其它条件时，设出圆的标准方程并采用待定系数法求解是最基础的做法。解题时要注意利用问题中提供的信息列式。

相关例题1： 求经过两点A (3, 5)和B (-3, 7)，并且圆心在x轴上的圆的方程。

相关例题2： 已知半径为5的圆经过点A (-2, 6)，且有一条长度为$2{\sqrt {5}}$的弦刚好被点P (5, 4)平分。求此圆的方程。

圆的一般方程

将圆的标准方程$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$展开，可得下列形式：
$x^{2}+y^{2}-2ax-2by+(a^{2}+b^{2}-r^{2})=0$
这说明圆的方程都可以写成下列的特殊二次曲线形式：
$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\quad (D,E,F\in \mathbb {R} )$

反之则未必如此。为说明这一点，我们从方程形如$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$的曲线入手，先依次对其中含x与含y的项进行配方，看是否能转换为圆的标准方程：
$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\quad \Leftrightarrow \quad (x+{\frac {D}{2}})^{2}+(y+{\frac {E}{2}})^{2}={\frac {D^{2}+E^{2}-4F}{4}}$
由于圆的半径必须大于0，所以上式右端分式中的分子$D^{2}+E^{2}-4F$能否满足大于0的条件就成了关键。
①当$D^{2}+E^{2}-4F>0$时，通过与圆的标准方程比较对应系数，容易看出该方程此时表示圆心在$(-{\frac {D}{2}},-{\frac {E}{2}})$，半径$r={\frac {\sqrt {D^{2}+E^{2}-4F}}{2}}$的圆。
②当$D^{2}+E^{2}-4F=0$时，方程只有唯一的实数解$x=-{\frac {D}{2}},y=-{\frac {E}{2}}$，所以表示的是一个点$(-{\frac {D}{2}},-{\frac {E}{2}})$。
③当$D^{2}+E^{2}-4F<0$时，方程没有实数解，它不表示任何图形。

在平面直角坐标系中，圆的一般方程（general equation for a circle）为：

$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\quad (D^{2}+E^{2}-4F>0)$

圆的标准方程突出了圆的几何特征：指明了圆心的位置和半径大小。

圆的一般方程突出了圆作为特殊二次曲线的代数特征：

• $x^{2},y^{2}$两项的系数都是相同的非零实数。
• 展开式中不存在xy这样的“交叉性的”二次项。

点或直线与圆的位置关系

由圆标准方程的几何意义可以判断点$P(x_{0},y_{0})$与圆$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$的位置关系：

• 点P在圆的内侧等价于$(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}<r^{2}$
• 点P在圆周上等价于$(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}=r^{2}$
• 点P在圆周的外侧等价于$(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}>r^{2}$

直线与圆的位置关系分为下列几种情形：

• 有2个交点。此时圆心到直线的距离小于圆的半径。
  • 特别地，当圆心到直线的距离为0时，直线正好通过圆心，将圆周一分为二。
• 有1个交点。此时圆与直线相切，圆心到直线的距离刚好等于圆的半径。
• 不相交。此时圆心到直线的距离大于圆的半径。

判断直线与圆的交点个数，除了以上基于几何直观的处理思路，也可以用基于方程的思想处理。即联立直线与圆的方程，然后对所得的二次方程使用根的判别式处理。

相关例题： 圆心在原点上，与直线x + y - 2 = 0相切的圆的方程是(    )。
（出自2010年中国大陆高考数学宁夏卷第Ⅱ卷第13题（填空题第1题）。）

论证直线与圆相交，常用方法有3种：

• 证明圆心到直线的距离小于半径。
• 证明由直线和圆的方程联立组成的方程组有2组不同的解。
• 证明直线恒过圆内部的一个定点。这种方法主要适用于某些含可变参数，但是容易判断出所过定点的直线。

对于直线与圆相交的较简单问题，常见的题型有下列几种：

• 求直线与圆的交点。联立并求解方程组即可。
• 不需要求交点。只要判断直线与圆是否相交，通常转化为圆到直线的距离与半径比较大小。
• 求弦中点的未知。求出交点后，用中点坐标公式计算两个交点的中点。或者利用后面要介绍的基于韦达定理的点差法求解。
• 求弦长。可以在求出交点后直接利用两点的距离公式计算弦长。有时也可以采取初中几何的做法，取半径、半弦长、弦心距组成一个直角三角形，利用半径的定义和勾股定理解题。

此外，求圆的切线的问题也比较常见，但是这类问题还需要补充一些结论才好处理一些，所以我们选择在本节后面的某些小节中再去讨论圆的切线问题。

圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系分为5种情形：完全包含、内切、相交于2点、外切、相离。

由几何预备知识或生活常识可知，如果我们分别设圆A、B的半径为$r_{a},r_{b}$（不妨设$r_{a}<r_{b}$），两圆圆心的间距为d，则两圆的位置关系可以区分如下：

• 完全包含：$d+r_{a}<r_{b}$
• 内切：$d+r_{a}=r_{b}$
• 相交于2点：$d+r_{a}>r_{b},d<r_{a}+r_{b}$
• 外切：$d=r_{a}+r_{b}$
• 相离：$d>r_{a}+r_{b}$

有时，如果问题只需要粗略判断圆和圆是无交点（不区分包含还是相离）、相切（不区分内切还是外切）还是相交，可以模仿直线与圆位置关系的判断方法，直接通过联立2个圆的方程，然后利用二次方程的判别式，判断解的个数即可。

圆的参数方程

设圆心在原点、半径为r圆周上有一个动点M，它从位于x正半轴上的点(r, 0)开始出发，沿着逆时针方向运动。则由三角函数的单位圆定义可知，该动点转过的角度（弧度）与所在的位置之间存在如下关系：

$\left\{{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{array}}\right.$

更一般地说，在上述结论的基础上，利用图形的平移变换，即可以推知圆心在点(a, b)、半径为r的圆（周）的参数方程。

圆心在点(a, b)、半径为r的圆（周）的参数方程（parametric equation(s) of a circle）为：

$\left\{{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\y=b+r\sin \theta \end{array}}\right.$

该方程描述平面上以转角大小$\theta$为参变量，a、b、r为常量的动点轨迹。当$\theta$确定时，动点的坐标x与坐标y的值也都同时确定。

常用结论与常见模型

圆的切点弦方程和切线方程

相关例题1： 已知圆的方程是$x^{2}+y^{2}=4$，求经过此圆上一点$M(x_{0},y_{0})$的切线方程。

参考解答：
记原点为O。先只考虑切线非沿水平或垂直方向的情况。此时可设切线斜率为$k_{1}$，从圆心与切点连线OM的斜率为$k_{2}$。
由于O点的坐标为(0, 0)，M点的坐标已经设为$(x_{0},y_{0})$，所以按照两点的斜率计算公式，$k_{2}={\frac {y_{0}}{x_{0}}}$。
又因为作为半径的OM一定与过切点M的切线垂直，所以$k_{1}k_{2}=-1$，即$k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}=-{\frac {x_{0}}{y_{0}}}$。
由于已知M点的坐标表达式，也知道过该点的切线斜率$k_{1}$的表达式，所以此切线可以利用点斜式方程表达如下：
${\begin{array}{l}(y-y_{0})=k_{1}(x-x_{0})=(-{\frac {x_{0}}{y_{0}}})(x-x_{0})\\\Rightarrow x_{0}x+y_{0}y=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\end{array}}$
又因为点$M(x_{0},y_{0})$在圆上，所以该点坐标满足圆的方程：$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4$。
利用这个关系式可以进一步简化前面的结果：
$x_{0}x+y_{0}y=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4\quad \Rightarrow \quad x_{0}x+y_{0}y=4$
对于切线沿水平或竖直方向的情形（切点在圆周上的最偏上、下、左、右的4个点），也不难验证此切线方程也是成立的。
于是所求的切线方程就是$x_{0}x+y_{0}y=4$。

答案：$x_{0}x+y_{0}y=4$。

相关例题2： 已知点P (-4, 7)，圆$O:x^{2}+y^{2}=13$。从点P作圆O的2条切线PA、PB，其中A、B分别为对应的切点。求直线AB的方程。

通过上述例题，我们指出下列看上去形式上很凑巧的结论：

圆周$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$上任意一点$P(x_{0},y_{0})$处的切线方程为：

$(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$

• 特别地，圆心在原点的圆周$x^{2}+y^{2}=r^{2}$上任意一点$P(x_{0},y_{0})$处的切线方程为：

$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$

圆周$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$上任意一点$P(x_{0},y_{0})$处的切线方程为：

$x_{0}x+y_{0}y+D{\frac {x_{0}+x}{2}}+E{\frac {y_{0}+y}{2}}+F=0$

由圆周$x^{2}+y^{2}=r^{2}$外侧的一点$P(x_{0},y_{0})$向该圆周作2条切线，则2个切点AB连结而成的切点弦所在的直线方程的形式也为：

$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$

提示：事实上，这个结论并非简单的巧合，不但可以推广到圆心不位于原点的其它圆方程，而且对于后面即将学到的椭圆等圆锥曲线，也有完全类似的结论。由于我们会在导数与切线方程一节中论证对于二次曲线成立的更普遍情形，所以为简洁起见、避免重复啰嗦，这里不再赘述。就本节中遇到的情况而言，其论证方法与例题中的做法一样，读者可自行模仿其中的步骤来给出证明。

对称问题

有关圆的常见对称问题常常需要借助点或直线的对称知识解决，尤其是确定圆心关于定点或定直线的对称点。

相关例题1： 求圆$C:x^{2}+y^{2}=4$关于点(2, 3)中心对称的圆的方程。

相关例题2： 求圆$C:x^{2}+y^{2}+4x-12y+39=0$关于直线3x - 4y + 5 = 0对称的圆的方程。

弦长公式

设直线L : y = kx + m与圆$C:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$存在2个不同的交点$A(x_{1},y_{2})$和$B(x_{2},y_{2})$。我们来计算弦长|AB|在这种情况下与什么因素有关，换句话说，就是来寻找其简化计算公式。
首先因为A与B都是即在圆上，也在直线上，所以必然都同时满足二者的方程。即下列的方程如果存在2个解，这2个解一定分别是A和B的坐标：

$\left\{{\begin{array}{l}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\y=kx+m\end{array}}\right.$

先化简其中的第1个式子：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}-2a+a^{2}+y^{2}-by+b^{2}=r^{2}$
由于这2个点都满足所给直线方程，所以可以将关系式y = km + m代入，从而将变量都统一为x：
${\begin{array}{l}x^{2}-2a+a^{2}+(kx+m)^{2}-b(kx+m)+b^{2}=r^{2}\\x^{2}-2a+a^{2}+(k^{2}x^{2}+2kmx+m^{2})-b(kx+m)+b^{2}=r^{2}\\(1+k^{2})x^{2}+(2m-b)kx+m^{2}+b^{2}-bm-2a+a^{2}-r^{2}=0\end{array}}$
在这里，我们不打算硬算出$x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}$的值，而是设法利用韦达定理结合平方项的代数变形技巧套出|AB|的值。具体做法为：
${\begin{array}{l}|AB|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+((kx_{1}+m)-(kx_{2}+m))^{2}}}\\={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+k^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}-x_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2})}}\end{array}}$
根据韦达定理，只要知道消元后所得的二次方程的2个x值之和$x_{1}+x_{2}$与2个x值之积$x_{1}x_{2}$，代入即可求出弦长的值。上述公式一般被叫做弦长公式。

提示：弦长公式没有专门的英文名称。

从上述推导中不难发现有：

• 原距离表达式中的2个y值的代数关系，通过代入直线约束y = kx + m，即可转换为2个x值的代数关系。这是一种问题中涉及直线约束时，统一变量形式的常见的简便做法。
• $|AB|={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}-x_{2})^{2}}}=|x_{1}-x_{2}|{\sqrt {(1+k^{2})}}$
• 当已知消元后的二次方程整理为$Ax^{2}+Bx+C=0$的形式后，还可以继续利用韦达定理对上述弦长公式进行变形：

${\begin{array}{l}|AB|={\sqrt {(1+k^{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})((-{\frac {B}{A}})^{2}-4{\frac {C}{A}})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})({\frac {B^{2}}{A^{2}}}-{\frac {4C}{A}})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})({\frac {B^{2}-4AC}{A^{2}}})}}\\={\sqrt {1+k^{2}}}\cdot {\frac {\sqrt {\Delta }}{|A|}}\end{array}}$

• 弦长公式只基于直线方程与二次方程的韦达定理，因此对除圆方程以外的更一般的二次曲线$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0\quad (A,B,C,D,E,F\in \mathbb {R} )$（A与B不同时为零）与直线有2个交点的情形，应该也是仍然成立的。

因为上述各式中只涉及到以x为变量的二次方程，当我们在直线与圆的方程组中消去y得到关于x的二次方程时，才能使用这个公式。不过，我们也可以选择消去x后得到关于y的二次方程。所以我们也会需要用到有关2个y值与弦长|AB|的关系。我们不必重新推导，将上述公式通过简单的反向代数变形$x={\frac {y-m}{k}}$，就能得到：
${\begin{array}{l}|AB|={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}-x_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(1+k^{2})({\frac {y_{1}-m}{k}}-{\frac {y_{2}-m}{k}})^{2}}}={\sqrt {(1+k^{2})({\frac {y_{1}-y_{2}}{k}})^{2}}}\\=|y_{1}-y_{2}|{\sqrt {\frac {1+k^{2}}{k^{2}}}}=|y_{1}-y_{2}|{\sqrt {1+{\frac {1}{k^{2}}}}}\end{array}}$
并且此时对于只含y的二次方程，也有下列公式成立：
$|AB|={\sqrt {1+{\frac {1}{k^{2}}}}}((y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2})={\sqrt {1+{\frac {1}{k^{2}}}}}\cdot {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}$

我们已经知道在解析几何中，运算与求解是比较繁琐的，尤其是无法使用计算机、不得不使用手工计算的情形。因此，采取合理的技巧，避免直接的硬算而同样得到正确的答案就变得比较重要。在上述弦长公式的推导过程中，采用的就是设而不求的整体代换思想简化计算步骤。在更广的层面上来说，可直接硬算求解的问题只是少数，更多的问题我们只能建立好关系式，然后进行整体地分析与判断其性质。不拘泥于细节计算（尤其是个别解的具体形式）的表象，通过巧妙的代换直奔问题核心，对于不易直接求解的问题才能获得更广的处理思路。我们将来在学习后续的特殊函数理论、数值分析等课程中都需要习惯适应这种对数学模型、核心关系式进行整体把握的思想。

设直线y = kx + m与二次曲线相交于不同的两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，易知将它们联系方程组并消元后所得的二次方程判别式应该大于0。对于求解其交点弦AB的长度，有下列的弦长公式：

${\begin{array}{l}|AB|=|x_{1}-x_{2}|{\sqrt {(1+k^{2})}}={\sqrt {(1+k^{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2})}}\\=|y_{1}-y_{2}|{\sqrt {1+{\frac {1}{k^{2}}}}}={\sqrt {(1+k^{2})((y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2})}}\end{array}}$

由于此弦长公式对于椭圆等其它二次曲线也成立，我们以后还会继续频繁使用它。

阿氏圆及其方程

阿波罗尼奥斯（希腊语：Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος，英語：Apollonius of Perga，前262年－前190年）是古希腊著名的数学家和天文学家，古典几何学的集大成者，尤其以对圆锥曲线的研究而闻名于世。

古希腊数学家阿波罗尼奥斯曾证明下列定理：

• 已知平面上两点A、B，则所有满足${\frac {|PA|}{|PB|}}=k\neq 1$的点P的轨迹是一个圆。

设A为坐标原点，再设好固定点$B(a,0)\quad (a\neq 0)$和动点P (x, y)。
首先，由平面上两点间的距离公式可得：
$\left\{{\begin{array}{l}|PA|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\|PB|={\sqrt {(x-a)^{2}+y^{2}}}\end{array}}\right.$
由已知约束条件${\frac {|PA|}{|PB|}}=k\neq 1$可得：
${\begin{array}{l}|PA|=k|PB|\\\Rightarrow {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=k{\sqrt {(x-a)^{2}+y^{2}}}\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}=k^{2}((x-a)^{2}+y^{2})\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}=k^{2}(x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2})\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}=k^{2}x^{2}-2ak^{2}x+k^{2}a^{2}+k^{2}y^{2}\\\Rightarrow (1-k^{2})x^{2}+2ak^{2}x+(1-k^{2})y^{2}=k^{2}a^{2}\end{array}}$
由于$1-k^{2}\neq 0$，可以对上式的等式两端同时除以$(1-k^{2})$因子：
${\begin{array}{l}x^{2}+{\frac {2ak^{2}}{1-k^{2}}}x+{\frac {1-k^{2}}{1-k^{2}}}y^{2}={\frac {k^{2}a^{2}}{1-k^{2}}}\\\Rightarrow x^{2}+{\frac {2ak^{2}}{1-k^{2}}}x+y^{2}={\frac {k^{2}a^{2}}{1-k^{2}}}\end{array}}$
将上式的等式两端同时加上$({\frac {ak^{2}}{1-k^{2}}})^{2}$以便对变量x配平方：
${\begin{array}{l}(x^{2}+{\frac {2ak^{2}}{1-k^{2}}}x+({\frac {ak^{2}}{1-k^{2}}})^{2})+y^{2}={\frac {k^{2}a^{2}}{1-k^{2}}}+({\frac {ak^{2}}{1-k^{2}}})^{2}\\\Rightarrow (x^{2}-{\frac {ak^{2}}{k^{2}-1}})^{2}+y^{2}={\frac {k^{2}a^{2}}{1-k^{2}}}+{\frac {a^{2}k^{4}}{(1-k^{2})^{2}}}\\={\frac {k^{2}a^{2}(1-k^{2})+a^{2}k^{4}}{(1-k^{2})^{2}}}={\frac {k^{2}a^{2}-k^{4}a^{2}+a^{2}k^{4}}{(1-k^{2})^{2}}}={\frac {k^{2}a^{2}}{(1-k^{2})^{2}}}=({\frac {ak}{1-k^{2}}})^{2}\end{array}}$
这是一个圆心在点$({\frac {ak^{2}}{k^{2}-1}},0)$、半径为$|{\frac {ak}{1-k^{2}}}|$的圆。
此外，当k = 1时，易知所得动点轨迹为线段AB的垂直平分线。

类似地：

• 如果取A点坐标为(a, 0)，B点为原点，则可得到圆方程为：$(x+{\frac {a}{k^{2}-1}})^{2}+y^{2}=({\frac {ak}{k^{2}-1}})^{2}$
• 如果取A点坐标为(a, 0)，B点坐标为(-a, 0)，则可得到圆方程为：$(x+{\frac {k^{2}+1}{k^{2}-1}}a)^{2}+y^{2}=({\frac {2ak}{k^{2}-1}})^{2}$

平面上到2个定点的距离之比是常数$k\quad (k>0,k\neq 1)$的动点的轨迹是一个圆，叫做阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆。

阿氏圆的圆心在直线AB上，半径为AB长度的${\frac {k}{|k^{2}-1|}}$倍。

了解阿氏圆至少有2点突出的意义：

• 可以给出定义圆的另一种方法。（虽然按此定义手工绘图作圆时并不好弄。）
• 当k变化时，由2个相同定点产生一系列圆心位置彼此不同的阿氏圆（偏心圆）。而且这些阿氏圆刚好可以用作坐标曲线，描述由等量异种电荷产生的静电场的一组等势面。

相关例题： 由两定点A、B所确定的阿氏圆，其圆心有无可能位于线段AB之上？

圆系方程

具有共同特征的一组圆叫做一个圆系列（pencil of circles），也译为圆系或圆束。如果一个方程能描述一组具有某种共同特征的圆，那么这样的方程就叫做圆系方程（equation for a pencil of circles）。

下面先列举几种只涉及圆与圆交点的常见圆系方程（圆与直线相交或相切的情形稍后再介绍）：

• 以(a, b)为圆心的同心圆圆系方程：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\lambda ^{2}\quad (\lambda \neq 0)$
• 过同一公共点(a, b)的圆系方程：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+\lambda _{1}(x-a)+\lambda _{2}(y-b)=0$
• 过两圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0$的交点的圆系方程：$(x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1})+\lambda (x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0$
• 与圆$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$相切于点$M(x_{0},y_{0})$的圆系方程：$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\lambda (x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F)=0$（$\lambda \neq -1$，且该方程不包括原来给定的圆本身）

对于其中过两圆交点的圆系方程，还需要注意：

• 该圆系方程不含有圆$C_{2}$，因此使用此方程时需要注意单独检验$C_{2}$是否也满足题意，以防遗漏可行的解。
• 当两圆相交时，取$\lambda =-1$，则可得两圆的公共弦所在的直线方程为：$(D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0$
• 当两圆相切（不论内切或外切）时，该方程中的所有圆都彼此相切。取$\lambda =-1$，还可得两圆的公切线方程：$(D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0$

单从定义来看，圆系其实是一个过于宽泛、比较模糊的概念。我们必须思考，提出圆系这样一个宽泛的概念，对于解决具体问题是否有实际帮助。实际上，需要重点掌握的圆系及其圆系方程并不多，这些圆系方程才是真正有助于提供新思路解决问题的。

相关例题1： 求圆心在直线x + y = 0上，且过2个已知圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-2x+10y-24=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}+2x+2y-8=0$交点的圆的方程。

分析与提示：
此题的常规思路是先解出已知的2个圆的交点（算出来位于(-4, 0)和(0, 2)），然后可以根据3种不同的思路确定圆心和半径。第1种是采用待定系数法，然后建立方程组求解；第2种是利用所求圆的圆心必然同时在弦的中垂线与已知直线上这一条件，联立直线方程组求出交点即为圆心，然后就可以进而得到半径；第3种是在已知直线上寻找同时到2个已知交点距离相等的点，根据到2点的距离约束联立方程组确定圆心，进而得到半径。
圆系方程的做法则是先写出与两圆交于同样两点的圆系方程，然后根据圆系方程的形式初步确定圆心的表达式。圆系方程中含有未知参数$\lambda$，进而由它得到的圆心坐标也会包含$\lambda$。这个不算问题，因为我们还会利用题中的其它约束条件列式，就可以确定$\lambda$的具体取值。由于已知圆心在给定的直线上，即可将圆心坐标代入直线，从而求出圆系方程中的待定参数。

参考解答：
由于所求的圆通过$C_{1},C_{2}$的交点，所以可以设出满足这一条件的圆系方程：
${\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2x+10y-24+\lambda (x^{2}+y^{2}+2x+2y-8)=0\quad (\lambda \neq -1)\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}+{\frac {2(\lambda -1)}{1+\lambda }}x+{\frac {2(5+\lambda )}{1+\lambda }}y-{\frac {8(3+\lambda )}{1+\lambda }}=0\end{array}}$
由配方后的大致形式可知其圆心坐标为$({\frac {1-\lambda }{1+\lambda }},-{\frac {5+\lambda }{1+\lambda }})$。
因为圆心在直线x + y = 0上，因此圆心满足该直线方程。将圆心坐标代入其中可得：
${\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}+(-{\frac {5+\lambda }{1+\lambda }})=0\quad \Rightarrow \quad \lambda =-2$
由于$\lambda$的值已经确定，所以原先所设的圆系方程可以化简为：
${\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2x+10y-24+(-2)\cdot (x^{2}+y^{2}+2x+2y-8)=0\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x-6y+8=0\end{array}}$

答案：$x^{2}+y^{2}+6x-6y+8=0$。

点评：采用圆系方程的解法分析圆心坐标时，不需要将圆系方程中的所有项全部配方并整理完毕。只需要大致观察配好的平方项应该是什么样子的，以便能确定圆心位置的程度就够了，剩余的系数如何整理可以不必去管。

相关例题2： 设$C_{1}:x^{2}+y^{2}+6x-4=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}+6y-28=0$。

(1) 求过这2个圆交点的直线方程。

(2) 求过这2个圆交点，并且圆心在直线x - 4 = 0上的圆的方程。

分析与提示1：第1问由于所求直线同时通过2个已知圆的交点，因此需要同时利用2个圆的信息。只要联立2个圆方程，不难得到含x和y的一次方程。而一次方程正好就是表示一条直线。难点在第2问。通过初步分析可以发现，所求的圆心一定在已知的2个交点的中垂线上，或者说是在两圆的连心线上。先求出两圆的连心线方程，联立连心线与已知直线的方程就可以求出圆心。其次，求出两个已知圆的交点。计算其中任意一个交点到所得的圆心的距离，即可获知半径。只要圆心和半径都得到了，即可列出所求的圆的方程。

参考解答1：
(1) 将两圆相减，可得：
$6x-6y+24=0\quad \Leftrightarrow \quad x-y+4=0$
它表示一个直线，并且是同时利用了两个圆的已知信息得来的，必然同时经过2个已知圆，所以x - y + 4 = 0就是所求的直线。
(2) 对于圆$C_{1}$的方程化简可得：
$x^{2}+y^{2}+6x-4=0\quad \Leftrightarrow \quad (x+3)^{2}+y^{2}=13$
即圆$C_{1}$的圆心坐标为(-3, 0)。
对于圆C_2的方程化简可得：
$x^{2}+y^{2}+6y-28=0\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}+(y+3)^{2}=37$
即圆$C_{2}$的圆心坐标为(0, -3)。
所以两圆圆心的连心线方程为x + y + 3 = 0。
由于所求的圆必须同时通过$C_{1},C_{2}$的交点。所以所求圆的圆心也一定在它们的连心线上。
又因为还要保证所求圆的圆心在直线x - y - 4 = 0上，所以可以联立圆心必须同时满足的2个方程：
$\left\{{\begin{array}{l}x+y+3=0\\x-y-4=0\end{array}}\right.$
解得所求圆心的坐标位置为$x={\frac {1}{2}},y=-{\frac {7}{2}}$。
接下来，只差求出圆的半径。只要求出其中一个交点到圆心的距离，得到的就是半径。
设所需的某个交点为A，圆心为O。根据前面的结果，O的坐标为$({\frac {1}{2}},-{\frac {7}{2}})$。
还差A的坐标就能求出|AO|，也就是所需半径。取2个交点中的哪个作为A都能解决问题。
由于A是两圆的交点，我们解方程组来求所需的A点坐标：
$\left\{{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+6x-4=0\\x^{2}+y^{2}+6y-28=0\end{array}}\right.$
实际上要求解上述方程组，只需要求解其中一个圆的方程与与切点弦方程的公共解：
$\left\{{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+6x-4=0\\x-y+4=0\end{array}}\right.$
解得：x = -1, y = 3或x = -6, y = -2。
不妨记(-1, 3)为A点，易知：
${\begin{array}{l}|CO|=|{\overrightarrow {CO}}|\\=|({\frac {1}{2}}-(-1),-{\frac {7}{2}}-3)|=|({\frac {3}{2}},-{\frac {13}{2}})|\\={\sqrt {({\frac {3}{2}})^{2}+(-{\frac {13}{2}})^{2}}}={\sqrt {\frac {89}{2}}}\end{array}}$
这个|CD|就是求出来的半径。故所求圆的方程为$(x-{\frac {1}{2}})^{2}+(y+{\frac {7}{2}})^{2}={\frac {89}{2}}$，也即$x^{2}+y^{2}-x+7y-32=0$。

分析与提示2：还是只重点看第2问。由于所求的圆经过已知的2个圆，所以这是一个圆系方程可以解决的问题。根据已知的两圆方程，设出其它同样经过公共交点的圆系方程，可以初步得出含参数的圆心坐标。然后利用圆心通过所给的直线，可以将圆心坐标代入已知直线，从而完全确定圆系方程中待定参数的值。进而得到所求圆的方程。

参考解答2：
(1)略。
(2)设经过已知的两圆交点的圆的方程为：
${\begin{array}{l}(x^{2}+y^{2}+6x-4)+\lambda (x^{2}+y^{2}+6y-28)=0\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}+{\frac {6}{1+\lambda }}x+{\frac {6\lambda }{1+\lambda }}y-{\frac {4+28\lambda }{1+\lambda }}=0\end{array}}$
由配方后的大致形式可知其圆心坐标为$(-{\frac {3}{1+\lambda }},{\frac {3\lambda }{1+\lambda }})$。
又因为所求的圆心在直线x - y - 4 = 0上，于是可以将含位置参数$\lambda$的圆心坐标代入该直线方程中（从而确定$\lambda$的具体值）：
$-{\frac {3}{1+\lambda }}-{\frac {3\lambda }{1+\lambda }}-4=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =-7$
所以所求的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-x+7y-32=0$。

答案：$x^{2}+y^{2}-x+7y-32=0$。

相关例题3： 设两圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-6x=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}=4$。

(1) 求过$C_{1},C_{2}$的交点，且过定点M (2, -2)的圆$C_{3}$的方程。

(2) 求过$C_{1},C_{2}$的交点，且圆心在直线x + y - 1 = 0上的圆$C_{4}$的方程。

参考解答：
(1)设圆系方程为$x^{2}+y^{2}-6x+\lambda (x^{2}+y^{2}-4)=0$
由于所求的圆还经过定点M (2, -2)，故点M的坐标可以代入上述圆系方程：
$2^{2}+(-2)^{2}-6\cdot 2+\lambda (2^{2}+(-2)^{2}-4)=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =1$
将算出的$\lambda$值代回圆系方程可得：
${\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-6x+1\cdot (x^{2}+y^{2}-4)=0\\\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-6x-4=0\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}-3x-2=0\end{array}}$
(2)设圆系方程为$x^{2}+y^{2}-6x+\lambda (x^{2}+y^{2}-4)=0$
为便于找出圆心位置，对其进行初步化简：
$(1+\lambda )x^{2}+(1+\lambda )y^{2}-6x-4\lambda =0$
易知圆心坐标为$({\frac {3}{1+\lambda }},0)$。
由于已知所求圆的圆心还通过直线x + y - 1 = 0，故可将圆心坐标代入此直线方程求出未知参数$\lambda$：
${\frac {3}{1+\lambda }}+0-1=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =2$
将得到的$\lambda$值代回圆系方程，可得：
$x^{2}+y^{2}-6x+2\cdot (x^{2}+y^{2}-4)=0\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}-2x-{\frac {8}{3}}=0$

答案：$x^{2}+y^{2}-2x-{\frac {8}{3}}=0$。

相关例题4： 已知2个圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}=4,C_{2}:x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0$和直线L: 2x + 2y = 0。求经过$C_{1}$和$C_{2}$交点，且与直线L相切的圆的方程。

同时涉及直线与圆交点的常见圆系方程：

• 过直线Ax + By + C = 0与圆$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$相交（或者说经过直线与圆公共交点）的圆系方程：$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F+\lambda (Ax+By+C)=0$
• 与直线Ax + By + C = 0相切于点$M(x_{0},y_{0})$的圆系方程：$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\lambda (Ax+By+C)=0$

总的来说，一旦出现两圆或多个圆连同其它直线相交在1个或2个公共点的问题，就是一个可以使用圆系方程处理的明显暗示。而对于只涉及一条线与一个未知圆的问题，不一定会优先想到用圆系的思路处理。此时若要考虑基于圆系方程的解法，需要同时注意2个条件：

1. 直线的方程要已知。
2. 列出圆系方程后，易于通过代入题中的已知信息求解其中的待定参数。

不过相比两圆或多个圆相交的问题，一线一圆的问题采用圆系方程法，计算量会更小一些。

相关例题5： 过点A (4,1)的圆C与直线x - y - 1 = 0相切于点B (2, 1)，则圆C的方程为(    )。
（出自2010年中国大陆高考数学宁夏卷第Ⅱ卷第15题（填空题倒数第2题）。）

分析与提示1：用待定系数法先设圆的方程，会包含3个未知参数。考虑到题目涉及相切的问题，可能需要考虑圆心和半径，因此设置成圆的标准方程会比较方便。通过圆经过点A和点B，且与给定直线相切，可以分别列出3个独立方程。有了3个独立方程，一般即可求出3个未知量。对于圆与直线相切的条件，可以表达为圆心到直线的距离等于半径，也可以表达为圆心到切点的斜率与直线斜率之乘积为-1。

参考解答1：
设圆的方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$。
由点A在圆C上可得：$(4-a)^{2}+(1-b)^{2}=r^{2}$。
由点B作为切点肯定也在圆C上，可得：$(2-a)^{2}+(1-b)^{2}=r^{2}$。
联立上述2个式子，可得|4-a| = |a-2|，解得a = 3。
记已知直线x - y - 1 = 0为L，易知其斜率$k_{L}$为1。
再设所求圆的圆心为点O，易知|OB| = r，且直径OB与切线L垂直。设OB的斜率为$k_{OB}$，由垂直条件即有斜率关系：
$k_{OB}k_{L}=-1\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {b-1}{a-2}}\cdot 1=-1\quad \Leftrightarrow \quad b=3-a=3-3=0$
即圆心坐标为(3, 0)。由此易知$r^{2}=|OB|^{2}=2$。
故所求圆的方程为$(x-3)^{2}+y^{2}=2$。

分析与提示2：将原问题看作是涉及圆与直线的圆系问题，只不过还增加了一个必须通过额外定点的条件。我们可以先设出所需的圆系方程，然后将需要满足的定点坐标代入，即可确定圆系方程中待定的参数，从而将圆唯一确定下来。

参考解答2：
设与已知直线相切的圆系方程为$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+\lambda (x-y-1)=0$。
将必须通过的定点A (4, 1)代入上述圆系方程，可得：
$(4-2)^{2}+(1-1)^{2}+\lambda (x-y-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =-2$
将求出的参数$\lambda$重新带回原来所在的圆系方程，可得所求的圆为$(x-3)^{2}+y^{2}=2$。

答案：$(x-3)^{2}+y^{2}=2$。

相关例题6： 求与直线x - 2y - 1 = 0相切于点(5, 2)，且圆心在直线 x - y - 9 = 0上的圆的方程。

参考解答1：
圆心在x - y - 9 = 0上，可设圆心坐标为(a, a-9)。
由(a, a-9)到直线x - 2y - 1 = 0的距离的关于圆的半径，可得：
${\frac {|a-2(a-9)-1|}{\sqrt {1+2^{2}}}}={\sqrt {(a-5)^{2}+(a-11)^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad a=7$
由此可得半径为${\sqrt {(a-5)^{2}+(a-11)^{2}}}={\sqrt {(7-5)^{2}+(7-11)^{2}}}={\sqrt {20}}$。
故所求的圆的方程为$(x-7)^{2}+(y+2)^{2}=20$。

参考解答2：
设与已知直线相切的圆系方程为$(x-5)^{2}+(y-2)^{2}+\lambda (x-2y-1)=0$。
整理可得：$x^{2}+(\lambda -10)x+y^{2}-2(\lambda +2)y+(29-\lambda )=0$
由配方后的大致形式可知其圆心坐标为$({\frac {10-\lambda }{2}},2+\lambda )$。
又因为所求的圆心在直线x - y - 9 = 0上，于是可以将含位置参数$\lambda$的圆心坐标代入该直线方程中（从而确定$\lambda$的具体值）：
${\frac {10-\lambda }{2}}-(2+\lambda )-9=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =-4$
将求出的参数$\lambda$重新带回原来所在的圆系方程，可得所求的圆为$(x-7)^{2}+(y+2)^{2}=20$。

答案：$(x-7)^{2}+(y+2)^{2}=20$。

直线系方程与圆系方程都属于曲线系方程。

我们从上面介绍过的常用圆系方程中，挑出一部分特别实用又容易混淆记错的集中罗列如下：

只涉及圆与圆交点的重要圆系方程：

• 过两圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0$的交点的圆系方程：$(x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1})+\lambda (x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0$
  • 该圆系方程不含有圆$C_{2}$，因此使用此方程时需要注意单独检验$C_{2}$是否也满足题意。
  • 当两圆相交时，取$\lambda =-1$，则可得两圆的公共弦方程：$(D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0$
  • 当两圆相切（不论内切或外切）时，取$\lambda =-1$，可得两圆的公切线方程：$(D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0$
• 与圆$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$相切于点$M(x_{0},y_{0})$的圆系方程：

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\lambda (x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F)=0$（$\lambda \neq -1$，且该方程不包括原来给定的圆本身）

同时涉及直线与圆交点的重要圆系方程：

• 过直线Ax + By + C = 0与圆$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$的公共交点的圆系方程：

$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F+\lambda (Ax+By+C)=0$

• 与直线Ax + By + C = 0相切于点$M(x_{0},y_{0})$的圆系方程：

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\lambda (Ax+By+C)=0$

综合之前直线系方程的知识，我们总结可以用曲线系快速解决的问题：

• 求一个通过指定的两圆的2个交点（或一圆一线的2个交点），且满足下列条件的圆：
  • 圆心满足某种指定条件。
  • 与特定直线相切。
• 求一个通过指定的两直线的交点，且满足下列条件的直线：
  • 穿过某定点。
  • 平行或垂直于特定直线。
  • 与特定的圆相切。
• 求通过特定的两圆交点的直线。此时只需要取$\lambda =-1$，等价于对两式直接相减以消去平方项。

使用曲线系解题的主要优势是可以根据题目需求，快捷地求解出所需的曲线方程，避免了对中间量的逐一求解的麻烦。（不需要一步一步去通过解方程组求交点、连线方程等等。）但如果问题比较直接简单、信息足够多，也可以不必非得套用曲线系的解法流程。

知识背景：到两圆的圆幂相等的点组成的曲线叫做等圆幂线。可以证明，2个圆的等圆幂线是一条直线，因此此线也被叫做“根轴”（radical axis）。形如$F_{1}(x,y)+\lambda F_{2}(x,y)=0$的圆系方程所描述的所有曲线两两之间都可以定义根轴，而且可以证明它们共的根轴是同一条直线，所以圆系方程也叫做共轴系统（coaxial system）。由于根轴是直线，由圆系方程中两圆的方程直接相减（即取$\lambda =-1$），容易发现所得的直线方程表示的其实就是根轴：①当两圆有2个交点时，方程相减得到的交点连线（也叫交点弦、两圆的公共线）就是圆系的根轴；②当两圆只有1个交点（相切）时，方程直接相减得到的直线是切线（也叫两圆的公切线），而且也是圆系的根轴；③当两圆没有交点时，方程相减得到的直线仍然表示根轴，即该线上各点的等圆幂性质仍然成立。基于这些理由，由两圆相减得到的直线方程就叫做根轴方程。此外，在本节介绍的阿波羅尼奧斯圓组成的双极坐标系也是由2族共轴的圆系组成。对这些知识感兴趣的读者可以学习有关点的圆幂与圆系的根轴的知识。

知识背景：将2个关系式F(x,y) = 0和G(x,y) = 0以$F(x,y)+\lambda G(x,y)=0$这样的方式组合起来研究是一种值得注意的问题转化技巧。一个著名的应用是微积分学中的拉格朗日乘数法，它将最值问题中的约束条件以类似的含参项的形式方式巧妙地加入到了原来的函数中，使最值的求解更便利。而且其做法在凸优化理论中会得到继续延申。在高中阶段，这种通过凭空引入新参数将2个式子合并的做法并不多见，读者可能会在含有条件约束的不等式的证明中遇到采取此类思想的解法。

补充习题

参见

• 圆的极坐标方程
• 点的圆幂与圆系的根轴
• 圆反演与共形变换

外部链接

维基百科中的相关条目：

圆

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阿波罗尼奥斯圆

维基百科中的相关条目：

圆系方程