高中数学/函数与三角/函数的概念

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

数学的核心是研究数与形在各种变化中的不变规律，函数的概念就是研究变量之间依赖关系的基础。在本节，我们先从集合之间的对应关系开始，逐渐介绍函数的定义与相关概念。

注意：读者需要特别注意教辅资料中可能提及的有关“映射”的概念。一些高中教辅资料会先介绍什么是映射，然后将函数作为特殊的映射引入。不过在现代数学中，映射和函数这2个名词已经从概念上被定义为等价品，并没有必要加以区分。高中阶段的数学考试也不会考有关映射的概念。

基础知识

从对应关系到函数

读者朋友们应该在初中/国中阶段就已经了解什么是一次函数、二次函数、反比例函数，也了解自变量和因变量的大致概念，当然实际生活中可能碰到的变量依赖关系肯定不会仅仅局限于这几种有限的情况。此外，我们也学习了简单的集合论。我们现在用集合论的新术语，对之前粗略了解的函数概念给出一个更准确也更普适的定义。

如果把2个事物a和b写成有序组的形式(a, b)，我们就称这是a与b的一个关系（relation），记作“aRb”。

关系是有顺序的二元组合，其中前者a和后者b可以相同，也可以不同，但是它们的排列顺序不能随意颠倒。数学中主要关注变量与变量之间的关系，关系也可以描述其它事物与其它事物之间的前后联系，甚至是关系与关系之间的关系（就像以后会学习到的范畴论中的做法一样）。

定义：一个映射（map）或者称函数（function）就是2个集合X、Y和满足下列条件的一组关系R构成的整体：

• 对于每个$x\in X$，都能且只能找到一个关系，使之对应上某一个确定的$y\in Y$。
• 每一个关系中包含的前者都从X中取值，后者都从Y中取值。

其中集合X叫做此函数的定义域（domain），Y叫做此函数的对应域（codomain）、到达域或陪域。对于每一个$x_{0}\in X$，它在对应关系下的取值记作$f(x_{0})$，叫做该点的对应函数值（function value）。一个函数的所有可能取到的函数值所组成的集合叫做函数的值域（range）。

简而言之，给定一个集合X和一个与之匹配的关系R，如果它们满足“对于每一个$x\in X$，有且仅有一个对应关系可以使之找到匹配的结果值”，这个映射就叫做映射或函数。函数的自变量的有效取值范围叫做定义域，因变量的有效取值范围叫做值域。定义域是集合A的函数也叫做“定义在集合A上的函数”。

$f$是一個將所有定義域$X$(紅色區塊)中的點$x\in X$對應到點$f(x)\in Y$的函數。蒐集所有點$f(x)$的集合(黃色區塊)為函數$f$的值域，$Y$(藍色區塊)為$f$的對應域。

提示：在后续的高等数学课程中，我们有时候不直接指明函数的值域（其实就是懒得指明具体的值域），而是笼统地给出一个包含了值域的更大集合（也就是到达域）。从定义域A到到达域B的对应关系$f$可以笼统地写为$f:A\rightarrow B$，此时也称$f(x)$是从集合A映射到集合B的函数。

提示：将函数定义为特殊的关系是数学家約翰·狄利克雷（1805年－1859年）搞的鬼。另一种流行的定义是莱昂哈德·欧拉（1707年－1783年）给出的，他直接干脆地将函数定义为数值或变量之间的明确对应法则。我们将要学习的函数的表示符号$f(x)$也是欧拉使用的记法。

玩笑：不要把数学文献中的“map”一词翻译成“地图”。虽然地图一般也可以视为一种映射。

一元函数、多元函数与隐式函数

介绍一些描述函数类型的常见术语：

• 一元函数/单变元函数：自变量个数为1的函数。
• 多元函数/多变元函数：自变量个数为多个的函数。
• 显式函数：以明确解析式描述的函数。
• 隐式函数：对应关系隐藏在方程中的函数。一般以方程的形式给出，但其形式不是直接明了的解析式。
• 单值函数：每个或每组自变量只对应一个因变量的函数。即本节定义的函数。
• 多值函数：每个或每组自变量同时对应多个因变量的函数。这是习惯上的称呼，多值函数严格来说不是真正的函数。

函数还有一些其它的分类标准，我们在后面学到时再介绍。

知识背景：函数的解析式也叫做封闭形式的表达式或闭式解（ closed-form expression）。初等函数和闭式解这2个名词的由来都源于法国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville，1809年－1882年）在微分代数领域的研究。他想研究什么样的函数在不定积分运算中会保持函数类型的不变性。在数学的其它领域，函数的初等性和研究函数是否有闭式解，不一定具有很大意义。不过在中学数学阶段，我们会对常见函数的显式解（解析解）及其变形技巧关注得比较多。相关知识介绍参见初等函数概述章节。

注意：一般提及函数时，默认讨论的都是单值函数。如果需要讨论多值函数，我们就需要明确地指出“多值”二字。在高中阶段，我们几乎都是只讨论一元的单值函数。

不懂就问：多值函数并不是标准的函数，为什么时至今日还是有数学工作者时不时使用这个名称呢？原因有二：其一，现代数学文献中的符号和术语仍然不是完全统一的，不同国家、地域、学派、个人都有特定的习惯，也有一些是历史传统的原因；其二，因为他们开心呀！

函数的表示法

函数有以下几种表示方法：

• 文字描述法
• 解析式法
• 方程描述法
• 图象法

其中文字描述法不适合数学关系复杂的函数；图象法一般使用直角坐标系绘图，能直观表示许多常见函数的变化情况，但不能精确地描述数量关系。

提示：在单值函数的图象上，绝不会有2个不同点的自变量取值相同。

相关例题1：函数$f(x)$的图象与直线$x=a\quad (a\in \mathbb {R} )$的交点(    )。
A.至多有1个；B.至少有1个；C.有且只有1个；D.有2个以上

参考解答：
函数的定义表明，对于定义域内每一个x的具体取值，都只有1个唯一的y值与其对应；而对于定义域外的x取值，自然不存在对应的y值。所以反映到函数的图象上，就是函数的图象只会与竖直直线$x=a$顶多存在1个交点。

答案：A。

相关例题2：下列不能称作为或表示为一个函数的是(    )。
A.直线方程；B.圆的方程；C.$y=5\quad (x\in \mathbb {R} )$；D.$y=\pm x\quad (x\in \mathbb {R} )$

参考解答：
在圆的方程中，1个x值可能同时对应2个满足方程的y值，所以圆的方程不能直接看作函数。例如由勾股定理可知，方程$x^{2}+y^{2}=1$能表示所有到坐标系原点距离为1的点，也就是表示一个圆心在坐标系原点、半径为1的圆周。显然当x = 0时，满足方程的y可能是1，也可能是-1。由于这违法函数的定义，所以不能算作函数。$y=\pm x$也是同理，每1个x值按照对应关系都会算出来不只1个y值，所以也不是函数。

答案：B和D。

点评：(1)在以x、y为变量的双变量方程中，一般默认x是自变量，y是因变量。(2)方程$x^{2}+y^{2}=1$叫做平面直角坐标系内圆的标准方程，它表示圆心在坐标系原点、半径为1的圆周。圆的标准方程可以看作是包含了2个隐函数（即包含端点的上半圆周$y={\sqrt {1-x^{2}}}\quad (-1\leq x\leq 1)$和下半圆周$y=-{\sqrt {1-x^{2}}}\quad (-1<x<1)$），但该方程本身不能称作y关于x的函数。

定义域的判断

定义域有时会直接指明，有时可以通过函数的特点推理出来。函数自变量的默认取值范围为一切使函数解析式有意义的实数。

常见的定义域判断方法：

• 排除使分母取值为0的自变量值。
• 排除使根号内的数取值为负数的自变量值。
• 根据其它特定函数对自变量的限制而定。

相关例题1：求函数$f(x)={\frac {1+x}{1-x}}$的定义域。

相关例题2：求函数$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}$的定义域。

相关例题3：求函数$f(x)={\frac {\sqrt {x-3}}{|x+1|-5}}$的定义域。

相关例题4：求函数$f(x)={\sqrt {(x-1)(x-2)}}$的定义域。

相关例题5：若周长始终等于固定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一个边长x的函数，求这个函数的定义域。

判断2个函数等价的方法：

• 定义域必须相同。
• 对应关系必须相同。

相关例题6：下列哪个函数与y = x相同？(    )
A.$y=({\sqrt {x}})^{2}$；B.$y={\sqrt {x^{2}}}$；C.$y={\sqrt[{3}]{x^{3}}}$；D.$y={\frac {x^{2}}{x}}$

补充习题

外部链接

维基百科中的相关条目：

函数