邏輯通路/垂心公式

你必須先知道：邏輯通路/向量內積、分點公式、三角形投影公式

垂心座標 假設 ${\vec {a}}={\overrightarrow {BC}},{\vec {b}}={\overrightarrow {CA}},{\vec {c}}={\overrightarrow {AB}}$ 則 $H={\frac {\alpha A+\beta B+\gamma C}{\alpha +\beta +\gamma }}$ 其中 ${\begin{matrix}\alpha =({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\\\beta =({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})({\vec {b}}\cdot {\vec {a}})\\\gamma =({\vec {c}}\cdot {\vec {a}})({\vec {c}}\cdot {\vec {b}})\end{matrix}}$

我們知道 △ABC 的重心座標計算公式是：

${\frac {A+B+C}{3}}$

內心座標計算公式是：

${\frac {aA+bB+cC}{a+b+c}}$

那麼如果我們知道 A、B、C 的座標的話，垂心座標又該如何計算呢？從右圖中，我們可以看出來：F 是 A、B 的分點，H 是 F、C 的分點，所以我們打算利用「分點公式」來計算 H 的座標。

假設

$a={\overline {BC}},b={\overline {CA}},c={\overline {AB}}$

首先我們先計算 ${\overline {AF}}$ 與 ${\overline {FB}}$ 的量:

因為

${\frac {\overline {AF}}{\overline {AC}}}=\cos A$

所以

${\overline {AF}}={\overline {AC}}\cos A=b\cos A$

同理，因為

${\frac {\overline {FB}}{\overline {CB}}}=\cos B$

所以

${\overline {FB}}={\overline {CB}}\cos B=a\cos B$

註釋：