線性代數/線性空間

基本定義

簡單來說，線性空間是一群有加法，可以伸縮（也就係數積）的實體，最明顯的例子就是實數或物理上的向量如力、電場等等。

線性空間的嚴謹定義分成定義"向量加法"、"純量"和"係數積"三大部分。

群

物理上的向量加法與實數的加法有一些共通的特性：

1. 封閉性：兩個向量或是實數相加以後，仍然是向量或是實數。
2. 結合律：a+(b+c) = (a+b)+c
3. 單位元素：零向量加上任何向量a為a；同樣地實數0加上任何實數r為r。
4. 反元素：對任何向量a總會有一個向量-a使a+(-a)為零向量；類似的有(-r)+r=0。

滿足上面性質的還有針對特定軸的旋轉、不含0的實數乘法等等的，這誘使我們去定義一個抽象的數學結構，也就是群（group）

$G$ 是一個集合， 且$f:G^{2}\to G$ 是一個雙變數函數 （也就是封閉性，這裡把 $f(a,\,b)$ 簡記為 $a\circ b$ ） 滿足：

1. $(\forall a\in G)(\forall b\in G)(\,\forall c\in G)[a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c\,]$ （結合律）
2. $(\exists e\in G)(\forall a\in G)(\,a\circ e=e\circ a=a\,)$ （單位元素）
3. $(\forall a\in G)(\exists a^{\prime }\in G)(\,a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e\,)$ （反元素）

則稱 $(G,\,f)$ 或是 $(G,\,\circ )$ 為群。

這裡不以加號簡記 $f(a,\,b)$ 的原因是因為群的觀念很一般，以至於下一小節的"純量"定義也會用到，所以為了避免混淆，我們就以特殊符號簡記。

如果定義加上

• $(\forall a\in G)(\forall b\in G)[a\circ b=b\circ a\,]$ （交換律）

的話，我們稱$(G,\,+)$ 為交換群（commutative group）或阿貝爾群（Abelian group）。

這樣我們就替"向量加法"(也就是雙變數函數 $f$ )構造出了嚴謹的數學定義。

體

接下來我們要考慮"純量"，一般純量都是實數，而其中

1. 實數跟加法構成交換群
2. 非零實數跟乘法也是交換群
3. 分配律：對任意實數a, b, c有 a(b+c) = ab + ac

這誘使我們定義另一個數學結構，體(field)

$F$ 是一個集合 ，且有兩個雙變數函數

• $f:F^{2}\to F$ （ $f(a,\,b)$ 簡記成 $a+b$ ）
• $g:F^{2}\to F$ （ $g(a,\,b)$ 簡記成 $a\times b$ ）

滿足

1. $(F,\,+)$ 為交換群。（ 其中單位元素記為 $0_{F}$ ）
2. $(F-\{0_{F}\},\,\times )$ 為交換群。（ 其中單位元素記為 $1_{F}$ ）
3. $(\forall a\in F)(\forall b\in F)(\,\forall c\in F)[a\times (b+c)=a\times b+a\times c]$ （分配律）

則稱 $(F,\,+,\,\times )$ 為體。

事實上複數系與複數加法和乘法也是一個體，所以"複數"也可以當作"純量"。

線性空間

接下來我們可以把"向量"跟"純量"組裝起來，合成一個新的數學結構，稱為線性空間(linear space)。但在此之前，我們還要定義"向量的伸縮"（係數積），首先我們注意到

1. 對任何的物理向量v有 1v = 1。 （係數積的"單位元"）
2. 對於純量a, b和物理上的向量v有 (a+b)v = (av + bv)。 (係數積的"純量加法分配律")
3. 對於純量a, b和物理上的向量v有 a(bv) = (a x b)v。 (係數積的"純量乘法結合律")
4. 對於純量a和物理上的向量v, w有 a(v+w) = av + aw (係數積的"向量加法分配律")

這樣我們就可以給出嚴謹的定義了

$(V,\,\oplus )$ 是交換群 ， $(F,\,+,\,\times )$ 是體，且有雙元函數

• $h:F\times V\to V$ （ $h(a,\,v)$ 簡記成 $a\cdot v$ ）

滿足

1. $(\forall v\in V)(1_{F}\cdot v=v)$ （係數積的"單位元"）
2. $(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,(a+b)\cdot v=(a\cdot v)\oplus (b\cdot v)\,]$ (係數積的"純量加法分配律")
3. $(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,a\cdot (b\cdot v)=(a\times b)\cdot v\,]$ (係數積的"純量乘法結合律")
4. $(\forall a\in F)(\forall v\in V)(\forall w\in V)[\,a\cdot (v\oplus w)=(a\cdot v)\oplus (a\cdot w)\,]$ (係數積的"向量加法分配律")

則稱 $(V,\,\oplus ,h)$ （或 $(V,\,\oplus ,\,\cdot )$ ）為定義在體 $(F,\,+,\,\times )$ 上的線性空間。

如果不會與純量加法引起混淆的話，可以把 $\oplus$ （"向量加法"）簡記為 $+$ ；運算符號的都固定的狀況下，上面可以簡稱為" $V$ 是定義在體 $F$ 上的線性空間"。

另外 $(V,\,\oplus )$ 的單位元我們會寫成 $0_{V}$，稱為零向量(zero vector)。

維度

上一節我們把線性空間定義成某種"可加可係數積"的群體，就像平面上的向量一樣。那這些"線性量"能不能如同平面向量一樣

${\vec {v}}=v_{x}\cdot {\hat {i}}+v_{y}\cdot {\hat {j}}$

寫成數個"基底向量"的線性組合呢?

這取決於我們要用幾個"基底"去線性組合出整個向量空間，如果是指頭可以數完的(有限個)的基底，一般來說是不可行的。

如果我們把基底個數拓展到跟自然數一樣多(可數個)，那線性組合會變成所謂的"向量"無窮級數。儘管如此，也無法100%保證有這樣的一組"基底"可以收斂於任意"向量" 。(但所有多項式函數構成的線性空間的確是這樣的可數基底)

但很幸運的，如果你承認最一般版本的選擇公理，我們會有種特殊的不可數基底，可以從中挑出可數個來做線性組合而收斂於任意的"向量"。

綜上所述，我們要把存在有限個數的基底當作特例，而線性代數大多討論的就是這種美好狀況。而存在可數基底，或甚至連基底都沒有的部分就是泛函分析(functional analysis)處理的狀況。

線性獨立

如果有限個向量 $\{e_{1},\,\cdots ,\,e_{n}\}\subseteq V$ 可以線性組合出(定義在體 $F$ 上的)線性空間 $V$ 的任意向量，那這樣的表達式唯不唯一呢?若對 $v\in V$ 有

$v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot e_{i}=\sum _{i=1}^{n}{v_{i}}^{\prime }\cdot e_{i}$

那這樣會有

$\sum _{i=1}^{n}(v_{i}-{v_{i}}^{\prime })\cdot e_{i}=0_{V}$

那這樣表達式唯一等價於對所有的 $1\leq i\leq n$ 有 $v_{i}={v_{i}}$ ，或是說對所有 $\{c_{1},\,\cdots ,\,c_{n}\}\subseteq F$ 有

$(\,\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot e_{i}=0_{V}\,)\Rightarrow (\,\{c_{1},\,\cdots ,\,c_{n}\}=\{0_{F}\}\,)$

所以我們有下面這樣"換句話說"的定義

線性空間 $V$ 定義在體 $F$ 上，若對 $E=\{e_{1},\,\cdots ,\,e_{n}\}\subseteq V$ 有

$(\forall C\subseteq F)\{[(\,C=\{c_{1},\,\cdots ,\,c_{n}\}\,)\wedge (\,\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot e_{i}=0_{V}\,)]\Rightarrow (\,C=\{0_{F}\}\,)\}$

我們稱 $E$ 為線性獨立的(linear independently)，反之稱為線性相依的(linear dependently)。

也就是說，數學家喜歡如此地敘述我們上面的那小段結果：「"基底"對任意向量有唯一的表達式，等價於"基底"是線性獨立的」。