常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程。
其实,在之前的学习过程中,你已经研究过一些非常简单的微分方程的解。比如说
其中为函数,你实际上是在解微分方程
使用恰当的符号可以让我们解微分方程更容易。
本文将主要使用以下四个符号来表示 的导数:
-
-
-
- (用于可分离变量方程)
考虑如下微分方程
-
方程中导数最高为2阶,因此我们说该方程为二阶微分方程。
求解微分方程的一个关键思想是积分。
我们来考虑下面这个二阶微分方程
-
我们怎么解决这个问题呢?方程告诉我们,求两次导以后,得到常数2,所以,如果我们积分两次,应该就能算出答案。
积分一次:
-
-
我们已经把困难的二阶微分方程转化成了一个简单点的方程,即
-
这个等式告诉我们,把函数求一次导,可以得到 。我们再积分一次,就能算出答案了。
-
-
这就是微分方程的解。对任意 和 ,都有 。
和 与初始条件的值有关。如果待解方程给定了初始条件,我们可以在积分之后替换进去。
求解 ,初始条件为 , 。
解答过程会比上面多这么几步:
-
-
-
-
-
-
-
如果没有初始条件,我们算出的答案就叫通解;如果有初始条件,就叫特解。
在本节中,我们将研究四种微分方程:
此外,还有许多其他形式的微分方程,将在下一节中讨论。
可分离变量方程基本形式为(这里使用 更方便)
-
之前我们只处理过 的微分方程。上面那个可分离变量方程怎么解决呢?
我们把变量 和 、 和 放到一起
-
两边分别对 和 积分
-
便能得到解答。
求解
-
分离变量
-
两边积分
-
-
-
令 ,其中 为常数,得到
-
这便是上述方程的通解。
这一步不是必要的,但是可以用来验证答案的正确性。
我们算出来的答案是
-
题目是
-
把答案对 微分,得
-
由于 ,所以
-
我们得到了题给的微分方程,因此我们的答案是正确的。
齐次方程形式为
-
这看起来很困难,但我们可以令 ,得到
-
现在只需处理 而非 了。
再用 来表示 ,即 ,
-
于是
-
-
-
就变成了可分离变量方程。
求解
-
我们把式子写成这样
-
-
令 ,得到
-
再用 来表示
-
两边消去 ,化简
-
分离变量
-
两边积分
-
-
-
-
这便是上述方程的通解。
一阶线性微分方程形式为
-
注意到方程两边同时乘或除 的任意非零函数,都不会对解产生影响。
乍一看,等式左边不能直接积分。但是,有一个特殊情况。如果 是 的导数,我们就可以这么办
-
现在,积分就很简单了。
我们把原方程两边同时乘以任意一个函数 ,得到
-
我们假设如下条件:
-
如果这个条件满足,就可以用上面说的那种办法了。
这个条件其实等价于
-
积分,得
-
-
把常数 设为1,不会对结果产生影响。
代入原方程,得
-
化简,得
-
两边积分并除以 得
-
我们称 为积分因子。类似的方法也可用于其他一些微积分问题。
求解
- ,初始条件为
首先算出积分因子
-
方程两边同时乘 ,得
-
或
-
积分,得
-
全微分方程形式为
-
且有性质
- (即 对 的导数等于 对 的导数)
(如果微分方程没有这个性质,那么我们就不能再继续解下去了。)
因此,如果我们有一个全微分方程,那么就存在一个函数 使得
- ,且
于是解的形式为
-
便可通过积分找到 。
阶常微分方程的通解会含有 个积分常量。要把它们都计算出来,我们还需要 个方程。大多数情况下,题目会给定
- 边缘条件,即 取两个不同的值时 及其导数的值
或者
- 初始条件,即 取某一值时 及其前 阶导数的值。
一、如果自变量 不出现在微分方程中,那么我们便可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。
考虑方程
-
令
-
则
-
将这两个表达式代入原方程,我们得到
- =0
这便是一个一阶微分方程。
求解
-
其中当 时, 。
首先,我们进行代换,得到
-
这是一个一阶常微分方程。整理并分离变量,得
-
两边积分,得
-
我们知道了当 时 和 的值,所以我们可以求出
-
接下来
-
然后开平方根
-
要找到根号外面是取正号还是取负号,我们可以再用一遍初始条件,便可以把符号排除,得到
-
其解为
-
因为当 时 ,所以 ,于是
-
二、如果因变量 不出现在微分方程中,那么我们也可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。
考虑方程
-
令
-
则
-
将这两个表达式代入原方程,我们得到
- =0
这便是一个一阶微分方程。
称形如
-
的常微分方程为线性。这类方程比典型的非线性常微分方程更容易解决。初等函数只能解决少数特殊情况,但一般的线性常微分方程的解法超出本书讨论范围。
若对任意 , ,则称该常微分方程齐次。
一般的线性方程有这么两个有用的性质:
- 一个齐次线性方程的解的任意线性组合都是该方程的解;
- 如果已知一个非齐次线性方程的解,我们给它加上对应的齐次线性方程的任意一个解,就会得到该非齐次线性方程的另一个解。
假设我们有一个线性常微分方程
-
并且我们知道它的一个解为 。
由性质可知 总是原方程的一个解,因此方程便变为 的 阶线性方程。
我们知道 为常数是方程的一个解,因此 的这个常微分方程一定不含有 项,所以它实际上是一个 阶线性常微分方程,这样便使方程降了一阶。
求解
-
方程的一个解为 ,因此我们把 代入方程,得到
-
化简,得
-
这是一个 的一阶方程,解得
- ,
由于方程是线性的,两个解的线性组合便是通解,即
-
假设我们有一个常微分方程
-
我们猜测有一个解为
-
这个函数 ,因此方程变为
-
显然是一个解,不考虑。我们只需研究
-
这是原方程的特征方程。
这个方程可以有多达 个解 ,每一个 都对应着原方程的一个解。
由于方程是线性的, 个解的线性组合便是通解,即
-
如果常微分方程是二阶
-
那么特征方程就是二次方程
-
其根为
-
依 的符号不同,我们有以下三种情况:
一、
此时方程有两个不同实根,我们可直接写出解
-
二、
此时方程有两个虚根。我们可以像上面那样直接把它们写到表达式中,但其实还有另一种更好的形式。
令 ,则解为
-
这个表达式如果是实数,两个 必定共轭,即
-
代入,得
-
三、
此时方程有两个相等的实根 。我们得使用另一种方法来找到另一个不同的解。
为此,我们使用常数变易法。用 表示 和 ,待解方程变为
-
从这个特征方程我们可以知道方程的一个解是 ,因此我们令 ,得到
-
所以 ,于是
- ,
所以这第二个解就是第一个解乘 。
高阶方程的处理方法也是这样的。比如说,如果特征方程是这样的:
-
那么对应的常微分方程的通解就是
-
过程中最困难的部分就是找到特征方程的解。