微积分学/常微分方程

常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程。

其实,在之前的学习过程中,你已经研究过一些非常简单的微分方程的解。比如说

其中为函数,你实际上是在解微分方程

符号和术语

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使用恰当的符号可以让我们解微分方程更容易。

本文将主要使用以下四个符号来表示 的导数:

  •  
  •  
  •  
  •  (用于可分离变量方程)

术语

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考虑如下微分方程

 

方程中导数最高为2阶,因此我们说该方程为二阶微分方程

一些简单的微分方程

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求解微分方程的一个关键思想是积分。

我们来考虑下面这个二阶微分方程

 

我们怎么解决这个问题呢?方程告诉我们,求两次导以后,得到常数2,所以,如果我们积分两次,应该就能算出答案。

积分一次:

 
 

我们已经把困难的二阶微分方程转化成了一个简单点的方程,即

 

这个等式告诉我们,把函数求一次导,可以得到 。我们再积分一次,就能算出答案了。

 
 

这就是微分方程的。对任意  ,都有 

  初始条件的值有关。如果待解方程给定了初始条件,我们可以在积分之后替换进去。

例题

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求解  ,初始条件为  

解答过程会比上面多这么几步:

 
 
 
 
 
 
 

如果没有初始条件,我们算出的答案就叫通解;如果有初始条件,就叫特解

基本一阶微分方程

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在本节中,我们将研究四种微分方程:

  • 可分离变量方程
  • 齐次方程
  • 线性方程
  • 全微分方程

此外,还有许多其他形式的微分方程,将在下一节中讨论。

可分离变量方程

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可分离变量方程基本形式为(这里使用 更方便)

 

之前我们只处理过 的微分方程。上面那个可分离变量方程怎么解决呢?

我们把变量    放到一起

 

两边分别对  积分

 

便能得到解答。

例题

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求解

 

分离变量

 

两边积分

 
 
 

 ,其中 为常数,得到

 

这便是上述方程的通解。

验算

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这一步不是必要的,但是可以用来验证答案的正确性。

我们算出来的答案是

 

题目是

 

把答案对 微分,得

 

由于 ,所以

 

我们得到了题给的微分方程,因此我们的答案是正确的。

齐次方程

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齐次方程形式为

 

这看起来很困难,但我们可以令 ,得到

 

现在只需处理 而非 了。

再用 来表示 ,即 

 

于是

 
 
 

就变成了可分离变量方程。

例题

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求解

 

我们把式子写成这样

 
 

 ,得到

 

再用 来表示 

 

两边消去 ,化简

 

分离变量

 

两边积分

 
 
 
 

这便是上述方程的通解。

线性方程

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一阶线性微分方程形式为

 

注意到方程两边同时乘或除 的任意非零函数,都不会对解产生影响。

乍一看,等式左边不能直接积分。但是,有一个特殊情况。如果  的导数,我们就可以这么办

 

现在,积分就很简单了。

我们把原方程两边同时乘以任意一个函数 ,得到

 

我们假设如下条件:

 

如果这个条件满足,就可以用上面说的那种办法了。

这个条件其实等价于

 

积分,得

 
 

把常数 设为1,不会对结果产生影响。

代入原方程,得

 

化简,得

 

两边积分并除以 

 

我们称 积分因子。类似的方法也可用于其他一些微积分问题。

例题

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求解

 ,初始条件为 

首先算出积分因子 

 

方程两边同时乘 ,得

 

 

积分,得

 

全微分方程

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全微分方程形式为

 

且有性质

 (即  的导数等于  的导数)

(如果微分方程没有这个性质,那么我们就不能再继续解下去了。)

因此,如果我们有一个全微分方程,那么就存在一个函数 使得

 ,且 

于是解的形式为

 

便可通过积分找到 

基本二阶和高阶常微分方程

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 阶常微分方程的通解会含有 个积分常量。要把它们都计算出来,我们还需要 个方程。大多数情况下,题目会给定

边缘条件,即 取两个不同的值时 及其导数的值

或者

初始条件,即 取某一值时 及其前 阶导数的值。

可降阶常微分方程

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一、如果自变量 不出现在微分方程中,那么我们便可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。

考虑方程

 

 

 

将这两个表达式代入原方程,我们得到

 =0

这便是一个一阶微分方程。

例题

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求解

 

其中当 时, 

首先,我们进行代换,得到

 

这是一个一阶常微分方程。整理并分离变量,得

 

两边积分,得

 

我们知道了当   的值,所以我们可以求出 

 

接下来

 

然后开平方根

 

要找到根号外面是取正号还是取负号,我们可以再用一遍初始条件,便可以把符号排除,得到

 

其解为

 

因为当  ,所以 ,于是

 

二、如果因变量 不出现在微分方程中,那么我们也可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。

考虑方程

 

 

 

将这两个表达式代入原方程,我们得到

 =0

这便是一个一阶微分方程。

线性常微分方程

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称形如

 

的常微分方程为线性。这类方程比典型的非线性常微分方程更容易解决。初等函数只能解决少数特殊情况,但一般的线性常微分方程的解法超出本书讨论范围。

若对任意  ,则称该常微分方程齐次

一般的线性方程有这么两个有用的性质:

  1. 一个齐次线性方程的解的任意线性组合都是该方程的解;
  2. 如果已知一个非齐次线性方程的解,我们给它加上对应的齐次线性方程的任意一个解,就会得到该非齐次线性方程的另一个解。

常数变易法

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假设我们有一个线性常微分方程

 

并且我们知道它的一个解为 

由性质可知 总是原方程的一个解,因此方程便变为  阶线性方程。

我们知道 为常数是方程的一个解,因此 的这个常微分方程一定不含有 项,所以它实际上是一个 阶线性常微分方程,这样便使方程降了一阶。

例题
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求解

 

方程的一个解为 ,因此我们把 代入方程,得到

 

化简,得

 

这是一个 的一阶方程,解得

  

由于方程是线性的,两个解的线性组合便是通解,即

 

常系数线性齐次常微分方程

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假设我们有一个常微分方程

 

我们猜测有一个解为

 

这个函数 ,因此方程变为

 

 显然是一个解,不考虑。我们只需研究

 

这是原方程的特征方程

这个方程可以有多达 个解 ,每一个 都对应着原方程的一个解。

由于方程是线性的, 个解的线性组合便是通解,即

 
二阶
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如果常微分方程是二阶

 

那么特征方程就是二次方程

 

其根为

 

 的符号不同,我们有以下三种情况:

一、 

此时方程有两个不同实根,我们可直接写出解

 

二、 

此时方程有两个虚根。我们可以像上面那样直接把它们写到表达式中,但其实还有另一种更好的形式。

 ,则解为

 

这个表达式如果是实数,两个 必定共轭,即

 

代入,得

 

三、 

此时方程有两个相等的实根 。我们得使用另一种方法来找到另一个不同的解。

为此,我们使用常数变易法。用 表示  ,待解方程变为

 

从这个特征方程我们可以知道方程的一个解是 ,因此我们令 ,得到

 

所以 ,于是

  

所以这第二个解就是第一个解乘 

高阶方程的处理方法也是这样的。比如说,如果特征方程是这样的:

 

那么对应的常微分方程的通解就是

 

过程中最困难的部分就是找到特征方程的解。