代數/本書課文/數例

数列

数列的概念

例如：$a$, 36, $b$, 58, 69, 80　依此數列看，其公差等於$80-69=11$，故$b=36+11=47$, $a=36-11=25$

76, $A$, 66, ... , 51, 46, $B$, 36, $C$ 　依此數列看，其公差等於$51-46=5$，故$A=66+5=71$, $B=36+5=41$, $C=36-5=31$

238, $x$, $y$, $z$, －58

如果無相鄰兩數可求公差，令公差=$d$

238－d－d－d－d=－58, 238－4d=－58, 4d=296, d=74

x = 238－74=164, y = 238－74－74=90

z = 238－74－74－74=16

238－74－74－74－74=－58, 所以答案正確。

等差数列

等差数列的概念

每一项都与前一项相差一个常数，$a_{k}-a_{k-1}=d$，则$\{a_{k}\}$为等差数列。

等差数列的通项公式

第一项是 $a_{1}$ ，公差是 $d$ 的等差数列的通项公式是

${\boldsymbol {a_{n}=a_{1}+(n-1)d}}$

等差数列求和

裂項法、錯位相減法、組合數求和都能求出等差数列的和。

$\sum _{k=1}^{n}[a_{1}+(k-1)d]=a_{1}C_{n}^{1}+dC_{n}^{2}=a_{1}n+d{\frac {n(n-1)}{2}}$

等比数列

等比数列的概念

每一项与前一项的比为一个常数，${\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}=q$，则$\{a_{k}\}$为等比数列。

等比数列的通项公式

第一项是 $a_{1}$ ，公比是 $q$ 的等比数列的通项公式是

${\boldsymbol {a_{n}=a_{1}q^{n-1}}}$

这里 $a_{1}\neq 0,q\neq 0,n$ 为自然数。

等比数列求和

裂項法、錯位相減法都能求出等比数列的和。

$\sum _{k=1}^{n}a_{1}q^{n-1}=a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

差比数列

一个等差数列乘上一个等比数列是差比数列，$a_{n}=[a+d(n-1)]r^{n-1}$

差比数列求和

裂項法、錯位相減法、逐項求導法、阿貝爾變換、差分算子求逆法都能求出差比数列的和。

$\sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=[{\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]r^{n}-[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]$

等差中项与等比中项

现在我们来研究下面两个问题：

• 已知三数 $a,A,b$ 成等差数列，这三个数之间有什么样的关系？
• 已知三数 $a,G,b$ 成等比数列，这三个数之间有什么样的关系？

在解决这两个问题时，要用到等差中项和等比中项的概念。

等差中项

根据等差数列的定义，我们知道如果 $a,A,b$ 这三个数成等差数列，那么一定有

$A-a=b-A,$

由此可得

$2A=a+b,$

所以

$A={\frac {a+b}{2}}.$

反过来，如果 $A={\frac {a+b}{2}}$ ，那么从

$A-a={\frac {a+b}{2}}-a={\frac {b-a}{2}},$

$b-A=b-{\frac {a+b}{2}}={\frac {b-a}{2}},$

也就可以知道 $a,A,b$ 这三个数成等差数列。

我们把

$A={\frac {a+b}{2}}$

叫做 $a$ 和 $b$ 的等差中项。

等比中项

根据等比数列的定义，我们知道如果 $a,G,b$ 这三个数成等比数列，那么一定有

${\frac {G}{a}}={\frac {b}{G}},$

由此可得

$G^{2}=ab,$

当 $ab>0$ 的时候，就有

$G=\pm {\sqrt {ab}}.$

反过来，如果 $G=\pm {\sqrt {ab}}$ ，那么从

${\frac {G}{a}}={\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{a}}=\pm {\sqrt {\frac {b}{a}}}$

和

${\frac {b}{G}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {ab}}}}=\pm {\sqrt {\frac {b}{a}}},$

也就可以知道 $a,G,b$ 这三个数成等比数列。

我们把

$G=\pm {\sqrt {ab}}$

叫做 $a$ 和 $b$ 的等比中项。

数列的极限

数列极限的一些定理

在研究数列极限的时候，常常要用到下面这些定理，现在我们不加证明的采用。

• 定理１　如果一个数列有极限，那么它只能有一个极限。
• 定理２　如果一个数列是递增有限数列，或者是递减有限数列，那么它一定有极限。
• 定理３　如果两个数列都有极限，就是

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=A,\qquad \lim _{n\to \infty }b_{n}=B$

那么，由这两个数列各对应项的和、差、积、商所组成的数列，也有极限，并且

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n}=A+B,$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}-\lim _{n\to \infty }b_{n}=A-B,$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }b_{n}=A\cdot B,$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}={\frac {A}{B}}(B\neq 0).$

例如，数列

$0,\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {3}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n}},\,\cdots$

的极限是 $1$ 。

数列

${\frac {2}{1}},\,{\frac {3}{2}},\,{\frac {4}{3}},\,{\frac {5}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n+1}{n}},\,\cdots$

的极限也是 $1$ 。

以这两个数列各对应项的和作数列：

$0+{\frac {2}{1}},\,{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}},\,{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{3}},\,{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n}}+{\frac {n+1}{n}},\,\cdots ,$

就是

$2,\,2,\,2,\,2,\,\cdots ,\,2,\,\cdots .$

很明显，它的极限是 $2$ ，也就是原来这两个数列极限之和。

以这两个数列各对应项的差作数列：

$0-{\frac {2}{1}},\,{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}},\,{\frac {2}{3}}-{\frac {4}{3}},\,{\frac {3}{4}}-{\frac {5}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n}}-{\frac {n+1}{n}},\,\cdots ,$

就是

$-2,\,-1,\,-{\frac {2}{3}},\,-{\frac {2}{4}},\,\cdots ,\,-{\frac {2}{n}},\,\cdots .$

当 $n\to \infty$ 的时候，

$\left|-{\frac {2}{n}}-0\right|={\frac {2}{n}}\to 0.$

所以它的极限是 $0$ ，也就是原来这两个数列的极限的差。

以这两个数列各对应项的积作数列：

$0\cdot {\frac {2}{1}},\,{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}},\,{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}},\,{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n+1}{n}},\,\cdots ,$

就是

$0,\,{\frac {2^{2}-1}{2^{2}}},\,{\frac {3^{2}-1}{3^{2}}},\,{\frac {4^{2}-1}{4^{2}}},\,\cdots ,\,{\frac {n^{2}-1}{n^{2}}},\,\cdots .$

当 $n\to \infty$ 的时候，

$\left|{\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}-1\right|={\frac {1}{n^{2}}}\to 0.$

所以它的极限是 $1$ ，也就是原来这两个数列的极限的积。

以这两个数列各对应项的商作数列：

${\frac {0}{\dfrac {2}{1}}},\,{\frac {\dfrac {1}{2}}{\dfrac {3}{2}}},\,{\frac {\dfrac {2}{3}}{\dfrac {4}{3}}},\,{\frac {\dfrac {3}{4}}{\dfrac {5}{4}}},\,\cdots ,\,{\frac {\dfrac {n-1}{n}}{\dfrac {n+1}{n}}},\,\cdots ,$

就是

$0,\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,\cdots ,\,{\frac {n-1}{n+1}},\,\cdots .$

当 $n\to \infty$ 的时候，

$\left|{\frac {n-1}{n+1}}-1\right|={\frac {2}{n+1}}\to 0.$

所以它的极限是 $1$ ，也就是原来这两个数列的极限的商。