三角形的五心

定義

三角形五心的定義

三角形的內心、外心、重心及垂心稱為三角形的四心，定義如下：

名稱	定義	備註
內心	三個內角的角平分線的交點	該點為三角形內切圓的圓心。
外心	三條邊的垂直平分線的交點	該點為三角形外接圓的圓心。
重心	三條中線的交點	被交點劃分的線段比例為1:2(靠近角的一段較長)。
垂心	三條高線的交點

垂心(藍)、重心(黃)和外心(綠)能連成一線，且成比例2:1，稱為尤拉線。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：

名稱	定義	圖示	備註
旁心	其中一內角和另外兩外角的角平分線的交點		有三個，為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。

正弦(sine)、餘弦(Cosine)定義

∠A之度數為α：
sinα=對邊長/斜邊長
cosα=鄰邊長/斜邊長

直角三角形中∠A之度數為α，定義：

sinα=對邊長/斜邊長

cosα=鄰邊長/斜邊長

基本性質：

sinα=cos(90°-α)
令∠B度數為β，β=90°-α，則sinα=a/c=cosβ=cos(90°-α)
cosα=sin(90°-α)
令∠B度數為β，β=90°-α，則cosα=b/c=sinβ=sin(90°-α)
sin²α+cos²α=1

三角函數的平方寫在角度前，不寫在角度後，以和「α²取sin」區分。

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha ={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1

兩大公式

(一)圓周角等於對同弧圓心角的一半

正弦定理

若 $R$ 為外接圓半徑，則 ${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$ 。

(二)餘弦定理

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

三角形面積公式

(一)已知兩邊及其夾角

三角形面積為二分之一兩邊乘以夾角正弦。

△= ${\frac {1}{2}}\times ab\times \sin \gamma$

△= ${\frac {1}{2}}\times b\times h={\frac {1}{2}}\times b\times h\times {\frac {a}{a}}={\frac {1}{2}}\times a\times b\times {\frac {h}{a}}={\frac {1}{2}}\times ab\times \sin \gamma$