自然科学/运动和运动的描述

位置

在已有参考系的情况下，我们能够很容易的描述位置。在经典力学中，任何物体都没有绝对的位置，我们讨论的位置都是相对位置。在没有进一步说明的情况下，我们所说的位置，都是相对于参考系的位置。在经典物理中，我们默认我们已经确定x,y,z轴的正方向以及单位，这样我们可以用一个三维向量(x,y,z)来描述任何一个物体的位置。

在中学阶段，一般研究的物体运动都是在一维或二维空间中进行的，并且我们很少描述相对于参考系的位置，而是将精力更多的集中在物体之间的相对位置。由于一维空间中的相对位置可以直接用二者的距离表示，所以在中学力学中，使用距离的说法多于位置。

标量和矢量

在自然科学中，某些时候一个单纯数量就可以量化某个物理量，如体积能够直观反映物体占用的空间大小。但是很多时候，单纯的数量，不能准确表示一个物理量，需要加入方向辅助。如在描述一个运动物体时，运动的快慢并不能直接代表运动的方式，因为方向同样重要。

我们引入矢量的概念，来准确地描述一些现象，简而言之，矢量是既有大小又有方向的量。在表示矢量时，我们借助向量（包括一维向量）。实际上，我们已经描述的位置就是一个矢量，而通常意义上的“距离”就是一个标量，我们放弃距离这种模糊不清的概念，而使用能够准确描述位置的位置矢量，就是为了精确描述现象。在一维空间中，位置向量也是一维的，这个时候使用位置加上“前”“后”或“左”“右”这样的词缀，相当于给距离加入了方向，也就是我们说的相对位置。

矢量的运算继承自描述他的向量。（如果你不熟悉向量的运算，请学习和复习相关内容，包括三角形法则和平行四边形法则）这里似乎有一些奇怪，因为我们强制用向量来表示所有的矢量，然后又强制让他们符合同一种运算法则，也就是强制让所有的矢量遵循同样的运动规律。这里我们需要阐述清楚这个问题。我们在绪论中，已经说明形式科学的抽象概念，大都由现实生活中的概念抽象而来，而向量也是如此。向量的运算，也是抽象自矢量，通过对一些矢量的运算观测，而终结抽象得到向量。但是这样也并不能保证所有的矢量都遵循向量运算法则，因此，我们还需要对已有的矢量进行重复实验来检测——这当然也不能证明。

位移

位移描述的是物体相对于参考系发生的位置变换。用定义语言描述：位移是描述物体位置变化的物理量。

实际上，位置也可以看做物体从参考系到实际位置的位移。之所以引入“位移”这个概念，是因为我们希望能够表达出“移动”这个过程，而这个过程是在某一段时间里发生的。因此，我们所说的位移，可以加入一段时间作为限制，作为某一段时间内的位移。

物体的位移s，可以用一个三维量表示${\textstyle {\boldsymbol {s}}(s_{x},s_{y},s_{z})}$，根据矢量的运算法则，位移s，可以由物体的终止位置${\boldsymbol {L_{1}}}$和初始位置${\boldsymbol {L_{0}}}$计算得出：$$s=L_{1}-L_{0}$$

请注意位移和通常意义上的路程并不相同，路程，如汽车的行使里程，关注了整个形式过程的走过的距离，而忽略了方向，而位移，则关注的是初态到终态的变化，而忽略中间过程。你也许认为大多数运动都有复杂的中间过程，所以位移并没有生意义。实际上，我们在考虑一个某段时间内的复杂的运动时，往往会将他分解成更短时间内的一些运动，且这个过程可以继续进行下去。当我们分解到一定程度时，这一段时间内的位移很小，可以视作一个直线运动，并用$\Delta {\mathit {\boldsymbol {s}}}$来表示这段时间内的位移。其中字母Δ通常用来表示变化量。

为什么任意微小时间内的运动可以视为直线运动？我们在讲解微元的时候会进一步阐释。

运动

当一个物体，相对于另一个物体，发生了位置变化，我们就说，这两个物体之间发生了相对运动。为什么说是相对运动？因为你只能感知物体之间相对的位置变化，我们在自然科学中谈论的运动也都是这样子确定的。

一种做圆周运动的双星系统

也许你会说，你在车中能够感受汽车是在开动还是静置——即使是闭上眼睛。其实你感受的不是位置变化，而是汽车在运动中的加速、刹车、颠簸，这并不是运动变化。在颠簸、加速、减速小得多的火车中，感受这种所谓的”运动“也就要难得多。然后再回想一下坐船的经历，为什么船舱中比甲板上更容易晕船？因为你在船舱中，周围的一切相对于你都几乎是相对静止的，但是你却明明感受到了颠簸，这样就会让你的大脑产生不适，从而晕船。

按照定义相对运动的方式，也可以定义相对静止，那就是，两个物体之间没有相对的位置变化。到此为止，我们描述了运动和静止的相对性，但是绝对地有没有运动和静止呢？这个问题现在不太需要回答，我们到这里还没有讲述足够的知识来回答这个问题。

当我们在分析一个运动系统时，如果没有特殊说明，我们说的运动也是参考的默认参考系。这个默认参考系的选择非常微妙。在考虑地球上的物体的运动过程时，默认参考系非常简单，选择地面即可。但是在研究宇宙中的物体时，似乎感觉无法选择，例如在研究一个做圆周运动的双星系统时，这个参考系的选择就非常讲究。首先，这个双星系统中的任何一颗恒星都不能被选为参考系，如果被选为参考系，那么他就是被默认静止的，那么我们看到的只会是另一颗恒星绕它旋转；其次，这个双星系统的周围的恒星、行星也不能被选择为参考系，他们间的位置关系变换太多。实际上，我们只需要选择这个双星系统圆周运动的中心即可，但是，中心没有任何物体啊？实际上，我们在研究这个问题的时候，应该是选择了一颗距离它们很远与他们二者发生的相对位置关系可以忽略不计的物体作为参考系，而将坐标远点设置在了双星系统中两者做圆周运动的中心。

请注意，在这里，它们二者的运动可能已经不完全是低速了，所以经典物理结论用在这个系统中可能依然适用，但是精确度降低。当用在更加高速的系统中的，精度会下降到难以接受，这个时候就应该用建立和适用更加普适的理论模型了。

速度和速率

速度是描述物体在参考系下位置变化状态的物理量。速度是一个矢量。经典力学中的速度，同样只有在参考系下才有意义，类似于位移，我们可以用一个三维向量${\mathit {\boldsymbol {v}}}(v_{x},v_{y},v_{z})$表示一个经典物理中的参考系下的物体的速度。如果我们单看三个分量中的一个，这个分量就表示了两个信息：物体在这个分量上运动的快慢和物体在这个分量上的运动方向。根据矢量合成的法则，我们可以通过三个分量的速度合成出物体在参考系下的速度，这个矢量具有两个意义，首先，肯定的是，速度的大小$|{\mathit {\boldsymbol {v}}}|$表示物体运动的快慢，除此之外，这个向量的方向就是物体运动的方向。描述出一个物体运动的快慢和方向，就可以描述这个物体在参考系下的位置变化的状态。

为什么我们不直接说速度就时描述物体在参考系下的运动状态？物体在参考系下除了有位置的变化，还能有一些其他的运动方式。由于并不是每一个研究对象都可以视为质点，所以，物体可能会发生转动！而整个物体的速度，这个物理量，并没有考虑物体本身的转动。在研究某些问题时，不考虑物体本身的转动，得到的结果往往是十分不精确的。例如在研究地月系时，由于地球和月球的位置关系不断变化，月球会出现在地球不同的方位上并造成潮汐，但是潮汐会不断地消耗整个系统的能量，使得地球、月球的自转速度降低，最后达成潮汐锁定。在这里我们做一个约定，现在我们在没有特定的研究环境时，我们使用运动状态来取代位置变化状态进行叙述，使得描述不那么晦涩，但是读者应该清楚，我们这里的运动状态不包括物体自身在参考系下的旋转。

请注意，我们这里说所的速度，是指瞬时速度。我们研究的物体，可能运动状态在不断变化，即每时每刻运动的方向和快慢都不一样，因此只有使用瞬时速度来描述某一刻该物体的运动状态。在研究一段时间内物体的运动时，我们使用平均速度这个概念。物体的平均速度${\mathit {\boldsymbol {v}}}$，指物体在某一段时间内，物体的位移${\mathit {\boldsymbol {s}}}$，与时间t的倒数的乘积，即

$${\mathit {\boldsymbol {v}}}={\frac {\boldsymbol {s}}{t}}$$我们不得不这样描述是因为速度和位移都是矢量。很多时候，在物体总是在运动在某个一维空间内时，我们只需要用正负号来表示方向，这个时候速度和位移均退化为一个实数，可以不使用向量的表示方法来表示。

如果我们只需要研究物体运动的快慢，那么直接考虑速率${\mathit {v}}=|{\boldsymbol {v}}|$即可。

加速度

在讲解加速度前，让我们回顾总结一下关于现象的描述相关的内容，这样有利于让你理解为什么我们需要定义加速度这样一个物理量。我们说，自然科学是研究现象的科学，要通过对现象的描述、总结来建立模型，并对模型进行检测。这里的第一步就是描述现象，也就是说，任何自然科学的研究都建立在对现象的准确描述这一基石上。而我们的物理量就是为了描述现象，这也就是说，我们定义物理量是根据需要，物理量也必须是有意义的。我们定义加速度，是因为我们觉得有必要需要一个物理量来描述速度的变化值。在之后的学习中，你将会看到，加速度这样一个物理量提出的多么巧妙，多么能解释自然规律。

同讲解速度的方式不同，我们直接说明，我们研究加速度，很少提出“平均加速度”这一说法。我们说的加速度都是瞬时加速度，也就是物体在某个瞬间速度的变化值。加速度的定义是：加速度是描述物体在参考系下的速度的变化状态的物理量。也就是说，物体的速度可能是变化的，究竟是怎么变，就是它的变化状态，而加速度就是描述，物体的速度究竟怎么变。加速度${\boldsymbol {a}}(a_{x},a_{y},a_{z})$，可以通过矢量分解、合成法则来理解，这里不再追溯。由于我们现在还没学习如何计算一个瞬时量，在计算瞬时量时，我们需要一种新的思想（指思维方式）——微分思想来实现，我们将在下一节介绍。现在，我们假设我们研究的对象的速度变化快慢是一定的，也就是加速度始终保持不变——虽然保持不变，但是你并不知道是多少，那么物体的加速度${\boldsymbol {a}}$可以由时间段t、t结束时物体的速度${\boldsymbol {v_{1}}}$、t开始时物体的速度${\boldsymbol {v_{0}}}$计算得出。

$${\boldsymbol {a}}={\tfrac {{\boldsymbol {v_{1}}}-{\boldsymbol {v_{0}}}}{t}}$$根据公式，可以知道，加速度的单位是m/s²。

在地球上的物体，始终受到一个指向地心的加速度，这个加速度在地球不同的位置和海拔高度仅略有不同，叫做重力加速度。在一个较小区域，我们可以几乎将这个加速度几乎可以认为是垂直于地面且始终保持不变的，记做g，其值约为9.8m/s²。

简单的运动问题

匀速运动和匀加速运动，是两类特殊的简单运动，对他们两类运动研究，分别揭示了经典力学的两大定律。在这里，我们仅讨论运动现象，而不讨论和力有关的内容，即我们现在研究的是运动学，而不是动力学。在对简单的运动进行研究时，我们不需要借助向量来表示矢量，而是采取“分别描述矢量的大小和方向”的方式，来简化表述。由于，矢量运算法则仍然遵循向量运算法则，因此在脱离向量后，我们需要用到三角函数来对矢量进行运算。

匀速运动

匀速运动，是指物体在参考系中所作的速度恒定的运动。物体的速度恒定，即速度的大小和方向都保持不变，那么物体肯定做的是直线运动，因此匀速运动一定是直线运动。匀速运动是除静止外最为简单的运动。有关匀速运动的问题，一般涉及到速度、位移、位置、时间的相互计算以及矢量的合成与分解。

匀加速直线运动

物体匀加速直线运动，指的是物体做加速度恒定的直线运动。物体在做匀加速运动时，如果加速度和速度的方向相同，那么根据矢量合成的法则，物体在任意时间内的速度均保持不变，现在我们来推导这个结论。以下退到所有的向量均只表示数量关系。

设物体运动的初速度为${\boldsymbol {v}}({\mathit {v_{x},v_{y},v_{z}}})$，加速度恒定为${\boldsymbol {a}}({\mathit {a_{x},a_{y},a_{z}}})$，则有$${\boldsymbol {v}}=\lambda {\boldsymbol {a}}$$在经历任意时间段t后，物体运动的速度为

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {v_{1}}}&={\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {a}}\\&=(1+{\frac {t}{\lambda }}){\boldsymbol {v}}\\\end{aligned}}$$因此${\boldsymbol {v_{1}}}$与${\boldsymbol {v}}$共线，物体的速度始终保持方向不变。

做匀加速运动的物体，我们可以通过求其平均速度的方式，辗转求出其位移，由于，在时间段t内，物体运动的平均速度为

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\overline {v}}}&={\frac {{\boldsymbol {v_{1}}}+{\boldsymbol {v_{0}}}}{2}}\\&={\boldsymbol {v_{0}}}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t\\\end{aligned}}$$因此，位移

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {s}}&={\boldsymbol {\overline {v}}}t\\&={\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2}\\\end{aligned}}$$

当物体做匀加速运动且加速度和初速度方向不同时，物体的速度永远都不可能变得和加速度相同，因此永远都是作曲线运动，但是无论如何运动，运动轨迹始终在一个平面内。一个最简单的非直线匀加速运动，就是不计任何阻力的情况下，抛出的任何物体加速度即为重力加速度。根据我们的常识，这样的物体做的是曲线运动。

习题

1. 推导定律：做匀加速运动的物体始终在同一平面内运动。

思考题

1. 如何测量一个做匀加速运动的物体的速度和加速度？