國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數

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國中數學七年級
1-1 正數與負數

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以下是維基百科上對於北極的氣候介紹：

北極冬天（1月）的氣溫從 $-43$ ℃（ $-45$ ℉）到 $-26$ ℃（ $-15$ ℉），平均約在 $-34$ ℃（ $-29$ ℉）。夏天（6至8月）的溫度平均會在冰點，有紀錄以來的最高溫為 $5$ ℃（ $41$ ℉），比南極的最高溫 $-12.3$ ℃（ $-9.9$ ℉）要高很多。

在這個文章出現了相當多以前沒看過的數字，如 $-43$ 、 $-45$ 、 $-26$ 、 $-12.3$ 、……等等，其實這些數字代表比0小多少的意思。在底下我們將介紹這樣的數字。

認識負數

生活上有許多相對的量。如收入與支出、賺錢與賠錢、高於與低於、東方與西方、贏與輸……等等。在數學上，我們可以用符號「 $+$ 」與「 $-$ 」來代表這些代表「相反」或「相對」的量，如今天早上媽媽給雨婷 $100$ 元當作零用錢，雨婷的錢增加了 $100$ 元，可以紀錄為 $+100$ 元；而雨婷花了 $50$ 元買早餐，所以雨婷的錢減少了 $50$ 元，可以紀錄為 $-50$ 元。
在上數學課的時候，雨婷舉手回答老師的問題，老師以加學期總成績 $3$ 分作為獎勵，老師可以在紀錄表上用 $+3$ 來記錄；敏翔在上課玩手機，老師以扣學期總成績 $5$ 分與沒收手機作為懲罰，老師可以在紀錄表上用 $-5$ 來記錄。
冬天的氣溫在緯度比較高的地方常常會出現低於攝氏 $0$ 度的低溫，如今天新聞提到中國的城市哈爾濱的氣溫為 $-25$ ℃，這表示哈爾濱今天的氣溫比 $0$ ℃還要低 $25$ ℃；在前言提到北極的冬天平均氣溫約在 $-34$ ℃左右，這就表示北極的冬天平均氣溫大約比 $0$ ℃還要低 $34$ ℃。

例題

1

以海平面為基準，高於海平面

100

公尺我們記作

+100

公尺，則：

$(1)$ 玉山的最高峰高於海平面 $3952.43$ 公尺，我們記作為何？
$(2)$ 馬里亞納海溝最低點低於海平面 $11034$ 公尺，我們記作為何？

解

因為高於海平面

100

公尺我們記作

+100

，

所以高於海平面為正，低於海平面為負。
$(1)$ 因為高於海平面 $3952.43$ 公尺，所以記作 $+3952.43$ 公尺。
$(2)$ 因為低於海平面 $11034$ 公尺，所以記作 $-11034$ 公尺。

習題

習題 $1.$ 東方與西方是相對的量。若怡安往東方走 $100$ 公尺，我們記作 $+100$ 公尺，則：
$(1)$ 梓欣往西方走 $70$ 公尺，我們記作什麼？^{[解答 1]}
$(2)$ 孟珍走了 $-120$ 公尺，這代表孟珍往什麼方向走了幾公尺？^{[解答 2]}
習題 $2.$ 偉展的身高為 $163$ 公分。以偉展的身高為基準，俊鑫的身高比偉展高 $3$ 公分，我們記作 $+3$ 公分，則：
$(1)$ 雅綺比偉展矮 $5$ 公分，我們記作什麼？^{[解答 3]}
$(2)$ 志民的身高為 $168$ 公分，我們記作什麼？^{[解答 4]}

性質符號與運算符號

若「 $+$ 」、「 $-$ 」是用來表示數字的正負性，則我們稱這兩個符號為性質符號。如在例題 $1$ 的 ${\color {red}+}3952.43$ 的「 $+$ 」、 ${\color {red}-}11034$ 的「 $-$ 」；
若「 $+$ 」、「 $-$ 」是用來表示算式的加減法，則我們稱這兩個符號為運算符號。如 $3{\color {red}+}5=8$ 的「 $+$ 」、 $7{\color {red}-}2=5$ 的「 $-$ 」。

比較項目	性質符號	運算符號
說明	數字的正負性	算式的加減法
舉例	${\color {red}-}3952.43$ 、 ${\color {red}-}11034$	$3{\color {red}+}5=8$ 、 $7{\color {red}-}2=5$

性質符號為「 $+$ 」的數我們稱作正數；性質符號為「 $-$ 」的數我們稱作負數，這兩種數合稱為有號數；而「 $0$ 」沒有任何性質符號，我們稱為中性數^{[註 1]}^{[註 2]}。
另外，所有的正數都大於 $0$ ；所有的負數都小於 $0$ 。
在正數當中，像 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ ……這樣的數我們稱為正整數；在負數當中，像 $-1$ 、 $-2$ 、 $-3$ 、 $-4$ ……這樣的數我們稱為負整數。而正整數、負整數與 $0$ 合稱為整數。

同號數與異號數

兩個數如果同時為正數或同時為負數(性質符號相同)，則我們稱這兩個數為同號數。如 $11$ 與 ${\frac {3}{5}}$ ；
兩個數如果一個是正數且一個是負數(性質符號相異)，則我們稱這兩個數為異號數。如 $4$ 與 $-1.9$ 。

習題

習題 $3.$ 以下各組數是同號數還是異號數？在表格正確的空格中打勾。^{[解答 5]}

題號	題目	同號數	異號數
(1)	$-5$ 、 ${\frac {1}{5}}$
(2)	$-1.2$ 、 $-2{\frac {7}{9}}$
(3)	$1{\frac {10}{11}}$ 、 $10{\frac {1}{11}}$

數線

如下圖 $1$ ，這是一支攝氏溫度計。將這支溫度計傾倒如圖 $2$ ，我們可以將上頭的刻度畫在一條線上(如圖 $3$ )。

圖 $1$ 溫度計	圖 $2$ 傾倒的溫度計	圖 $3$ 將圖 $2$ 的刻度畫在一條線上

像圖 $3$ 這樣的圖形我們就稱為數線。

數線具有三大要素：^{[註 3]}

數線：數線上代表 $0$ 的位置，時常使用英文字母 $O$ 表示。
正向：數線上數字愈來愈大的方向，一般來說會在數線的右方。^{[註 4]}
- 正數都在原點 $O$ 的右邊，負數都在原點 $O$ 的左邊。
- 在數線上，愈右邊的數字愈大；愈左邊的數字愈小。
單位長：數線上每個格子代表的長度。例如在圖 $3$ 中，每格單位長為 $10$ 單位。
- 單位長的長度沒有限制。你可以每格為 $1$ 公分，也可以每格 $3$ 公分，甚至可以每格 $0.7$ 公分。
- 單位長代表的長度沒有限制。你可以每 $1$ 格代表 $1$ 單位，也可以每 $1$ 格代表 $3$ 單位，甚至可以每 $1$ 格代表 $0.7$ 單位。

數線上的點

數線上的每一個點都代表一個數，若數線上的點^{[註 5]} $A$ 所代表的數字為 $a$ ^{[註 6]}，則 $A$ 點坐標為 $a$ ，記作 ${\color {red}A(a)}$ 。如下圖 $4$ ， $A$ 點坐標為 $5$ ，記作 $A(5)$ ； $B$ 點坐標為 $-3$ ，記作 $B(-3)$ 。

圖

4

數線上的分數點

數線上也可以表示代表分數的點。如在下圖 $5$ 中，

$C$ 點介於 $3$ 與 $4$ 之間 $5$ 等分中從左而右數來^{[註 7]}第 $2$ 格線上，所以 $C$ 點代表 $3{\frac {2}{5}}$ ，可以記作 $C(3{\frac {2}{5}})$ 。
$D$ 點介於 $-1$ 與 $-2$ 之間 $3$ 等分中從右而左數來^{[註 8]}第 $2$ 格線上，所以 $D$ 點代表 $-1{\frac {2}{3}}$ ，可以記作 $D(-1{\frac {2}{3}})$ 。

圖

5

數線上的小數點

數線上也可以表示代表小數的點。如在下圖 $6$ 中，

$E$ 點介於 $1$ 與 $2$ 之間 $10$ 等分中從左而右數來第 $4$ 格線上，所以 $E$ 代表 $1.4$ ，可以記作 $E(1.4)$ 。
$F$ 點介於 $-1$ 與 $-2$ 之間 $10$ 等分中從右而左數來第 $7$ 格線上，所以 $F$ 點代表 $-1.7$ ，可以記作 $F(-1.7)$ 。

圖

6

標示數線上的點

整數點：從原點 $0$ 出發，
- 畫正整數就從左往右數相同數字的格子數。
  - 如圖 $7$ ，要在數線上畫出 $3$ ，從原點 $0$ 出發從左而右數 $3$ 個格子，到達 $A$ 點， $A$ 點即代表 $3$ 的點。
- 畫負整數就從右往左數相同數字的格子數。如圖 $7$ 中代表 $-3$ 的點為 $B$ 點。
  - 如圖 $7$ ，要在數線上畫出 $-3$ ，從原點 $0$ 出發從右而左數 $3$ 個格子，到達 $B$ 點， $B$ 點即代表 $-3$ 的點。
  - 圖 $7$
分數點：設分數為 $a{\frac {b}{c}}$ ，其中 ${\frac {b}{c}}$ 為最簡分數，
- 畫正分數：在 $a$ 與 $a+1$ 之間分成 $c$ 格，從左而右數第 $b$ 個格線。
  - 如圖 $8$ ，要在數線上畫出 $2{\frac {1}{3}}$ ，先在 $2$ 與 $3$ 之間分成 $3$ 格，從左而右數來第 $1$ 個格線就是 $2{\frac {1}{3}}$ 。(圖 $8$ 中的 $C$ 點)
- 畫負分數：在 $a$ 與 $a$ 左邊一格之間分成 $c$ 格，從右而左數第 $b$ 個格線。
  - 如圖 $8$ ，要在數線上畫出 $-2{\frac {1}{3}}$ ，先在 $-2$ 與 $-3$ 之間分成 $3$ 格，從右而左數來第 $1$ 個格線就是 $-2{\frac {1}{3}}$ 。(圖 $8$ 中的 $D$ 點)
  - 圖 $8$
小數點：將小數化為最簡分數，再利用畫分數的方法畫出。
- 畫正小數：如圖 $9$ ，要在數線上畫出 $2.3$ ，先將 $2.3$ 化成分數 $2{\frac {3}{10}}$ ，再將 $2$ 與 $3$ 之間分成 $10$ 格，從左而右數來第 $3$ 個格線就是 $2{\frac {3}{10}}$ ，也就是 $2.3$ 。(圖 $9$ 中的 $E$ 點)
- 畫負小數：如圖 $9$ ，要在數線上畫出 $-2.3$ ，先將 $-2.3$ 化成分數 $-2{\frac {3}{10}}$ ，再將 $-2$ 與 $-3$ 之間分成 $10$ 格，從右而左數來第 $3$ 個格線就是 $-2{\frac {3}{10}}$ ，也就是 $-2.3$ 。(圖 $9$ 中的 $F$ 點)
  - 圖 $9$

比大小

在數線上，

愈往數線右方的數愈大，愈往數線左方的數愈小。
負數 $<0<$ 正數。

例題

2

比較

-5

與

-7

的大小關係。

解

如圖 $10$ ，在數線上 $-5$ 比 $-7$ 右邊，所以 $-5>-7$ 。

圖

10

習題

習題 $4.$ 比較以下各組數的大小，在表格填入 $>$ 、 $<$ 或 $=$ 。^{[解答 6]}

題號	數字 $1$	數字 $2$
$(1)$	$-13$	$-15$
$(2)$	$-2{\frac {7}{19}}$	$1{\frac {7}{29}}$
$(3)$	$-0.93$	$-1.04$

三一律

設 $a$ 、 $b$ 為任意兩個數，則 $a>b$ 、 $a<b$ 與 $a=b$ 三個之中必有一個，而且只有一個會成立。

遞移律

設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為任意三個數，而且若 $a>b$ 且 $b>c$ ，則 $a>c$ 。
同樣的，若 $a<b$ 且 $b<c$ ，則 $a<c$ ；若 $a=b$ 且 $b=c$ ，則 $a=c$ 。

例題

3

比較

5

、

-6

、

3

與

-2

的大小關係。

解

因為

5

和

3

為正數，

-6

和

-2

為負數，所以

5

與

3

同時比

-6

與

-2

大，

又因為 $5>3>0$ ， $0>-2>-6$ ，所以 $5>3>-2>-6$ 。

相反數

參見：相反數

某國中舉辦班際籃球賽，七年一班與七年二班對戰，最後的結果為七年一班贏七年二班 $5$ 分。若我們將贏球記作正分，輸球記作負分，則對於七年一班來說，他們班與七年二班對戰的結果我們可以記作「 $+5$ 分」，至於對於七年二班來說，他們與七年一班對戰的結果我們可以記作「 $-5$ 分」。
氣溫高於 $0$ ℃ $14$ 度，我們記作「 $+14$ ℃」；低於 $0$ ℃ $14$ 度，我們記作「 $-14$ ℃」。

我們常常在生活上看到這樣的例子，雖然兩者的數據是相同的，但是因為性質符號不同的關係所以兩者並不相同，這樣的兩個數我們互稱為「相反數」。如 $5$ 的相反數為 $-5$ ， $-14$ 的相反數為 $14$ 。
特別的，我們定義 $0$ 的相反數為 $0$ 。

習題

習題 $5.$ 以下各數的相反數為何？^{[解答 7]}

題號	題目	相反數
$(1)$	$0$
$(2)$	$12$
$(3)$	$2{\frac {3}{8}}$
$(4)$	$-0.97$

問題與討論

$7$ 的相反數和 $11$ 的相反數何者比較大？^{[問題 1]}
$-7$ 的相反數和 $-11$ 的相反數何者比較大？^{[問題 2]}
若 $a$ 、 $b$ 都是正數而且 $a>b$ ，則 $a$ 的相反數與 $b$ 的相反數何者比較大？^{[問題 3]}
若 $a$ 、 $b$ 都是負數而且 $a>b$ ，則 $a$ 的相反數與 $b$ 的相反數何者比較大？^{[問題 4]}

相反數的記號

若 $a$ 為一個數，則 $a$ 的相反數我們記作 ${\color {red}-a}$ 。
如 $5$ 的相反數我們記作 $-5$ ， $-14$ 的相反數我們記作 $-(-14)=14$ 。

問題與討論

若 $a$ 為一個不為 $0$ 的數，則 $-a$ 是正數還是負數？^{[問題 5]}

絕對值

參見：絕對值
在剛剛的例子中，

七年一班贏七年二班 $5$ 分。
溫度與 $0$ ℃相差 $14$ ℃。

我們只是想要表達一個數與基準量的差異，可以用什麼符號表示呢？
答案是絕對值。
一個數的絕對值指的是這個數在數線上表示的點與原點的距離。如圖 $11$ 所示，數線上表示 $3$ 的點與原點相距 $3$ 單位長，我們就說 $3$ 的絕對值為 $3$ ；數線上表示 $-3$ 的點與原點相距 $3$ 單位長，我們就說 $-3$ 的絕對值為 $3$ 。

圖

11

3

與

-3

與原點的距離都是

3

，所以絕對值都是

3

。

絕對值的符號

設 $a$ 是一個數，則 $a$ 的絕對值我們記作 ${\color {red}|a|}$ 。如 $3$ 的絕對值為 $3$ ，我們記作 $|3|=3$ ； $-3$ 的絕對值為 $3$ ，我們記作 $|-3|=3$ 。
特別的，我們定義 $|0|=0$ 。

習題

習題 $6.$ 寫出以下各數的值。^{[解答 8]}

題號	題目	答案
$(1)$	$\|-12\|$
$(2)$	$\|{\frac {11}{5}}\|$
$(3)$	$\|-7.345\|$

問題與討論

若 $a$ 是非 $0$ 的數，則 $|a|$ 是正數還是負數？^{[問題 6]}
若 $a$ 、 $b$ 是兩個數而且 $a>b$ ，則 $|a|$ 和 $|b|$ 何者比較大？^{[問題 7]}
若 $a$ 、 $b$ 都是正數而且 $a>b$ ，則 $|a|$ 和 $|b|$ 何者比較大？^{[問題 8]}
若 $a$ 、 $b$ 都是負數而且 $a>b$ ，則 $|a|$ 和 $|b|$ 何者比較大？^{[問題 9]}

絕對值與相反數的關係

兩個相異的數 $a$ 、 $b$ 互為相反數，則 $|a|=|b|$ 。
兩個相異的數 $a$ 、 $b$ 滿足 $|a|=|b|$ ，則 $a$ 的相反數是 $b$ ， $b$ 的相反數是 $a$ 。
正數的絕對值等於自己本身。即若 $a$ 是正數，則 $|a|=a$ 。
負數的絕對值等於負數的相反數。即若 $a$ 是負數，則 $|a|=-a$ 。
$0$ 的絕對值等於 $0$ 本身，也等於 $0$ 的相反數。
若 $|a|=0$ ，則 $a=0$ 。
若 $|a|+|b|=0$ ，則 $a=b=0$ 。

課後總習題

基礎題

賺錢與虧錢是相對的。小芳經營一家小吃攤，上個月虧本 $1500$ 元，小芳記作 $-1500$ 元，那這個月賺 $3500$ 元，小芳應該記作幾元？
在數線上想要標示 $-{\frac {4}{9}}$ ，至少要在數線的 $-1$ 與 $0$ 之間分割成幾格？
比較 $6$ 、 $-2{\frac {3}{5}}$ 與 $-1.74$ 的大小。
寫出以下各數的相反數：
- $(1)-17$
- $(2)3{\frac {2}{7}}$
寫出以下各數的絕對值：
- $(1)|23|$
- $(2)|-3{\frac {5}{6}}|$
比較 $|-6|$ 、 $-|2|$ 與 $-5$ 的大小。
畫出一條數線，並且標示出 $A(-2)$ 、 $B(1.4)$ 與 $C(-3{\frac {1}{2}})$ 三個點。

進階題

以中午 $12$ 時為基準，下午 $3$ 時記作 $+6$ 時，那麼上午 $8$ 時要記作幾時？
在數線上想要標示 $-0.75$ ，至少要在數線的 $-1$ 與 $0$ 之間分割成幾格？
若甲數為整數而且甲數的絕對值小於 $15$ ，則滿足條件的甲數有幾個？
$-(-(-9))=$ ？
若 $a=|-6|$ ，則 $a$ 的相反數是多少？
已知 $a$ 是整數而且 $|-2{\frac {2}{3}}|<|a|<|5{\frac {5}{8}}|$ ，則這樣的 $a$ 總共有幾個？

註解

↑ 也稱作「調和數」。
↑ $0$ 既不是正數也不是負數。
↑ 數線三大要素缺一不可。
↑ 如果本書沒有特別說明，數線的正向都在右邊。
↑ 數學上，「點」只代表位置，本身不具有任何的大小。
↑ $a$ 代表隨意的數字，它可以是正數(如 ${\frac {355}{113}}$ )，也可以是負數(如 $-1.23456$ )，更可以是 $0$ ；它可以是整數(如 $5$ )，也可以是分數(如 ${\frac {1}{13}}$ )，更可以是小數(如 $0.777$ )。
↑ 數線上代表正數的點是從左而右數，只要看 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、……的順序方向你就知道為什麼了。
↑ 數線上代表負數的點是從右而左數，只要看 $-1$ 、 $-2$ 、 $-3$ 、……的順序方向你就知道為什麼了。