动力气象学/大气运动基本方程组

运动方程

对于单位质量的气团，根据牛顿第二定律有

• ${\frac {d_{a}{\vec {V}}_{a}}{dt}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}$

其中$d_{a}$表示绝对微分，${\vec {V}}_{a}$为绝对速度，$\sum _{i}{\vec {F}}_{i}$为单位质量空气质点受到的真实力。上式在惯性坐标系中成立。

绝对加速度=相对加速度+牵连加速度

• ${\frac {d_{a}{\vec {V}}_{a}}{dt}}={\frac {d{\vec {V}}}{dt}}+{\frac {d_{e}{\vec {V}}}{dt}}={\frac {d{\vec {V}}}{dt}}-\Omega ^{2}{\vec {R}}+2{\vec {\Omega }}\times {\vec {V}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}$

其中：牵连加速度=向心加速度+科氏加速度

• ${\frac {d_{e}{\vec {V}}}{dt}}=-\Omega ^{2}{\vec {R}}+2\Omega \land {\vec {V}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}$

因此：

• ${\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}+\Omega ^{2}{\vec {R}}-2\Omega \land {\vec {V}}$

连续方程

质量守恒定律应用于研究大气运动，其数学表达式称为连续方程。

拉格朗日观点

• ${\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot {\vec {V}}=0$

其中：

• ${\frac {d\rho }{dt}}$：气团密度随体变化率
• $\nabla \cdot {\vec {V}}={\frac {1}{\delta \tau }}{\frac {d\delta \tau }{d{\dot {\tau }}}}$：气团体积的相对变化率

欧拉观点

• ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {V}})=0$

其中：

• ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}$：固定空间密度的局地变化率——单位时间单位空间体积（固定）内的质量变化
• $\nabla \cdot (\rho {\vec {V}})$：单位时间单位空间体积内流体质量的流入流出量

状态方程

理想气体状态方程：$p=\rho RT\,$

热流量方程

根据热力学第一定律（能量守恒定律）：

• $C_{V}{\frac {dT}{dt}}+P{\frac {d\alpha }{dt}}={\dot {Q}}$

即：单位质量气团外界加热率＝内能变化率＋气团膨胀反抗压力作功率

热流量方程的另外一种常用表达：

• $p\alpha =RT\rightarrow {\frac {d}{dt}}(P\alpha )={\frac {d}{dt}}(RT)$

$P{\frac {d\alpha }{dt}}+\alpha {\frac {dP}{dt}}=R{\frac {dT}{dt}}$

$(C_{V}+AR){\frac {dT}{dt}}-\alpha {\frac {dP}{dt}}={\dot {Q}}\Rightarrow C_{p}{\frac {dT}{dt}}-\alpha \omega ={\dot {Q}}$

其中A为热功当量

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至此，我们已经得到关于大气运动的四个独立方程，联立为闭合方程组：

${\begin{cases}{\frac {d{\vec {V}}}{dt}}={\vec {g}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p-2{\vec {\Omega }}\land {\vec {V}}+{\vec {F_{\gamma }}}\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {V}})=0\\p=\rho RT\\C_{p}{\frac {dT}{dt}}-\alpha \omega ={\dot {Q}}\end{cases}}$