初等代數/不等式

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不等式

若兩個式子或式子對數字有大小的關係，且並不一定對等時，用來表示兩者間關係的式子稱之

不等式的基本性质与基本证明方法

不等式的性质

不等式的证明和解法都建立在以下五个定理和三个推论的基础上

定理1

若a>b则b<a；若b<a，则a>b。

定理2

若a>b，且b>c，则a>c。

定理3

若a>b，则a+c>b+c 。

定理3的推论

若a>b，且c>d，则a+c>b+d。

定理4

若a>b，且c>0，则ac>bc；若a>b，且c<0，则ac<bc。

定理4的推论（1）

若a>b>0，且c>d>0，则ac>bd。

定理4的推论（2）

若a>b>0，则$a^{n}>b^{n}(n\in \mathbb {N}$，且n>1)。

定理5

若a>b>0，则${\sqrt[{n}]{a}}>{\sqrt[{n}]{b}}(n\in \mathbb {N}$，且n>1)。

反证法

參見反証法專欄

放缩法

參見放缩法專欄

一些初等的不等式

均值不等式

若有n個正實數$a_{1},a_{2},a_{3},......,a_{n}$，且他們的算術平均數為A，幾何平均數為G，則有關係式$A\geq G$，等號成立時當且僅當$a_{1}=a_{2}=a_{3}=......=a_{n}$

證明

1. 先证明 n=2 时，即 ${\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\geq {\sqrt {a_{1}a_{2}}}$

${\frac {(a+b)}{2}}-(ab)^{0.5}={\Bigg [}{\frac {a+b-2(ab)^{0.5}}{2}}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {(a^{0.5}-b^{0.5})^{2}}{2}}{\Bigg ]}\geq 0$

$\therefore {\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\geq {\sqrt {a_{1}a_{2}}}$

2. 由此可推得当 n=2^k (k为自然数)时成立。即 n=2,4,8,16,32…… 时成立。（对对比较后再逐对比较，容易证明）

3. 当 n 为任意自然数的证明比较复杂巧妙。是由 2. 推得：

設$n+p=2^{k}$，$A={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}\cdots +a_{n}}{n}}$

${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\overbrace {A+A+A\cdots } ^{p}}{2^{k}}}\geqslant {\sqrt[{2^{k}}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot AAA\cdots }}$

${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+p\cdot A}{2^{k}}}\geqslant {\sqrt[{2^{k}}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}}}$

$\left({\frac {nA+pA}{n+p}}\right)^{n+p}\geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}$

$A^{n+p}\geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}$

$A^{n}\cdot A^{p}\geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}$

$A\geqslant {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

即${\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n}}\geqslant {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

$\therefore$當n為任意自然數時，該命題均成立得證

柯西不等式

若有2個實數數對，且兩個數對皆有n個數，現在假設這兩個數對分別為$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$和$b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}$，則存在有關係式$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})$，或寫作$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})^{2}/(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})\leq 1$。等號成立當且僅當$a_{1}/b_{1}=a_{2}/b_{2}=...=a_{n}/b_{n}$

證明

構作二次函數$f(x)=(a_{1}x-b_{1})^{2}+(a_{2}x-b_{2})^{2}+...(a_{n}x-b_{n})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})$，由於$f(x)$的每一項都是完全平方式，它最多只有一個實根。考慮它的判別式： $(2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n}))^{2}-4(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})\leq 0$ 得到 $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})$。 同時知道$f(x)$有實根當且僅當它的每一個完全平方式可以同時等於0，即它們的根相同，又即$a_{1}/b_{1}=a_{2}/b_{2}=...=a_{n}/b_{n}$

不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。

不等式的解法

不等式两边可以通过同时加减乘除同一个整式的方式使不等式一边只剩下一个未知数。 具体步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项（化简），系数化为1。