初中數學/統計與機率

理論與用途介紹

基本架構

1. 蒐集數據
2. 演算
3. 預測

有一點像算命

用途

• 賭博與賭博設計
• 保險，風險管理
• 投資理財：但無法改變「高風險、高獲利」的法則
  1. 定存：獲利率 < 2% ，只夠抵消通貨膨脹。
  2. 大型年金：獲利率須達 4% ~ 5%，且採複利投資才能平衡。
  3. 股票：長期平均獲利率可以到 7%~10% ，但你不知道那一家公司能屹立不倒。
• 幾乎每一件事(大數據)
  1. 百貨公司

     有一天，百貨公司寄了一份嬰兒用品型錄給你未婚的女兒。你認為這是對你女兒的侮辱，所以怒氣沖沖地打電話到百貨公司客服部抱怨，請他們以後不要再做這種事了。你抱怨完，卻看到女兒興味盎然地翻著型錄，原來她已經懷孕了。

     百貨公司比爸爸更早知道女兒懷孕的消息，不是黑色幽默，而是塔吉特(Target)百貨真實發生的事件。塔吉特怎麼知道顧客懷孕了？說穿了並不神奇，因為該公司設有準媽媽禮物登記處，讓準媽媽們登記自己想要的嬰兒禮物。由於這份清單等於確知已懷孕的顧客名單，塔吉特便依據名單上的消費紀錄，建立起懷孕婦女的購物模式(孕期會購買的商品清單)，再用此模型比對其他客人的消費紀錄，找出消費形態類似的顧客，向她們行銷相關商品，達成「未卜先知」的結果。運用這個方法，塔吉特多找出了30%的行銷對象。

  2. 傳染病散布途徑：

     Google 在 2008 年推出流感趨勢預測，藉由統計關鍵字的搜尋次數，就能預測全球各地的流感疫情發展，不僅資訊更即時，準確率甚至超過政府的預警系統，Google 以此首開大數據(Big data，又稱巨量資料)應用到醫療領域的創舉，不僅讓其他幾家搜尋引擎紛紛跟進，如中國互聯網巨頭百度(Baidu)，近日宣布與中國疾病預防控制中心合作，利用大數據預測流感疫情。

     加拿大拜歐迪(Bio Diaspora)公司，是全世界第一家運用大數據(Big Data)技術，結合地理資訊系統(Geographic Information System，GIS)，分析歸納出病毒擴散的途徑，繪出一張張「病毒地圖」，進而預測出下一個可能爆發大規模感染區域的公司。 來自傳染病界、氣候學界、生物工程學界等不同領域的專家齊聚在此，嚴密監控著50多種致命病毒的動向。它是世界衛生組織(WHO)、美國疾管局、歐盟疾管局等全球各地來的求救對象。

  3. 社會風氣：若將 Google 搜尋引擎與 Twitter 結合，還能精準看出一些社會風氣的變化。兩位美國經濟學家結合兩者資訊，發現當《16歲懷孕》和《小媽咪》兩部美國影集播放時，青少年懷孕生子數比例大幅降低。
  4. 解除治理走向「暴政」的兩大根本限制：透過機器人、物聯網、大數據使政府可以得到無限量供應的忠誠武裝人員，並且能猜到人民想幹什麼。

名詞

• 樣本：蒐集起來觀察，準備用來演算、推論、預測的數據
• 平均數：所有樣本加起來/樣本個數
• 眾數：樣本中出現最多的數
• 中數或中位數：把所有觀察值按高低排序，位在正中間的數
  1. 找本班身高的平均數、眾數、中位數
  2. 找本班BMI的平均數、眾數、中位數
• 大數法則：
  1. 偶然中包含著必然。
  2. 樣本數量越多，則其平均就越趨近期望值。
  3. 對物理量的測量實踐中，測定值的算術平均也具有穩定性。

     

     以擲單個骰子的過程來展示大數定律。隨著投擲次數的增加，所有結果的均值趨於3.5(骰子點數的期望值)。在投擲數量較小的時候(左邊)會表現得比較不準，當數量變得很大(右邊)的時候，它們將會很準。

     本班的丟骰子實驗

• 期望值：按理應該出現的值，如
  1. 單顆骰子點數的期望值是1*⅙+2*⅙+3*⅙+4*⅙+5*⅙+6*⅙=3.5
     注意：3.5不屬於 1~6 六種可能結果中的任一個，所以期望值不是期望出現的結果。
  2. 彩券獎金的期望值
• 全距：最大數-最小數
• 標準差：
  1. 算出平均值
  2. 所有(樣本值-平均值)²加起來
  3. 除以樣本個數
  4. 開平方
• 常態分布：<img src='http://jendo.org/files/doc/nd1.php' align=middle />

誤用

• 誤把獨立事件當成不獨立事件思考

以台灣歷次基測題目來理解觀念

1. 算出以下這組數據的平均數、中位數、眾數、全距：

   70,70,70,70,80,80,80,80,80,90,90,90,90

   平均數：80

   眾數：80

   中位數：80

   全距：20

2. 安安班上有九位同學，他們的體重資料如下(單位：公斤)：

   57，54，47，42，49，48，45，47，50。請求出：

   平均數：48.78

   眾數：47

   中位數：48

   全距：15

3. 一袋子中有4個圓球，顏色分別為紅、綠、藍、黑。每一個球被取到的機會相等，若自袋中任取兩次球(一次一球，取後放回)，則取出的兩球一黑一紅的機率為何？

   答：⅛

4. 父親的血型基因為 I_A 、 I_B ，母親的血型基因為 I_A 、 i ，生出子女各種血型基的機率為何？

   A型：½

   B型：¼

   AB型：¼

   O型：0

5. 父親的性染色體為 X 、 Y ，母親的性染色體為 X 、 X ，請問生出男生與女生的機率各為多少？

   男生：½

   女生：½

6. 請算出一粒骰子投擲兩次，點數的期望值。

   答：7

7. 某袋中有1號球8顆、2號球7顆、3號球6顆。若自袋中抽取一球，且每球被抽中的機會相等，則抽中3號球的機率為何？

   答：2/7

8. 小華班上比賽投籃，每人投6球，下圖是班上所有學生投進球數的派圖。各球所佔的圓心角：0球:45°；1球:55°；2球:110°；3球:60°；4球:50°；5球:40°，合計360°。根據下圖，請回答：

   

   平均數：2.375

   眾數：2

   中位數：2

   全距：5

   進球的期望值為：2.375