定义

编辑

正如孪生素数是指差等于2的两个素数,三胞胎素数是指三个连续素数,使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上,除了最小的两组三胞胎素数:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外,三胞胎素数分为两类:

A类三胞胎素数,构成为 ,相差2的两个孪生素数在前面,例如:(5,7,11);(11,13,17); (17,19,23);等等。

B类三胞胎素数,构成为 ,相差2的两个孪生素数在后面,例如:(7,11,13);(13,17,19);(37,41,43);等等。

当素数p 大于3时,可以证明形同 的数组不可能是三胞胎素数[1]。事实上,这三个数对3的模两两不同,所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大,因此一定有一个是3的倍数,从而这个数不是素数。


数论中,三胞胎素数(也称为三生素数)是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数,它的名字也正是由此而来。 三胞胎素数猜想

有关孪生素数的一个著名猜想是:是否有无穷多个孪生素数?同样的,有关于三胞胎素数的类似猜想:是否有无穷个三胞胎素数?由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数,解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。

埃氏筛法并没有坐吃山空,反而源源不断释放出新的能量,以后我们还要讨论这些内容居然可以与图论--曲面染色建立一一对应的关系。就是用数论研究图论,或者用图论研究数论。与一笔画建立对应关系。

数论中,三胞胎素数(也称为三生素数)是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数,它的名字也正是由此而来。

定义

编辑

正如孪生素数是指差等于2的两个素数,三胞胎素数是指三个连续素数,使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上,除了最小的两组三胞胎素数:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外,三胞胎素数分为两类:

公式

编辑

A类三胞胎素数

编辑

为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数,可以利用一下的定理:“若自然数 都不能被不大于 的任何素数整除,则  都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实:如果一个自然数 不能被不大于 的任何素数整除,则 是素数。

考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前k 个素数 。解方程:

 

其中   (保证 都不能被任一个素数整除), 

如果解出 ,则  是一组三胞胎素数。

我们可以把(1)式内容等价转换成为同余方程组表示:

 

由于(2)式的模  、……、  是素数,两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的 ,(2)式在 范围内有唯一解。

A类三胞胎素数的例子

编辑

例如k=2时, ,解得 。这三个素数都满足 的条件: ,因此,这三个素数所对应的素数组:

7-2,7与7+4;
13-2,13与13+4;
19-2,19与19+4

都是三胞胎素数组。

这样,就求得了区间 中的全部A类三胞胎素数。

又如当k=3时,设有方程组 ,解得  。其中出现一个新的素数43,而 。因此,43-2,43与43+4也是一组三胞胎素数。

又比如求解方程组 ,解得 ,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、2或对应的素数减去4,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算已经求得了区间 的全部A类三胞胎素数。

k=4时        
  43 193 103 13
  169 109 19 139

已经得到区间 的全部A类三胞胎素数

B类三胞胎素数

编辑

对于B类的三胞胎素数,也可以用类似的结论:“若自然数 都不能被不大于 任何素数整除,则  都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。

于是同样地,考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前k 个素数 。解方程:

 

其中   

而如果 ,则  是一组三胞胎素数。

我们可以把(3)式内容等价转换成为同余方程组表示:

 

同样地,由于(4)式中的模  、……、  是素数,两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的 ,(4)式在 范围内有唯一解。

B类三胞胎素数的例子

编辑

例如k=2时, ,解得B=11,17。这两个素数都满足 的条件: ,因此我们得到两组B类三胞胎素数:

11-4,11与11+2;
17-4,17与17+2;

这样,就求得了区间 中的全部B类三胞胎素数。

又比如当k=3时,解方程组 ,解得B=11,41。这两个素数都满足 的条件: ,因此我们得到一组新的B类三胞胎素数:

41-4,41与41+2。

而解方程组 ,得B=17,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、4或对应的素数减去2,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算 已经求得了区间 的全部B类三胞胎素数。

k=4时        
  71 191 101 41
  197 107 17 167

已经求得了区间 的全部B类三胞胎素数。

仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数,并且一个不漏地求得。

三胞胎素数猜想

编辑

有关孪生素数的一个著名猜想是:是否有无穷多个孪生素数?这个问题迄今尚未解决。同样的,有关于三胞胎素数的类似猜想:是否有无穷个三胞胎素数?由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数,解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。